M-QAM調(diào)制下極化碼的構(gòu)造研究

章新城，李少謙

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M-QAM調(diào)制下極化碼的構(gòu)造研究

章新城，李少謙

(電子科技大學(xué)通信抗干擾技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 611731)

研究了當(dāng)采用最常用的M-QAM調(diào)制時(shí)極化碼構(gòu)造的問題。在M-QAM調(diào)制時(shí)無法確定極化碼的碼元噪聲功率，從而導(dǎo)致無法有效地進(jìn)行信道極化。針對(duì)該問題，對(duì)M-QAM調(diào)制符號(hào)中的每個(gè)比特進(jìn)行了研究，得到所有調(diào)制符號(hào)對(duì)應(yīng)的比特的變化規(guī)律，通過這一規(guī)律，可以將高階調(diào)制信道分解為多個(gè)平行的并具有固定噪聲功率的二進(jìn)制輸入子信道，使得極化碼在M-QAM調(diào)制下的構(gòu)造問題變?yōu)榱顺Ｒ?guī)的二進(jìn)制輸入信道下的構(gòu)造問題，并以此實(shí)現(xiàn)了M-QAM調(diào)制時(shí)極化碼的構(gòu)造。針對(duì)常用的格雷映射下的M-PAM/M-QAM調(diào)制進(jìn)行了設(shè)計(jì)并仿真，仿真結(jié)果顯示該構(gòu)造方法能明顯地提升性能。

二進(jìn)制輸入信道; M-PAM/M-QAM; 平行信道; 極化碼

極化碼(polar codes)[1]是一種已經(jīng)理論證明可以達(dá)到二進(jìn)制輸入離散無記憶信道(binary input discrete memoryless channel, B-DMC)容量的碼，而且該碼的編譯碼復(fù)雜度與碼長(zhǎng)呈線性增長(zhǎng)。近年來，與極化碼相關(guān)的研究成果不斷地涌現(xiàn)，這些研究的內(nèi)容涉及極化碼的容量限[2-4]、極化碼的構(gòu)造[5]以及極化碼的譯碼[6-7]等方面。

一般情況下，在二進(jìn)制刪除信道(binary erasure channel, BEC)中的極化碼構(gòu)造較為簡(jiǎn)單，其他信道下的構(gòu)造都需要較高的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[1]提出了一種基于蒙特卡洛仿真的極化碼構(gòu)造方法；文獻(xiàn)[5]提出了一種基于密度進(jìn)化[8]的構(gòu)造方法，相比于蒙特卡洛的方法，該方法在性能和復(fù)雜度方面都存在更多優(yōu)勢(shì)。然而，這兩種極化碼構(gòu)造方法還只適用于二進(jìn)制輸入離散無記憶信道，無法使用到高階調(diào)制中。這是由于一個(gè)高階調(diào)制符號(hào)包含了多個(gè)比特，而每個(gè)比特都有各自的出錯(cuò)概率，同時(shí)每個(gè)比特的出錯(cuò)概率會(huì)隨著調(diào)制符號(hào)的變化而改變[9]，當(dāng)一個(gè)極化碼的碼字經(jīng)過調(diào)制后，該碼字中的碼元就對(duì)應(yīng)為調(diào)制符號(hào)中的比特，相當(dāng)于極化碼的碼元在經(jīng)過高階調(diào)制后，每個(gè)碼元所對(duì)應(yīng)的出錯(cuò)概率不同。按文獻(xiàn)[1]所述，極化碼的構(gòu)造是在已知所有碼元出錯(cuò)概率的情況下進(jìn)行的，而在高階調(diào)制下每個(gè)碼元的出錯(cuò)概率會(huì)隨著碼字的變化而改變，同時(shí)碼字的產(chǎn)生又需要極化碼構(gòu)造后才能生成，這就發(fā)生了問題。

