淺談“設(shè)而不求”的解題方法

☉湖南省永順縣第一中學(xué) 石家文

淺談“設(shè)而不求”的解題方法

☉湖南省永順縣第一中學(xué) 石家文

“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，筆者通過多年的教學(xué)和研究，體會(huì)到這種解題方法不僅用于解決解析幾何問題，而且函數(shù)、不等式等問題也經(jīng)常用到，下面筆者從六個(gè)方面，談一談對(duì)這種解題方法的體會(huì).

一、“設(shè)而不求”之“引參法”

通過引入?yún)?shù)，架設(shè)溝通橋梁.

解析：不防設(shè)（fa）=（fb）=（fc）=t，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=（fx）及y=t的圖像，如圖1所示.

圖1

由圖1知f（a）=f（b）?-lga=lgb，即a-1=b，即ab=1，所以abc=c.

由圖1知c的取值范圍是（10，12），所以abc的取值范圍是（10，12）.

點(diǎn)評(píng)：這里參數(shù)t的引入，目的便于作圖，把a(bǔ)，b，c在圖上畫出來(lái)，讓我們據(jù)圖說(shuō)話，一幅圖真的是勝過千言萬(wàn)語(yǔ)，而參數(shù)t就像一根杠桿，起到了四兩撥千斤的作用.

二、“設(shè)而不求”之“換元法”

通過換元，優(yōu)化式子結(jié)構(gòu).

故所求的最小值為3.

點(diǎn)評(píng)：設(shè)輔助元對(duì)分母實(shí)施代換，把多項(xiàng)式分母化為單項(xiàng)式分母，優(yōu)化了式子的結(jié)構(gòu)，為后續(xù)的恒等變形和放縮變形創(chuàng)造條件.

三、“設(shè)而不求”之“逆代法”

當(dāng)直線與曲線或曲線與曲線的交點(diǎn)不易解出來(lái)或無(wú)法解出來(lái)時(shí)，可以先把交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出來(lái)，然后往回代入，筆者稱之為“逆代法”.例如點(diǎn)差法等.3已知橢圓C=1，試確定m的取值范圍，

例使得橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱.

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓上關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)，M（x0，y0）為弦AB的中點(diǎn)，則有且

點(diǎn)評(píng)：由于用方程組法求交點(diǎn)坐標(biāo)很困難，故干脆不考慮方程組法，而是一開始就把交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出來(lái)，然后，由交點(diǎn)在曲線上，故把所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，而交點(diǎn)在直線上常轉(zhuǎn)化成三點(diǎn)共線或向量共線，所以說(shuō)這是一種以逆向思維來(lái)處理問題的解題方法，而此處的解法常叫“點(diǎn)差法”.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師是課堂活動(dòng)中的主要負(fù)責(zé)人，也是學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者，只有在教師的安排和指導(dǎo)下，學(xué)生才能夠有效實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。因此需要加強(qiáng)教師對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的重視，明確課堂教學(xué)目標(biāo)，積極進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)策略的創(chuàng)新，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，創(chuàng)設(shè)課堂情境，組織教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，促使學(xué)生在不斷的學(xué)習(xí)中提高自身能力，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生的素質(zhì)教育。

四、“設(shè)而不求”之“方程組法”

涉及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（包括切點(diǎn)）問題一般先列方程組，然后消元得一個(gè)一元二次方程，此時(shí)，我們常把它的兩根設(shè)出來(lái)，然后利用韋達(dá)定理來(lái)處理，這是解析幾何問題最常用的解法，通常稱為“方程組法”.

例4已知橢圓C的方程為=1，直線l：y=kx+m（|k|≤）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，頂點(diǎn)P恰好在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|OP|的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)一直是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)內(nèi)容，涉及問題有弦長(zhǎng)問題、弦中點(diǎn)問題、最值問題、范圍問題、定值問題、定點(diǎn)問題等，大都采用設(shè)而不求與韋達(dá)定理相結(jié)合的方法來(lái)處理.

五、“設(shè)而不求”之“參數(shù)方程法”

當(dāng)問題涉及動(dòng)直線與曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)問題時(shí)，常利用參數(shù)方程來(lái)減少所設(shè)參數(shù)的個(gè)數(shù)的方法來(lái)解決，常稱之為“參數(shù)方程法”.

例5已知拋物線y2=2px及定點(diǎn)A（a，b），B（-a，0）（ab≠0；b2≠2pa），M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一交點(diǎn)分別為M1，M2.求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要M1，M2存在且M1≠M(fèi)2） 直線M1M2恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

故設(shè)點(diǎn)M（2pt2，2pt），M（，2pt），M（，2pt）（.t，1122t1，t2互不相等）

點(diǎn)評(píng)：①為了避免求坐標(biāo)，這里采用了“設(shè)而不求”，把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)先設(shè)出來(lái)，為了少設(shè)字母，這里充分利用了曲線參數(shù)方程；為了表示點(diǎn)在直線上，這里采用三點(diǎn)共線，進(jìn)而有向量共線，從而避免了復(fù)雜的運(yùn)算.②以參數(shù)t為主元，反客為主的方式求得直線M1M2過定點(diǎn)（a，）是研究定點(diǎn)問題的重要方法.③靈活運(yùn)用類比方法，減少了運(yùn)算量，是本題解法的一大亮點(diǎn)，值得大家學(xué)習(xí)和借鑒.

六、“設(shè)而不求”之“記零點(diǎn)法”

研究函數(shù)問題，常需求函數(shù)（特別是導(dǎo)函數(shù)）的零點(diǎn)，而此時(shí)的零點(diǎn)又難以解出，可以把零點(diǎn)設(shè)出來(lái)然后回頭代入的方法，筆者稱之為“記零點(diǎn)法”.

例6設(shè)函數(shù)（fx）=e2x-alnx.

（1）討論（fx）的導(dǎo)函數(shù)f（′x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

解析：（1）（fx）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=2e2x-（x＞0）.由f′（x）=0，得2xe2x=a.令g（x）=2xe2x，則g′（x）=（4x+2）e2x＞0（x＞0），從而g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）＞g（0）=0.

當(dāng)a＞0時(shí)，方程g（x）=a有一個(gè)根，即f′（x）存在唯一零點(diǎn)；

當(dāng)a≤0時(shí)，方程g（x）=a沒有根，即f′（x）沒有零點(diǎn).

（2）由（1），可設(shè)f′（x）在（0，+∞）上的唯一零點(diǎn)為x0.當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0.故f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（x0）.

七、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，“設(shè)而不求”就是在解題過程中，通過引入輔助元而不求解，只借助它的橋梁作用，使問題得到迅速解決的解題方法.其實(shí)，這是從操作方式的角度來(lái)說(shuō)的.若從思維方式的角度去看，它是一種正反結(jié)合的思維方式，是順著不行逆著來(lái)；再?gòu)墓δ艿慕嵌葋?lái)看，無(wú)論是架設(shè)溝通橋梁的引參法還是調(diào)整結(jié)構(gòu)的換元法，都是為了避免繁雜的運(yùn)算而達(dá)到簡(jiǎn)化解題過程的目的；最后從應(yīng)用范圍的角度看，無(wú)論是代數(shù)（函數(shù)、方程、不等式）方面，還是幾何（平面幾何、解析幾何、立體幾何）方面，均有設(shè)而不求”的應(yīng)用（限于篇幅，有的沒有舉例）.因此，“設(shè)而不求”是一種運(yùn)用靈活而廣泛的解題方法，若能恰當(dāng)運(yùn)用它，則能使問題的解決變得簡(jiǎn)捷明快.