攻于構造 破于溯源
——近三年經(jīng)典壓軸題研究與教學啟示

☉山東省單縣第一中學 衛(wèi)小國

攻于構造 破于溯源
——近三年經(jīng)典壓軸題研究與教學啟示

☉山東省單縣第一中學 衛(wèi)小國

數(shù)學學科高考命題要“注重能力立意，突出考查學生的邏輯思維能力、探究意識和數(shù)學素養(yǎng)”，而這一宗旨的實現(xiàn)，決定高考命題要遵循課程標準、兼顧選用恰當?shù)妮d體.試題的理想布局，一方面，借助常規(guī)考題檢測考生的基本技能和學科潛質，以達到控制試題難度的目的，且利于各層次學生的發(fā)揮；另一方面，以壓軸試題為載體，浸潤對思維靈活性、解題創(chuàng)新意識的考查，以利于客觀、公平地選拔出有優(yōu)秀數(shù)學素養(yǎng)的考生.在2003年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）》中明確把“創(chuàng)新意識和應用意識”列為與“空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、抽象概括能力、數(shù)據(jù)處理能力”等五大能力并行的兩大學科意識.強調創(chuàng)新意識是理性思維的高層次，是指考生經(jīng)歷對數(shù)學問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”過程；即考生遷移、融合數(shù)學知識和數(shù)學思想，創(chuàng)造性地解決問題；體驗“用數(shù)學的眼睛觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界、用數(shù)學的語言表述世界”.近年，各省市的自主命題卷及全國卷，均在導數(shù)或解析幾何部分命制至少一道壓軸題，以檢測考生的創(chuàng)新解題意識和推理論證能力、運算求解能力等；已經(jīng)形成了“依據(jù)高數(shù)背景、融入構造思想、嵌入數(shù)學名題，以突顯創(chuàng)新意識、彰顯數(shù)學文化”的數(shù)學學科命題特色.

本文中筆者研究的主體是近三年經(jīng)典高考壓軸試題，一方面，對試題進行剖析，揭示試題所含數(shù)學思想和命題淵源；另一方面，為中學師生備考高考壓軸題與探究提供參考.

一、試題特征的分析

對2014年39套、2015年31套、2016年19套高考試卷進行統(tǒng)計，僅列出其中具有代表性的壓軸題，按考點（導數(shù)、解析幾何）列出下表（見表1）.

備注：此表僅是針對有代表性的壓軸題進行列舉，不涉及試題的難度評價.

（一）特征分析

第一，從壓軸題考查的知識點來看，導數(shù)與解析幾何是壓軸題命題的主體；偶爾有綜合數(shù)列與不等式等考點，以融合計算能力和分析問題等多種數(shù)學學科能力的考查.考試題型以證明題居多，也不乏“存在性、恒成立”等探究性試題.其中導數(shù)部分的命題較集中于不等式證明與恒成立求參數(shù)，知識背景較為集中于熱點；而解析幾何則以面積的求解居多，幾何背景較為豐富.

第二，從文理試卷對比上看，有數(shù)學背景的壓軸題在理科試卷中明顯更多，文科相對數(shù)量上較少；但在導數(shù)試題中，文科試卷每年都有不錯的壓軸題出現(xiàn).

第三，從壓軸題的知識能力考查上看，導數(shù)題側重考查創(chuàng)新解題意識、抽象概括能力和推理論證能力；兼顧考查數(shù)學思想（如函數(shù)與方程、分類討論和等價轉化）.解析幾何更偏向運算求解能力和應用意識，命題通常圍繞數(shù)形結合思想、方程思想、分類討論思想和運動變化的觀點展開.前者解答要間接構造新的函數(shù)或不等式，對思維水平要求高；而后者則是在常規(guī)的運算處理之外，又或多或少的存在簡化計算的方法，即計算能力要求高.

第四，縱看幾年試題發(fā)展變化，導數(shù)試題小同大異；同在基于單調性、極值，考查數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理；異于融入的高等數(shù)學知識背景，且數(shù)學情境?？汲Ｐ?解析幾何試題則變化不大，命題已經(jīng)成熟，在考查的形式、試題的難度和問題的類型等方面趨于穩(wěn)定.常以橢圓為模型，巧妙將經(jīng)典的幾何背景與性質特殊化、具體化；突出數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學素養(yǎng).

