吹盡黃沙始見金
——跨過恒成立與存在性問題的“層巒疊嶂”

☉江蘇省錫東高級中學(xué) 葉 琳

吹盡黃沙始見金
——跨過恒成立與存在性問題的“層巒疊嶂”

☉江蘇省錫東高級中學(xué) 葉 琳

從2008年江蘇實施新高考方案以來，恒成立與存在性問題多次考查，經(jīng)常以中檔偏難題呈現(xiàn)，其呈現(xiàn)的背景、方式也多種多樣，題目富有變化和新意，像2008年第14題“任意x∈［-1，1］都有f（x）≥0成立”，2014年第10題“任意x∈［m，m+1］都有f（x）＜0成立”、第19題“…在（0，+∞） 上恒成立”、“存在x0∈［1，+∞） …”、2016年第19題“任意x∈R，不等式...恒成立”等是以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)為背景出現(xiàn)的，2008～2011年解析幾何中均出現(xiàn)了“存在…”、“任意…”、“證明…過定點”等字樣；2011、2013、2014、2015年數(shù)列題中也都呈現(xiàn)了“任意整數(shù)”、“是否存在”等字樣，其中2013年的數(shù)列題隱含考查了恒成立問題.恒成立與存在性問題，較好地考查學(xué)生的能力與素養(yǎng).但它的出現(xiàn)使得數(shù)學(xué)問題意深難懂，神秘莫測，學(xué)生難以下手.解決這類問題的關(guān)鍵是揭開量詞隱含的神秘面紗，還數(shù)學(xué)問題的本來面目，下面筆者結(jié)合“恒成立問題和存在性問題”的課堂教學(xué)，談?wù)勛约旱目捶?，以請教于同?

一、感悟真題，準(zhǔn)確定位

【教學(xué)片段一】

師：從近幾年江蘇高考試題統(tǒng)計分析可以看出恒成立和存在性問題是高考的熱點也是難點，誰能告訴老師這類問題解決的方法是什么？

生1：有的可以用分離參數(shù)來處理，有的可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域來處理.

生2：還可以用數(shù)形結(jié)合的思想來解決.

師：看來大家對這類問題已經(jīng)非常熟悉了，那么用剛才同學(xué)們所說的方法能不能處理所有的這類問題呢？今天這節(jié)課我們一起來探究這類問題的解法.

問題1（2014年江蘇卷19題）已知函數(shù)f（x）=ex+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

師：我們先請一個同學(xué)起來讀題，然后圈出重要條件進行分析.

生3：通過讀題可知，題目條件中明確給出了“恒成立”的字眼，采用分離參數(shù)，利用結(jié)論“f（x）≥m?（fx）min≥m”即可.由m（fx）≤e-x+m-1，得m［（fx）-1］≤e-x-1.因為x＞0時ex＞1，因此（fx）=ex+e-x＞2，即（fx）-1＞0，所以，解得m≤-

師：分析的很到位，處理過程中我們還運用了換元法和基本不等式等知識來解決問題.如果是“存在x∈D，f（x）≥m成立”該怎么處理呢？

生齊答：f（x）max≥m.

師：非常好，看來同學(xué)們對恒成立和存在性問題已經(jīng)有了較深的理解.

評析：教學(xué)過程中筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生解題時有審題不清的缺點，匆匆讀題后就急于下手，結(jié)果不是條件漏看了就是看錯了.在教學(xué)過程中，筆者要求學(xué)生進行讀題訓(xùn)練，養(yǎng)成把題目條件圈出來的習(xí)慣，減少審題馬虎導(dǎo)致的錯誤，慢慢養(yǎng)成細心的習(xí)慣.

【教學(xué)片段二】

問題2函數(shù)f（x）=x-ln（x+1），若對任意的x∈［0，+∞］，有f（x）≤kx2成立，求實數(shù)k的最小值.

筆者巡視教室發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生是用變量分離法來處理的：

師：為什么變量分離失效了呢？（教室里安靜片刻，有學(xué)生在下面竊竊私語）

生4：我化簡到（*）式就沒有再做下去，直覺告訴我太繁了，化簡到（**）式是需要一定的運算技巧的，即使令h′（x）=0得到的也不是我們熟悉的方程，我放棄了.

