有關拋物線焦點弦問題的處理策略

☉江蘇省如東縣馬塘中學 黃一白

有關拋物線焦點弦問題的處理策略

☉江蘇省如東縣馬塘中學 黃一白

對一道問題從不同角度進行探究、運用不同的方法進行解答，有利于學生鞏固基礎，將所學知識由點到線，由線到面，形成網(wǎng)絡，在解題中迅速找到最優(yōu)解法，進而提高自身分析問題、解答問題的能力.本文以2017年高考全國I卷中的一道拋物線問題為例，就其中所涉及的解題方法詳細說明.

題目 （2017年全國I卷理10題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與拋物線C交于A、B兩點，直線l2與拋物線C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16B.14C.12D.10

與拋物線的焦點弦有關的問題，是高考對拋物線考查的重要視角.對于弦長，既可以利用弦長公式，也可以利用焦半徑公式，還可以從極坐標和參數(shù)方程的視角來求解.下面給出這幾種具體的解答方法.

圖1

一、直接求弦長

解法1：如圖1，由題意可知兩條直線的斜率存在，且不為0.設直線l1：y=k（x-1）與拋物線方程y2=4x聯(lián)立，消y得k2x2-（2k2+4）x+k2=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=1，所 以|AB|=

同理，|DE|=4k2+4.

評析：因為AB與DE垂直，兩斜率互為負倒數(shù)，所以對于|DE|的求解，可直接將|AB|=+4中的k用-替換，從而簡化解題過程.另外在應用均值不等式求最值時，要注意等號取得的條件.

二、利用拋物線定義

解法2：設直線l1：y=k（x-1）與拋物線方程y2=4x聯(lián)立，消y得k2x2-（2k2+4）x+k2=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=

同理，|DE|=4k2+4.

評析：對于拋物線的弦長問題，要重點把握拋物線的定義：到焦點的距離與到準線的距離相等，從而將問題轉化求解.此方法簡潔、直觀，是解答此類問題的通法.

三、參數(shù)方程法

四、極坐標法

解法4：以拋物線y2=4x的頂點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系.設|AF|=ρ1，|BF|=ρ2，∠AFx=θ，由拋物線的定義得ρ=ρcosθ+p，所以ρ=，ρ=12

所以|AB|=ρ1+ρ2=

評析：根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到焦點的距離與到對應準線的距離之比為離心率e，得圓錐曲線的極坐標方程為ρ=，當0＜e＜1時，表示橢圓；當e＞1時，表示雙曲線；當e=1時，表示拋物線.本題求解中利用拋物線的極坐標方程，表示出焦點弦的長度，從而將所求最值轉化為三角函數(shù)求最值或利用均值不等式求最值問題.另外，當e=1時，ρ=，表示以焦點為極點、開口向左的拋物線；ρ=表示開口向上的拋物線；ρ=表示開口向下的拋物線.

五、特殊位置法

解法5：由拋物線的對稱性可知，若|AB|+|DE|取得最大值，則此最值應在對稱位置取得，即當AB與DE關于x軸對稱時取得最大值，此時|AB|與|DE|相等，其中一條直線的斜率為1，另一條直線的斜率為-1.

設直線AB的斜率為1，則AB：y=x-1，與拋物線y2=4x聯(lián)立消去y得x2-6x+1=0.設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=6.由拋物線的定義知|AB|=x1+x2+p=8，所以|AB|+|DE|的最大值為16.

評析：在標準方程下的橢圓、雙曲線、拋物線均為特殊的對稱圖形，其中橢圓和雙曲線既關于坐標軸對稱，也關于原點對稱.拋物線關于x軸或y軸對稱.本題作為一道客觀題，只需要給出答案，不需解題過程，因此可采用小題小做的原則，從特殊位置入手.因為拋物線y2=4x關于x軸對稱，所以該拋物線的通徑、準線等，也關于x軸對稱.對稱圖形的最值，也一定保留著對稱性，對稱圖形的定值也滲透于對稱性之中，因此利用圓錐曲線的對稱性可以迅速求得某些定值和最值問題.

綜上，在解題教學中，教師要善于引導學生對同一題目從不同視角進行探究，用多種方法進行解答，并在解題后進行反思，對各種方法通過繁簡對比，從中選出最優(yōu)的解法，進而提高自身解題能力.