（二）試題賞析

注：限于篇幅，僅賞析部分試題.

1.以數(shù)學史上的名題為背景

“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”是高中數(shù)學課程的十項基本理念之一，數(shù)學課程中有許多的章節(jié)都安排了蘊含豐富數(shù)學文化價值的閱讀素材；高考試題中也以數(shù)學發(fā)展史上的重大發(fā)現(xiàn)為背景，命制了多道以數(shù)學名題為背景的考題，彰顯數(shù)學的歷史悠久、數(shù)學家的創(chuàng)新精神和數(shù)學的美學價值.

（1）阿基米德三角形.

例1（2015年全國I卷理科20題）在直角坐標系xOy中，曲線C：y=與直線l：y=kx+a（a＞0）交于M、N兩點.

（Ⅰ）略.

（Ⅱ）y軸上是否存在一點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

解析：（Ⅱ）存在符合題意的點，證明如下：設P（0，b）為符合題意的點，M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，將y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0，所以x+x=4k，xx=-4a，從而k+k=121212

當b=-a時，有k1+k2=0，則直線PM的傾角與直線PN的傾角互補，故∠OPM=∠OPN，所以點P（0，-a）符合題意.

評注：上述解答是將角度之間的關系，轉化為斜率間的等式關系；利用直線與拋物線的位置關系，以韋達定理為媒介聯(lián)系所要證明的問題.該試題是基于阿基米德三角形性質命制的，是其幾何性質的具體化.阿基米德三角形的命名緣由是，阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形的.利用阿基米德三角形的有關重要結論，在高考中有2005年江西卷理科22題、2006年全國Ⅱ卷理科21題、2007年江蘇卷理科19題、2008年山東卷理科22題、2008年江西卷21題等類似試題出現(xiàn).

（2）蒙日圓.2（2014年廣東卷理科20題）已知橢圓C：

（Ⅱ）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

簡析：該高考試題是以蒙日圓為背景來命制的，蒙日圓的概念是：在橢圓中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，圓心為橢圓中心，半徑等于長、短半軸平方和的算術平方根.本題是對定理的具體化；意欲重現(xiàn)了該圓的發(fā)現(xiàn)過程和論證思路；展示給考生這一數(shù)學史上與阿波羅尼斯圓齊名的、重要的圓.

（3）卡爾曼不等式

例3（2015年湖北卷理科22題）已知數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，且bn=n（ 1+）na（nn∈N*），e為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅲ）令cn=（a1a2… ，數(shù)列｛an｝，｛cn｝的前n項和分別記為Sn，Tn，證明：Tn＜eSn.

簡析：試題的背景是卡爾曼不等式，該不等式名稱源于1922年，Carleman給出不等式：設an≥0（n=1，2，…），高考題的證明過程，是結合前面問題鋪設已得結論，進行放縮以便裂項求和；再構造出一個加強的不等式.試題前面的設問是給考生搭臺階，但是試題難度依舊較大，試題對構造思想的考查是該題的核心；構造出適當?shù)拇C不等式是高考試題對思維的深層考查.

2.以高等數(shù)學知識為命題依據(jù)

高考數(shù)學學科的試題中，高等數(shù)學的影子一直比較活躍；有設計考查高等數(shù)學中的重要結論的；有的是能初等化理解或猜想的公式等.此類試題，較多出現(xiàn)在導數(shù)壓軸題中；以下是選取其中兩例，揭示命題的理論依據(jù)和對構造思想的考查意圖.

（1）泰勒展式.

綜上可知，k的最大值為2.

評注：以上的解法是利用前一問的結論，將分類討論的情形簡化；輔以構造函數(shù)求最值，最終化歸為一般的不等式求值.泰勒展開式在不等式證明中的應用，目的是為了有限放縮，是對“化曲為直”證明不等式的進一步研究和深化；也是該經(jīng)典試題的背景和理論之源.

（2）拉格朗日中值定理.

例5（2014年陜西卷理科21題）設函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導函數(shù).

（Ⅲ）設n∈N*，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-f（n）的大小，并加以證明.

