建立數(shù)學(xué)模型，強化學(xué)生解決問題的能力

吳正東

摘 要：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的目的在于更好地解決數(shù)學(xué)問題。我們不僅要重視知識講解，更要注重數(shù)學(xué)模型的建立。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主要內(nèi)容，建立數(shù)學(xué)模型，能夠有效強化學(xué)生解決問題的能力。本文將對數(shù)學(xué)模型建立做簡單研究。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)模型；解決問題

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)表達和交流的重要途徑，也是解決問題的重要方式。各種各樣的數(shù)學(xué)公式、定理等，都可以作為具體的數(shù)學(xué)模型。也可以說數(shù)學(xué)模型就是為了解決數(shù)學(xué)問題所建立的公式和定理。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)如何建立數(shù)學(xué)模型，解決實際問題，是新型教育模式下的教學(xué)需求和任務(wù)。一般來說，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的建模教學(xué)大致可以分為問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展?？偟膩碚f，教師應(yīng)當(dāng)采取科學(xué)合理的教學(xué)措施，加強數(shù)學(xué)建模思想的滲透，讓學(xué)生更加系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，分析并解決相關(guān)的實際數(shù)學(xué)問題。下面是筆者針對幾種典型的數(shù)學(xué)問題建模的簡單探究。

一、相遇問題建模，提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識

相遇問題是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的典型問題之一。這類問題在生活中也經(jīng)常出現(xiàn)，是小學(xué)生必須掌握的問題類型。對于相遇問題的建模，我們首先要對這類問題進行全面地理解。什么是相遇問題呢？兩個運動的物體（如行駛的汽車、運動中的人等等）在同一時間點上，向著相對的方向出發(fā)，經(jīng)過一段時間之后遇見，這類應(yīng)用題叫作相遇問題。在解決這類問題時，有這樣的公式：相遇時間=總路程÷（甲速+乙速）；總路程=（甲速+乙速）×相遇時間。遇到相遇問題時，可以通過這些公式建立模型，解決問題。

如題：明明和亮亮在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，明明每秒鐘跑5米，亮亮每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？對于這道情境問題，學(xué)生在做題時要先仔細審題，找出題目中的重點條件——第二次相遇，也就是說明明和亮亮共跑了兩圈，因此，總的路程為400×2=800米。將公式“總路程=（甲速+乙速）×相遇時間”進行轉(zhuǎn)化，變成相遇時間=總路程÷（甲的速度+乙的速度），將題中所給出的數(shù)據(jù)代入，可以得出相遇時間=（400×2）÷（5+3）=100（秒）。答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。

只要學(xué)生能夠重點掌握數(shù)學(xué)模型的含義及作用，并在解決問題時合理利用，相信其數(shù)學(xué)水平會得到有效的提升。

二、分數(shù)問題建模，拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

分數(shù)問題在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中算得上是較為復(fù)雜的問題。這類問題的重點是“單位1”的判定，因為很多問題，往往會在已知條件中不給具體工作量，只給出如“一段路程”“甲、乙兩地的距離”等為“單位1”的量。在解題時，我們可以這樣建立模型：將總量看作“1”，也就是一個整體，每小時行總路程的幾分之幾與行駛的時間呈現(xiàn)出互為倒數(shù)的關(guān)系，也就是單位時間里行完了總路程的幾分之幾，然后根據(jù)三者的聯(lián)系，列出算式：行駛時間=單位1÷（一輛車每小時行全程的幾分之幾+另一輛車每小時行全程的幾分之幾）。

如題：A、B兩城的距離，客車要10小時行駛完，貨車要15小時行駛完，現(xiàn)在兩車從A、B兩地同時開出，需要幾小時相遇？這道例題中的“A、B兩城的距離”就是路程總量，我們將路程總量看作“單位1”，根據(jù)題意可知，如果客車單獨行駛需要10個小時完成，也就是說客車每小時行完全程的，貨車單獨行駛需要15個小時完成，即每小時行完全程的。如果兩車從A、B兩地同時開出，它們1小時可以行駛完全程的+。根據(jù)公式“行駛時間=單位1÷（甲每小時行全程的幾分之幾+乙每小時行全程的幾分之幾）”代入數(shù)據(jù)，可得1÷+=1÷=6（小時），順利地得出了結(jié)論。

數(shù)學(xué)中的行程問題一般來說綜合性較強，利用數(shù)學(xué)模型，學(xué)生能夠在做題時有更加清晰的數(shù)學(xué)思維，其綜合解決問題的能力也有所提高。