為了解決該問題，本文提出一種利用信息比特與調(diào)制符號(hào)之間的內(nèi)在關(guān)系，將承載極化碼的符號(hào)分解成多個(gè)獨(dú)立的平行的二進(jìn)制輸入子信道，每個(gè)子信道都具有固定噪聲方差，從而將高階調(diào)制下極化碼的構(gòu)造問題簡(jiǎn)化為常規(guī)的二進(jìn)制輸入信道下極化碼的構(gòu)造問題，回避了高階調(diào)制符號(hào)直接進(jìn)行極化碼構(gòu)造時(shí)所需要面對(duì)的高復(fù)雜度的運(yùn)算過程。文獻(xiàn)[10]的基于多層編碼的調(diào)制方法和本文的方法有些相似，不同的是該文獻(xiàn)中調(diào)制的映射方式為自然映射，本文的方式為格雷映射，而且在實(shí)現(xiàn)過程中，無論多少階的高階調(diào)制，所需要的編碼器數(shù)目只有兩個(gè)，并且密度進(jìn)化過程只需要一次，而文獻(xiàn)[10]中的方法對(duì)應(yīng)編碼器的個(gè)數(shù)和所需密度進(jìn)化的次數(shù)均與調(diào)制的階數(shù)相關(guān)。同時(shí)本文方法與文獻(xiàn)[11-12]的平行信道的概念存在本質(zhì)區(qū)別，文獻(xiàn)[11]將極化碼在平行信道間進(jìn)行編碼，使得發(fā)射機(jī)能夠在未知信道狀態(tài)信息的條件下達(dá)到平行信道的容量，而文獻(xiàn)[12]則研究了在發(fā)射端已知不同信道的狀態(tài)信息情況條件下，如何實(shí)現(xiàn)平行信道的傳輸。本文方法雖然可以等效成多個(gè)平行信道，但平行信道等效過程卻是依據(jù)碼元信息來實(shí)現(xiàn)的，所以利用傳統(tǒng)的平行信道理論無法解決。

由于高階調(diào)制方式多樣，其內(nèi)在的信息比特與調(diào)制符號(hào)的關(guān)系也相應(yīng)地存在差別，本文針對(duì)最常見的格雷碼映射多進(jìn)制正交幅度調(diào)制(M-QAM)開展研究，由于通常QAM調(diào)制可以分解成兩個(gè)正交的脈沖幅度調(diào)制(pulse amplitude modulation, PAM)[13]，下面主要以PAM作為研究對(duì)象，PAM調(diào)制結(jié)果可以自然延伸到QAM調(diào)制。

1 極化碼的基本原理

極化碼是一種以較低編譯碼復(fù)雜度實(shí)現(xiàn)各類對(duì)稱二進(jìn)制輸入離散無記憶信道的無誤差傳輸?shù)淖顑?yōu)碼[1]。極化碼的重要概念是信道極化，其過程可以分為信道合并和信道分裂兩階段。

信道的合并過程是從一個(gè)基本合并單元開始，然后以類似快速傅里葉變換的遞歸方式進(jìn)行擴(kuò)展，最終將原先獨(dú)立的(=2，為正整數(shù))個(gè)信道合并成信道W?；竞喜卧鐖D1所示，遞歸過程如圖2所示，其中R表示映射關(guān)系，即將輸入的奇數(shù)位置數(shù)據(jù)按順序進(jìn)入前一個(gè)合并信道W/2，而偶數(shù)位置的數(shù)據(jù)按順序進(jìn)入后一個(gè)合并信道W/2。從編碼角度上看，信道合并過程可看作是對(duì)輸入數(shù)據(jù)經(jīng)過生成矩陣后通過對(duì)稱二進(jìn)制輸入離散無記憶信道。

信道的分裂過程本質(zhì)上是連續(xù)抵消 (successive cancellation, SC)譯碼過程。它是將合并后的信道W分裂成個(gè)二進(jìn)制輸入的虛擬信道，即極化后的信道。

信道經(jīng)過信道合并和信道分裂兩種方式完成極化后，理論上可證明，當(dāng)碼長(zhǎng)趨于無窮或者極大時(shí)，虛擬信道的容量會(huì)趨于(1-,1)或者[0,]，其中∈(0,1)是一個(gè)較小的數(shù)，并隨著碼長(zhǎng)趨于無窮而趨于0，即極化后的虛擬信道在隨著碼長(zhǎng)趨于無限時(shí)，個(gè)虛擬信道中有一部分會(huì)變成容量趨于0的純?cè)肼曅诺?，另一部分變成容量趨?的無噪聲信道。因此只要將需要傳輸?shù)臄?shù)據(jù)加載于無噪聲信道，而純?cè)肼曅诺纻鬏斠阎盘?hào)，就可以實(shí)現(xiàn)無誤差傳輸。而且理論上還證明，此時(shí)信道的傳輸容量剛好等于香農(nóng)編碼定理給出的信道容量。