簡析：本題似乎僅是一道數(shù)列不等式的問題，是基于結論構造的一類試題；但實質是拉格朗日中值定理的應用之一，是數(shù)列借助函數(shù)方法研究的一類典型問題.其中l(wèi)n（n+1）-lnn＞這一關鍵的不等式構造，其實是基于拉格朗日中值定理所獲得結論，推理過程是=f′（ξ），ξ∈（x，x）?ln（n+1）-lnn=，λ∈（n，12n+1），則ln（n+1）-lnn＞

3.以教材延伸結論為本原

高考“源于教材、高于教材”命題原則的落實，不是簡單照搬課本上的結論和定理等知識，而是在核心的知識點和問題上，適當變式、推廣延伸、拓展活用.導數(shù)應用中的“化曲為直”，與圓錐曲線中“光學性質”等，在各省市的試題中屢屢出現(xiàn).

（1）函數(shù)不等式.

例6（2016年山東卷理科20題）已知（fx）=a（x-lnx），a∈R.

解析：（Ⅱ）因為lnx≤x-1（當且僅當x=1時等號成立），故（fx）≥1+（當且僅當x=1時等號成立）.

評注：本題的解法較多，其中用函數(shù)將不等式lnx≤x-1（基于人教A版選修2-2）轉化成較為簡單的形式，這也是函數(shù)不等式的主要作用.基本的思路是將不等式簡化，以構造出較為簡單的、易于證明的加強不等式，從而間接論證或求解.常見的函數(shù)不等式有：ln（1+x）＜x＜-ln（1-x），≤ln（x+1）≤x（x＞-1），ex≥1+x，ex≤＜x（x＜1）等.高考在2006年全國Ⅱ卷、2007年遼寧卷理科、2010年大綱卷、2013年陜西卷、2014年全國Ⅲ卷等，都有考查.

（2）圓錐曲線的光學性質.

例7（2014年山東卷理科21題）已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|PA|=|FD|.當點A的橫坐標為3時，△ADF為正三角形.

（Ⅱ）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E.

（?。┳C明直線AE過定點，并求出定點坐標.

簡析：本題考查的是圓錐曲線中的證明定點問題.若將題中條件一般化，即是拋物線的光學性質.基于人教A版選修2-1課本第75頁，圓錐曲線的光學性質如下：①橢圓：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線投射到橢圓上，經(jīng)反射后光線必通過另一個焦點；②雙曲線：從雙曲線的一個焦點出發(fā)的光線投射到雙曲線上，經(jīng)反射后反射光線的延長線必通過另一個焦點；③拋物線：與對稱軸平行的光線投射到拋物線上，經(jīng)反射后反射光線必通過焦點.高考題很多是直接應用該性質解題，如2010年安徽卷文科17題、2013年山東卷理科20題等；所以該知識點，師生要注意其應用的價值.

（3）對數(shù)不等式鏈.

例8（2014年山東卷文科20題）設函數(shù)（fx）=alnx+，其中a為常數(shù).

（Ⅱ）討論函數(shù)（fx）的單調性.

簡析：試題考查的是分類討論思想在函數(shù)單調性中的應用，如上過程是常規(guī)解答，是高考的“套路”.本題難點是以為界的確定，否則無法進行有條理的討論；實質該值的確定是通過對數(shù)不等式鏈：2·＜lnx＜（）x＞1）（基于人教A版課本第2-2）而得到的，以上的推論過程就是該不等式的推導過程的一部分；而2013年大綱卷理科題是該不等式的后半部分.

4.以近年熱點問題為素材

研究近年的試題，有一些典型的數(shù)學問題和重要的幾何性質，在高考題中出現(xiàn)的次數(shù)較多，如極值點偏移、面積與直線斜率關系，特別是2015年對橢圓與三角形的綜合問題多省份集中進行考查.

（1）極值點偏移.

例9（2016年高考新課標Ⅰ卷理）已知函數(shù)（fx）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（Ⅱ）設x1，x2是（fx）的兩個零點，證明：x1+x2＜2.

解析：（Ⅱ）不妨設x1＜x2，由（Ⅰ）知x1＜1＜x2?2-x2＜1，且函數(shù)g（x）=ex在（-∞，1）上單調遞增，所以x+x＜122等價于g（x2）＞（f2-x1），即g（x1）＞（f2-x1）.

