例談初中數(shù)學(xué)中構(gòu)圖法的應(yīng)用

祝捷

數(shù)學(xué)家G·波利亞曾說(shuō)過(guò)：“畫(huà)一個(gè)假設(shè)圖形，假設(shè)它的各個(gè)部分都滿足題目條件，也許是邁出解題的重要一步?！背踔衅矫鎺缀螆D形的豐富變化，為我們“圖解”各類(lèi)問(wèn)題提供了無(wú)限可能。把一個(gè)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題圖形化，然后借助新的幾何模型進(jìn)行求解的方法，叫做構(gòu)圖法。作為一種特殊的技巧，構(gòu)圖法在初中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用。

一、借助數(shù)軸構(gòu)圖

例1 求 的最小值

析： 的含義為數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示-2和4兩點(diǎn)的距離之和。

解：畫(huà)出數(shù)軸：

為使AP+PB最小，顯然點(diǎn)P在線段AB上。

故 時(shí)，原式值最小為6。

變式 求 的最小值

解：畫(huà)出數(shù)軸：

即在數(shù)軸上求一點(diǎn)P，使2PA+PB+3PC最小。

顯然點(diǎn)P在線段AC上。

∴2PA+PB+3PC=2（PA+PC）+PB+PC=2AC+PB+PC=14+PB+PC

為使PB+PC最小，顯然點(diǎn)P在線段BC上。

∴2PA+PB+3PC==14+BC=15，即 時(shí)，原式值最小為15。

二、借助長(zhǎng)方形或梯形構(gòu)圖

例2 利用幾何圖形證明平方差公式

證明：設(shè)正方形ABCD和CGFH的邊長(zhǎng)分別為a，b。

將圖2-1中長(zhǎng)方形EBGF剪下，拼到圖2-2中DHPQ的位置，

則長(zhǎng)方形AEPQ長(zhǎng)為 ，寬為 。

由S正方形ABCD-S正方形CGFH=S四邊形AEPQ，有 。

也可利用下面的圖2-3和2-4進(jìn)行證明。

三、借助直角三角形構(gòu)圖

例3 求 的最小值

析：顯然 時(shí)才能有最小值，由根式的形式可聯(lián)想勾股定理。

解：如圖3，作BD=12，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=3，ED=2，連AE交BD于C，作EF∥BD交AB的延長(zhǎng)線于F。

由作圖得AF=5，EF=BD=12。

∴AE= ，即原式最小值為13。

例4 △PQR中，PQ、PR、QR的長(zhǎng)分為 、 、 ，求△PQR面積

析：先畫(huà)一個(gè)4×3的網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫(huà)出△PQR，利用“割補(bǔ)法”計(jì)算面積。

解：由17=42+12，13=32+22，10=32+12，構(gòu)圖如圖4。

∴S△PQR=

下面我們以例4為背景，借助構(gòu)圖法來(lái)做一次有趣的拓展。

問(wèn)題（1） 如圖5-1，一個(gè)六邊形被分成7個(gè)部分，其中正方形PRBA、RQDC、QPFE的面積分別為13、10、17，求六邊形ABCDEF的面積

析：先利用旋轉(zhuǎn)變換證明 。

解：如圖5-2，延長(zhǎng)QP至點(diǎn)G，使GP=PQ，連GR

∵PRBA、QPFE為正方形

∴AP=RP，PQ=PF，∠GPF=∠APR=90°

∴∠GPF+∠APG=∠APR+∠APG，即∠APF=∠RPG

∵GP=PQ，PQ=PF

∴GP==PF

∴

∴

由GP=PQ，應(yīng)有

∴ ，同理

∴S六邊形ABCDEF=S正方形ABRP+S正方形CRQD+S正方形PQEF+S△APF+S△BRC+S△DQE+S△PQR

=13+10+17+4×5.5=62

問(wèn)題（2） 在問(wèn)題（1）的基礎(chǔ)上，求六邊形中AF的長(zhǎng)

析：只要轉(zhuǎn)求RG即可。這里我們可以借助平行四邊形構(gòu)圖，利用平行四邊形各個(gè)邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和求解。

解：如圖6，構(gòu)造以GR、RQ為一組鄰邊的平行四邊形GRQH。

設(shè)RG=x，則有 ，解得

所以AF=RG=

我們可以把問(wèn)題（2）推廣為一般情形：

問(wèn)題（3） 如圖7-1，設(shè)一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為 、 和 ，分別以 、 和 為邊長(zhǎng)向外作正方形 、 和 ；連接相應(yīng)頂點(diǎn)，得線段 ，以 為邊長(zhǎng)向外作正方形 ；設(shè)正方形 、 和 的面積分別為 、 和 ，求正方形 的面積

解：構(gòu)造平行四邊形如圖7-2，得 ，

即2（ ）=4 +4 ，解得S4=2S2+2S3-S1。

按照問(wèn)題（3）的操作一直進(jìn)行下去，我們可以得到一個(gè)“余弦樹(shù)”（圖7-3）。若正方形 的面積 ，則一定有Sn=2Sn-1+2Sn-2-Sn-3，其中 。

通過(guò)以上探索，我們可以歸納出圖7-1中兩個(gè)特殊結(jié)論。

結(jié)論（1） 正方形 、 、 和 所圍成的兩個(gè)三角形面積必相等

結(jié)論（2） 設(shè)正方形 、 、 和 的面積分別為 、 、 和 ，則必有

接下來(lái)我們將嘗試應(yīng)用以上結(jié)論。

通過(guò)上面的案例，我們不難看出：初中數(shù)學(xué)中的構(gòu)圖法解題，很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想。該方法在使用的廣度和深度上，應(yīng)該還具有很高的研究?jī)r(jià)值。我們不僅要在課堂外加強(qiáng)理論研修，更應(yīng)在教學(xué)中關(guān)注此類(lèi)方法的運(yùn)用，讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用幾何模型研究問(wèn)題的過(guò)程，從而有效地把各種數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)。