不確定理論下期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)

彭梅　李翠香

摘要在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從推廣的幾何劉過程的假設(shè)下，利用保險(xiǎn)精算方法對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)，所得結(jié)果滿足看漲看跌期權(quán)價(jià)格之間的平價(jià)關(guān)系，推廣了以前的結(jié)果.文章考慮到了市場(chǎng)的不完備性及樣本缺少的問題，保險(xiǎn)精算和不確定理論彌補(bǔ)了這些不足，可廣泛的應(yīng)用于金融市場(chǎng)的期權(quán)定價(jià).

關(guān)鍵詞金融工程；期權(quán)價(jià)格；保險(xiǎn)精算

中圖分類號(hào)F830.9；O212.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

Actuarial Pricing of Option under Uncertainty Theory

Mei PENG，Cuixiang LI

（College of Mathematics and Information Science，Hebei Normal University，Shijiazhuang，Hebei 050024，China）

AbstractUnder the assumption that the underlying asset price process follows the extended geometric Liu process，we give the price of European option by the actuarial approach.The parity relationship between call and put holds.These results extend the previous ones.Insurance actuarial and uncertain theory can avoid the incompleteness of the market and the lack of samples.These methods can be widely used in price option in physical financial market.

Key wordsfinancial engineering；price of European option；insurance actuarial approach

1引言

隨著金融市場(chǎng)的迅猛發(fā)展，衍生品市場(chǎng)也逐步受到人們的重視，對(duì)期權(quán)定價(jià)的研究也引起更多學(xué)者的關(guān)注.Black和Scholes（1973）[1]首次提出了期權(quán)定價(jià)理論，并給出B-S定價(jià)模型，開啟了期權(quán)研究的大門.之后許多學(xué)者研究了期權(quán)的定價(jià)問題.傳統(tǒng)的定價(jià)方法大都是基于概率理論，需要樣本去估計(jì)概率分布.但是當(dāng)沒有樣本可利用的時(shí)候，就不得不去請(qǐng)教行業(yè)內(nèi)專家去估計(jì)事件發(fā)生的置信度.為了更理性地處理置信度，劉[2]提出了不確定理論.不確定理論是基于規(guī)范性、自對(duì)偶性、次可列可加性、乘積公理之上的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，為期權(quán)定價(jià)開辟了新的思路.

劉（2009）[3]假設(shè)股票價(jià)格St服從不確定微分方程，并給出了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)價(jià)格公式CL（S0，0）和PL（S0，0）.

王國(guó)帥和趙佃立（2016）[4]證明了劉給出的看漲和看跌價(jià)格公式不滿足平價(jià)關(guān)系式CL+Ke-rT≠PL+S0，從而不滿足無套利原則.為了解決此問題，他們找到了風(fēng)險(xiǎn)中性不確定測(cè)度Q下St的分布函數(shù)Φt（x），并得到歐式看漲看跌期權(quán)的定價(jià)公式CW（S0，0）和PW（S0，0）且滿足平價(jià)關(guān)系式.

Bladt和Rydberg（1998）[5]提出了期權(quán)定價(jià)的保險(xiǎn)精算方法.其基本思想是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按期望收益率貼現(xiàn).該方法對(duì)金融市場(chǎng)和價(jià)格過程不做任何要求.

基于不確定理論，用保險(xiǎn)精算方法對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)是有價(jià)值.

2預(yù)備知識(shí)

定義1[2]設(shè)ξ是一個(gè)不確定變量，則ξ的不確定分布Φξ（x）定義為

其中M表示不確定測(cè)度.

定義2[2]設(shè)ξ是一個(gè)不確定變量，如果ξ的不確定分布

則稱ξ為期望為μ，方差為σ2的正態(tài)不確定變量，記作ξ～N（μ，σ）.

定義3[2]設(shè)ξ是一個(gè)不確定變量，則ξ的不確定期望為

其中上式中的兩個(gè)積分至少有一個(gè)是有限的.

若ξ具有不確定分布Φξ（x），則上式可寫成

若ξ具有規(guī)范不確定分布Φξ（x），則不確定期望可寫成

其中Φ-1ξ（α）為Φξ（x）的逆分布.

引理1[2]設(shè)ξ和η是有有限期望值的相互獨(dú)立的不確定變量，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)a和b有

定義4[2]若不確定過程Ct滿足以下三條：

（i）C0=0且?guī)缀跛袠颖韭窂蕉际荓ipschitz連續(xù)的；

（ii）Ct有平穩(wěn)獨(dú)立增量；

（iii）增量Cs+t-Cs是期望為0，方差為t2的正態(tài)不確定變量，

則稱不確定過程Ct為標(biāo)準(zhǔn)劉過程.

引理2[2]設(shè)f（x）是黎曼可積函數(shù)，則對(duì)任意s>0，劉積分Ys=∫s0f（t）dCt是一個(gè)正態(tài)不確定變量，且

當(dāng)a≥1時(shí)，反常積分發(fā)散于+∞.

證畢

3參數(shù)依賴于時(shí)間的歐式看漲看跌期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)

以下假設(shè)股票價(jià)格服從下列UDE

其中μ（t），σ（t）為t的連續(xù)的確定函數(shù).

定義5到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為K的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格分別定義為

其中r（t）為無風(fēng)險(xiǎn)利率，∫T0β（t）dt表示St在[0，T]上產(chǎn)生的期望收益率，即

引理5若資產(chǎn)價(jià)格ST滿足UDE（5），則St在[0，T]的期望收益率為

證明若資產(chǎn)價(jià)格St滿足UDE（5），則由引理3得

由（3），引理1及引理4可得引理5.

證畢.

由引理2可知

定理2在定理1的條件下的看跌期權(quán)在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格為

證明過程同定理1.

定理3在定理1的條件下

證明式（9）可寫成

由式（12）和（13）得式（10）.

證畢.

推論1當(dāng)參數(shù)μ，σ，r是常數(shù)且3σT<π時(shí)，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格分別為

推論2在推論1的條件下，

.

4結(jié)論

基于不確定理論，利用保險(xiǎn)精算方法對(duì)參數(shù)依賴時(shí)間的歐式期權(quán)進(jìn)行了定價(jià).得到歐式看漲看跌期權(quán)價(jià)格，并驗(yàn)證它們滿足平價(jià)關(guān)系式.與風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下得到的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果一致.這說明通過保險(xiǎn)精算方法得到的期權(quán)價(jià)格滿足無套利原則，更貼近實(shí)際市場(chǎng)情況.

參考文獻(xiàn)

[1]Black F，Scholes M.The Pricing of Option and Corporate Liabilities[J].The Journal of Political Economy，1973，81（3）：637-659.

[2]Liu B.Uncertainty theory[M].2nd，Berlin，Springer-Verlag，2007.

[3]Liu B.Some research problems in uncertainty theory[J].Journal of Uncertain Systems，2009（3）：3-10.

[4]王國(guó)帥，趙佃立.基于不確定理論的風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度及其在歐式期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2016，33（2）：23-28.

[5]M.Bladt，T.H.Rydberg.An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions[J].Insurance：Mathematics and Economics，1988，22（1）：65-73.endprint