接下來證明：?x∈（-∞，1），g（x）-g（2-x）＞0，即要證?x∈（-∞，1），e（x2-x）-xe2-x＞0.令h（x）=e（x2-x）-xe2-x，

則h（′x）=（ex-e2-x）（1-x），易當x＜1時，ex-e2-x＜0，

于是，在（-∞，1）上h（x）=ex（2-x）-xe2-x單調遞減且h（1）=0，即可證得.

……

（2）圓錐曲線斜率與面積的性質.

例10（2015年上海卷文科22題）已知橢圓x2+2y2=1，過原點的兩條直線l1和l2分別交橢圓于點A、B和C、D.記△AOC的面積為S.

（Ⅲ）設l1和l2的斜率之積為m，求m的值，使得無論l1和l2如何變動，面積S保持不變.

簡析：此題屬高考熱點問題之一的存在性問題，試題常以“是否存在”的形式出現(xiàn)而且結論不確定；問題常常需要由給定的題設條件探尋結論，或由問題追溯相應的條件.本題中關鍵是轉化為恒成立問題，利用待定系數(shù)的方法確定S和斜率之積m的值.此題的背景是：

橢圓=1（a＞b＞0），過原點的兩條直線l1和l2分別交橢圓于點A、B和C、D，則l1和l2的斜率之積為是ab的充要條件.

當然，面積與斜率的這種關系，也可以推廣到雙曲線，如2014年福建卷理科第19題即是推廣結論的應用：已知兩定直線l1：y=kx，l2：y=-kx（k＞0），O為坐標原點，動直線l分別交直線l1，l2于A，B（點A，B分別在第一、四象限）且線段AB的中點為點C，則△OAB的面積為定值kλ2的充要條件為中點C的軌跡方程為=1，且直線l總與雙

（3）橢圓嵌入三角形.

例11（2014年全國Ⅰ卷理科20題）已知點A（0，-2），橢圓E：=1（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.

（Ⅱ）設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程.

簡析：高考解析幾何試題中，以此類問題壓軸已是熱門；試題鐘情于面積的最值與定值的探究，近年有2014年全國Ⅰ卷理科20題，2015年山東卷理科20題，2015年上海卷理科21（文科22）題，2015年浙江卷理科19題等，這些同源題是高考的壓軸題、是難點和熱點.解析幾何中的計算比較困難，考生平時訓練時要注重解析幾何題目中常用簡化運算的技巧，適當滲透高等幾何中的仿射變換，轉化為圓的問題研究；為優(yōu)秀的數(shù)學考生提供展示機會.

二、教學啟示

對以上經(jīng)典高考壓軸題，筆者僅是揭示“試題有源，解答有根，構造有法”；體會看似憑空而生的壓軸題巧妙解答中，其實無不內含著命題者的用心.命題者不厭其煩地初等化、分解化，將高等數(shù)學的重要定理、公式與問題，高觀念地融入試題之中，從而讓數(shù)學優(yōu)秀生的才能充分施展.研究高考試題，也能促使高中師生的教與學要提升到新的高度，教——要講道理的同時講清原理，學——要多反思的同時多總結；在知識與思維的系統(tǒng)上構建.

教師要理解命題的“高觀念、初等化”，即要改變在傳統(tǒng)的觀念中，認為壓軸題似乎就是“偏、奇、怪”的試題.從以上的經(jīng)典壓軸題研究，可見這種認識是不恰當?shù)模貙е聣狠S題的備考，迷失在追求所謂的“新題、怪題”之中.其實，命題者在壓軸題其中一問中，高觀念地設計、或初等化高數(shù)知識，將這些與高中數(shù)學有內在聯(lián)系的性質、定理及公式通過具體的情境融入試題中.高等數(shù)學的背景是考查能力的載體，而不是追求對知識的考查；命題的出發(fā)點是，讓考生對高中已學知識進行有效遷移，用中學的知識和方法解題；即高等數(shù)學背景、初等數(shù)學解法.并且試題從表層的設計上充分考慮到考生的臨場心理、探究能力、解題能力，采用的是層層遞進的方式，為優(yōu)秀學生展示學科綜合素養(yǎng)提供平臺；以便考生把握住壓軸題提供的信息，而不會因信息的不理解失分.優(yōu)秀的考生，在命題者信息“隱形”指引下，發(fā)揮自身的智力優(yōu)勢，創(chuàng)新地解題.