師：有更好的辦法嗎？

生4：構(gòu)造函數(shù)來處理，由f（x）≤kx2得x-ln（x+1）≤kx2，令g（x）=x-ln（x+1）-kx2，則只要滿足g（x）≤0即可，應(yīng)該能做出來.

師：同學(xué)們覺得她的方法可行嗎？

生5：應(yīng)該可以的，就是要分類討論，也有點繁.（其他同學(xué)沉思片刻，紛紛點頭）

師：大膽嘗試，說不定驚喜就在不遠處等著我們：

令g（x）=x-ln（x+1）-kx2，則g（′x）=

（1）當(dāng)k≤0時，有f（1）=1-ln2＞0，此時f（1）＜k不成立，故k≤0不合題意，舍去.

師：請同學(xué)們比較兩種思路，你有什么收獲？

生6：兩種思路的本質(zhì)是都是歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，分離參數(shù)只是一個解題手段而已，它不是萬能的，我們不能思維定勢，看到恒成立問題就去參數(shù)分離，有的時候會走進死胡同.

師：我們要用辯證的眼光看待參數(shù)分離，參數(shù)分離可以避免分類討論，簡化計算過程，但是不能思維定勢，在讀題后要先思考去判斷參數(shù)分離的可行性，有些問題只能通過構(gòu)造函數(shù)通過分類討論來解決問題.

評析：課堂中給學(xué)生充分的思考時間，針對學(xué)生不同的解法進行剖析，去判斷各種解法的優(yōu)劣性，有助于尋求解決數(shù)學(xué)問題普遍規(guī)律的途徑.在問題2的處理上，思路1中出現(xiàn)的h′（x）=（**）在文2中提倡補充洛必達法則等高等數(shù)學(xué)知識來解決問題，筆者認(rèn)為學(xué)生沒有系統(tǒng)全面地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，而是斷章取義地學(xué)習(xí)洛必達法則帶有功利性色彩，學(xué)生不可能熟練掌握，靈活運用，無疑增加學(xué)生的負擔(dān).教學(xué)中應(yīng)該注重通性通法，淡化技巧，用本真的數(shù)學(xué)來解題，這有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)去功利性的良性發(fā)展.

二、登高望遠，再進一步

【教學(xué)片段三】

師：為了加深對上述問題的理解，我們對其進行變式.

變式1：已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+1），g（x）=kx2，若對任意的x∈［0，+∞），都有f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)k的最小值.

生7：分離參數(shù)求解.

師：很好，同學(xué)們可以自己對該題變式嗎？

生8：若對任意的x∈［0，+∞），f（x）的圖像恒在g（x）的下方，求實數(shù)k的最小值.

師：應(yīng)該如何求解呢？

生8：f（x）（g（x）恒成立啊，跟變式1一樣.

師：很好，“f（x）的圖像恒在g（x）的下方”，問題表述變化了，但是問題本質(zhì)沒有變.

師：趁熱打鐵，還有其他的變式嗎？（學(xué)生思考片刻沒有回應(yīng)）

師：我們經(jīng)常研究的都是一個函數(shù)，能否把視野放寬一點，研究兩個或者兩個以上函數(shù)的恒成立問題？

變式2：若對任意的x1∈［1，2］，x2∈［1，2］，都有f（x1）≤g（x2）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

師：變式2和變式1有什么不同？

生齊答：變式1是同一個x，變式2是兩個不同的x.

師追問：兩個變式之間有聯(lián)系嗎？

生9：變式1中雖然有兩個函數(shù)，但只有一個變量x，可轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)來處理，令h（x）=f（x）-g（x），則h（x）≤0恒成立，只要滿足h（x）max≤0即可.變式2是兩個不同的x，分別看成兩個函數(shù)，求出f（x）和g（x）的最值，滿足f（x）max≤g（x）min.

師：剛才的變式是與恒成立有關(guān)的，我們還可以把它變成存在性問題，能試試嗎？

生10：（變式3） 若對任意的x1∈［1，2］，存在x2∈［1，2］，使得f（x1）≤g（x2）成立，求實數(shù)k的取值范圍.