三、比例問題建模，引導(dǎo)學(xué)生理解對應(yīng)關(guān)系

比例問題是生活中常見的數(shù)學(xué)問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，比例知識占據(jù)著重要的地位。針對比例問題建立數(shù)學(xué)模型，能夠使學(xué)生更加牢固地掌握和理解對應(yīng)關(guān)系。在比例問題中，兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫作成正比例的量，它們的關(guān)系叫作正比例關(guān)系。如果這兩個量對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，那么它們的關(guān)系叫作反比例關(guān)系。在解決問題時，要把分率或倍數(shù)化為比，利用比的性質(zhì)解題。

如題：李克做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？對于這道題，如果做題的效率一定，做題的數(shù)量與時間成正比例關(guān)系。在解題時，我們可以設(shè)91分鐘可以做x道應(yīng)用題。根據(jù)題目中給出的已知條件“做4道應(yīng)用題用了28分鐘”可以得出做題的時間和數(shù)量的比是28 ∶ 4，這個比值是一定的，因此，當(dāng)時間增長為91分鐘時，這個比值也不會變。因此，我們可以設(shè)一個比例式：28 ∶ 4=91 ∶ x。根據(jù)比例的算法，這個式子可以化為28x=91×4，求解得出x=13。答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。

比例問題的模型建立較為簡單，只需要找準題目中相互對應(yīng)的量，并確定它們的比值或倍數(shù)，能夠引導(dǎo)學(xué)生理解對應(yīng)關(guān)系。

四、百分數(shù)問題建模，讓學(xué)生形成實踐能力

百分數(shù)，是我們生活中經(jīng)常使用到的數(shù)學(xué)概念，是用來表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)，它有專屬的符號“%”，在建立數(shù)學(xué)模型時，要掌握百分數(shù)、標(biāo)準量和比較量三者之間的關(guān)系，公式如下：百分數(shù)=比較量÷標(biāo)準量；標(biāo)準量=比較量÷百分數(shù)。百分數(shù)問題一般可以分為三種：求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。

如題：倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？這是一道典型的求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之多少的例題。在解決這道題時，首先要對題目進行仔細閱讀，著重閱讀題中的數(shù)據(jù)，并找出數(shù)量關(guān)系。根據(jù)我們上面提到的百分數(shù)問題建模，在這道題中，可以先求出化肥的總量，再求用去的和剩下的各占百分之多少。（1）用去的占 720÷（720+6480）=10%；（2）剩下的占 6480÷（720+6480）=90%。答：用去了10%，剩下90%。像這種例題可以在剛學(xué)完百分數(shù)，幫助學(xué)生鞏固知識時訓(xùn)練。對學(xué)生知識應(yīng)用能力的提升有很大幫助。

針對百分數(shù)問題建立數(shù)學(xué)模型，能夠拓展學(xué)生對數(shù)學(xué)的認知，幫助學(xué)生形成實踐能力，以便更好地在生活中運用百分數(shù)知識解決問題。

五、牛頓問題建模，訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力

牛頓問題，也就是我們經(jīng)常遇到的“牛吃草”問題、“放水和進水”問題。以“牛吃草”這個問題為例，這類問題的難點在于解題時要考慮草一邊被牛吃掉，一邊自然生長的問題，關(guān)鍵在于求出草的總量和每天的生長量?？简灹藢W(xué)生的思維邏輯能力。針對這樣的問題，建立數(shù)學(xué)模型，可以歸納出以下的公式：草總量=原有草量+草每天生長量×天數(shù)。重點掌握了這個公式之后，學(xué)生就能夠通過公式來解決牛吃草的問題。

如題：一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？結(jié)合我們歸納總結(jié)出的數(shù)學(xué)模型，可以將這道題的解答步驟分為以下幾步：設(shè)每頭牛每天吃草量為1，（1）求草每天的生長量；（2）求原有草量；（3）求5天內(nèi)草的總量；（4）求多少頭牛5天能夠把草吃完。根據(jù)計算，可以得出草每天的生長量為5，原有草量為100，所以5天內(nèi)的草的總量就是100+5×5=125。將每頭牛每天吃草的量代入，計算出如果5天吃完這些草，需要25頭牛。這樣的例題雖然計算的數(shù)據(jù)較為簡單，但是分析起來卻比較復(fù)雜。因此這樣的例題適合學(xué)習(xí)水平較高的學(xué)生。

牛頓問題的數(shù)學(xué)模型建立，能夠使學(xué)生思考問題時考慮得更加全面。在教學(xué)過程中，教師可以偶爾讓學(xué)生做一道這樣的題，拓寬學(xué)生的思維。

總而言之，建立數(shù)學(xué)模型，對解決問題有著巨大的幫助。在開展小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要注意教學(xué)生各類型數(shù)學(xué)問題的建模方式，提高教學(xué)質(zhì)量，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。