教師要把握試題的“本原性、思維性”，即高考背景、競賽背景、名題背景類的高考題的命制，出發(fā)點不是讓高中教師講授高等數(shù)學知識，而是激勵教師引導學生把握本質、理解核心思想與方法.要在課堂中教給學生將新的問題，化歸為已經(jīng)學習和已經(jīng)解決的試題；在考試中，將新的考題回歸到往年的經(jīng)典的試題.即關注基于本源性的問題驅動下的教學，以提升學生思維的發(fā)散性和靈活性.另外，對好的素材要充分挖掘，追根溯源；一題多解，創(chuàng)新解答；多題歸一，善于歸納；提高學生的基本數(shù)學素養(yǎng)與學科創(chuàng)新能力.教學中針對導數(shù)典型題，讓學生認識到解答的靈活不是無中生有，而是有中生熟；在教學中，要強化學生對構造思想的重視，特別重視經(jīng)典試題中蘊含的?？急尘爸R的新變化、新形式.對解析幾何壓軸題，通過典型題例讓學生明白解法，重視對一般算理的考查，若是單純的多練習在面對新的情境時會無措.因此，對平時訓練中，好的解析幾何試題，進行一般化以發(fā)現(xiàn)背景；外拓至圓錐曲線來揭示是否有統(tǒng)一性，并且，積累更多好的解析幾何模型，特別是與數(shù)學史有關的問題.

教師要認識破解壓軸題需“攻于構造、破于溯源”，即是在教學中，對兩大知識點區(qū)別對待，以增強備考的針對性和有效性.導數(shù)的壓軸題中，讓人耳目一新之處皆是巧妙構造；有基本的構造如最值構造、分參構造，有基于已有或已證結論的構造，有依據(jù)題設條件的代數(shù)形式的構造，還有更高的是利用高數(shù)背景知識的構造.因此，導數(shù)的壓軸題研究，要細致分析近年的高考熱點；對每一個問題系統(tǒng)整理可能的表述形式和解題方法，以及對解法對比與優(yōu)化.在教學中滲透上述策略，特別要指導學生多見，同時縱橫捭闔看試題的發(fā)展變化；特別是對構造證明題，要理解構造的本原之處.解析幾何的壓軸題，則需要精細打算；在確保核心的計算能力和運算調整技巧熟練的同時，對問題的幾何背景深挖到本質.在教學時要示范“如何一般化猜想、怎樣充要性論證、為何可以曲線間統(tǒng)一性”等；在培養(yǎng)學生探究意識和激發(fā)學習興趣的過程中，教會學生進行幾何試題的探源，探尋到高考解析幾何壓軸題命題的根.

教師要培養(yǎng)學生“三不唯”，即“不唯書”，要在解題后反思“為何這樣解、如此解是否可以、是否能更優(yōu)化”，爭取獲得思維上的大提升.堅持勤于思考，注重對問題的理解；溫故而知新，對有價值的問題要深入研究，提煉出問題模型、總結問題一般解法、挖掘試題的數(shù)學背景、領悟試題內含的數(shù)學思想.再則是要“不唯師”，即要有批判的學習精神，對教師提供的解答虛心接納，但又不囿于接受，而是進一步結合問題的情境提出新的理解，培養(yǎng)自主思考習慣.更要“不唯一”，追求解題方法的不單一，能自主分析、優(yōu)化解題切入的方式.在教師指引下，學生“系統(tǒng)突破、創(chuàng)新思維，追根溯源、歸納提升，發(fā)散思維、由點及面”，實現(xiàn)高效突破壓軸題難關！

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.劉鴻春.割線斜率和區(qū)間中點處切線斜率關系的探究［J］.中學數(shù)學（上），2015（8）.

3.伍海軍，李紅春.心中存司南 筆下有圓方——新課標全國卷Ⅰ試題特點及應對策略［J］.中學數(shù)學（上），2016（1）.