師：非常漂亮的變式，條件中同時出現(xiàn)了“任意的”和“存在”等量詞，我們該怎么處理呢？

（教室里鴉雀無聲，學(xué)生陷入了沉思.剛才總結(jié)的結(jié)論套不上啊）

師：變式3是關(guān)于（fx）和g（x）的兩個函數(shù)，很多同學(xué)在“任意的x1∈［1，2］，存在x2∈［1，2］，使得（fx1）≤g（x2）成立”的理解上出現(xiàn)錯誤，我們把它抽絲剝繭，把任意的和存在兩個量詞分為兩個層次來理解就簡單多了，首先“任意的x1∈［1，2］，（fx1）≤g（x2）成立”即（fx）max≤g（x2），因為1-ln2≤f（x）≤2-ln3，故“存在x2∈［1，2］使得2-ln3≤g（x）2”“，存在”是指至少有一個x2滿足2-ln3≤g（x2），因為k≤g（x）≤4k，所以2-ln3≤4k，即k≥.變式中滲透了“存在性”和“恒成立”問題，大家對此也有了新的認(rèn)識，下面大家再動手自我編題試試.

學(xué)生在編題解題的過程中，互相討論，筆者教師巡視，不時地參與其中，適當(dāng)點撥.

師：大家編題的熱情高漲，哪個同學(xué)來總結(jié)一下？

生11：我們總結(jié)了一下，大致有以下幾種情況：

假設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）在給定范圍內(nèi)都存在最大與最小值，值域分別為A，B.

（1）?x1，x2∈D，使f（x1）≤g（x2）?f（x）max≤g（x）min；

（2）?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）≤g（x2）?f（x）max≤g（x）max；

（3）?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）≤g（x2）?f（x）min≤g（x）min.

話音剛落，生12站起來了，老師還可以這樣：“?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）=g（x2）?A?B（f（x）的值域是g（x）的子集）”.

師：很好，這些變式，雖然條件變化多樣，但是我們只要抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，就能輕松解決.

評析：讓學(xué)生對題目進行變式，從不同條件下“恒成立和存在性”問題的認(rèn)識過渡到一般問題的探究，尋找知識之間的聯(lián)系，把握知識的本質(zhì)屬性，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在美和統(tǒng)一美，讓學(xué)生親身經(jīng)歷以不變應(yīng)萬變的成功體驗，更好地體會等價轉(zhuǎn)化和化歸等重要數(shù)學(xué)思想.

三、借石攻玉，觸類旁通

課堂教學(xué)不能局限于數(shù)學(xué)知識的表面，而應(yīng)該在對知識結(jié)論和解題方法的基礎(chǔ)上挖掘、揭示隱含其中的數(shù)學(xué)思想和本質(zhì)，幫組學(xué)生透過豐富多彩的問題背景，看清問題的本質(zhì)，實現(xiàn)舉一反三，觸類旁通，建立系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這也是課堂教學(xué)的成功.

【教學(xué)片段四】

生12：本題屬于恒成立問題，保證（k-1）f（x）max≤16g（x）min就可以了.

師：條件中“討厭的形式”f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）＜16g（x4）阻礙了我們思考的步伐，細細分析發(fā)現(xiàn)就是運用剛才我們總結(jié)的結(jié)論（1）解題，有的同學(xué)一時遇阻，因為你“不識廬山真面目，只緣身在此山中”，這就需要同學(xué)們學(xué)會透過豐富多彩的背景看清問題的本質(zhì).

評析：引導(dǎo)學(xué)生拓展探究，利用“多題歸一”的方式，在豐富多彩的背景下，抽象出共性的“恒成立和存在性”問題的本質(zhì)，內(nèi)引外聯(lián)，實現(xiàn)了知識的遷移和整合.

課堂上教師起到“撥云見日”、“授業(yè)解惑”的作用，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，將復(fù)雜的問題分解為一系列簡單的問題，抽絲剝繭，層層深入，“黃沙吹盡始見金”，抓住問題的本質(zhì)，理清知識的內(nèi)在聯(lián)系，促成學(xué)生知識內(nèi)化，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有效提升思維能力和解題能力，我們的課堂就會別樣精彩.

1.涂榮豹.數(shù)學(xué)解題的有意義學(xué)習(xí)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002.

2.張國治.用羅比達法則巧解一類高考壓軸題［J］.數(shù)學(xué)通訊（下），2011（12）.

3.王曉東.思維提升：本真數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂價值取向［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（2）.