圖1 信道的基本合并單元圖

圖2 信道的遞歸合并圖

2 M-QAM調(diào)制下極化碼的構(gòu)造

2.1 M-PAM調(diào)制的比特等效幅度

由于極化碼的構(gòu)造是基于每個(gè)碼元的出錯(cuò)概率進(jìn)行的，因此，本文重點(diǎn)研究在采用高階調(diào)制后，碼元(比特)的出錯(cuò)概率情況。

高階格雷碼映射可以通過低階格雷碼鏡像映射的方式實(shí)現(xiàn)[14]，如圖3所示，=2階格雷碼通過/2格雷碼鏡像反射獲取另一半，然后再在上下兩段的左端分別增加0和1組成階格雷碼。其符號(hào)和二進(jìn)制表達(dá)式的關(guān)系可表示為[15]：

格雷碼調(diào)制后的未歸一化的幅度可以表示為：

(2)

一般情況下，在信道信噪比較高時(shí)，高階PAM調(diào)制中的某個(gè)比特與該比特距離最近并且取值相反的星座點(diǎn)之間的距離(即最小歐氏距離)決定了該比特的出錯(cuò)概率[16]。其中，D為第比特對(duì)應(yīng)的最小符號(hào)距離，將2D1看作為幅度，稱為第比特等效幅度，用A,i表示。下面分析PAM調(diào)制下比特等效幅度。

對(duì)于PAM調(diào)制的第比特b等效幅度通常情況下會(huì)隨著的取值不同而不同，如圖3中的8-PAM，當(dāng)1=0時(shí)，如，，D=2，2的等效幅度A,2=3，而當(dāng)1=1時(shí)，如(001)=0，(011)=2，D=1，則A,2=1。同時(shí)看到，給定1時(shí)，2的等效幅度是固定不變的。更一般地，本文有如下命題。

圖3 格雷碼映射構(gòu)造法

(4)

(6)

(8)

此外，對(duì)于通常的AWGN信道，等效幅度為1和等效幅度為3的等效信噪比為()2/0和(3)2/0，其中為功率歸一化因子，0為AWGN信道的功率譜密度。不難看出，它們信噪比相差約9.54 dB，如此大的信噪比差異下，編碼方案的重點(diǎn)將在最小等效幅度的比特上，而對(duì)于有更大等效幅度的比特，則不采用編碼，這樣能有效減少編譯碼器的數(shù)量。具體地，依據(jù)推論2，如果把和中的第個(gè)比特的等效幅度也看成1，則這兩個(gè)序列也滿足了有且僅有兩個(gè)等效幅度為1的比特。這樣，每個(gè)比特送入調(diào)制器時(shí)，只有兩個(gè)比特是經(jīng)過編碼的碼元，其余個(gè)比特都是直接來自于未編碼比特，而編碼比特的位置可以根據(jù)推論1得到，即和比特序列中第一次出現(xiàn)“1”的后一位比特。(對(duì)于和情況，則選第個(gè)比特)。

2.2 M-PAM調(diào)制下的編碼過程

利用以上規(guī)律，將調(diào)制前每個(gè)比特等效成個(gè)平行信道，每個(gè)平行信道傳輸個(gè)比特(或碼元)，該個(gè)平行信道中有兩個(gè)比特來自于極化編碼器，它們的碼率都是依據(jù)最小等效幅度進(jìn)行密度進(jìn)化后得到的，其余-2個(gè)比特則直接來自于信源，因此，傳輸效率為(-2)+2。在編碼和調(diào)制器之間放置一個(gè)位置變換器，使得個(gè)平行信道的個(gè)比特始終滿足最差等效幅度的兩個(gè)比特來自于極化編碼器。圖4為本文方法的調(diào)制過程示意圖，由圖4可見，第一個(gè)比特全部來自極化編碼器1(該編碼器生成碼字記作1)，接下來通過位置變換器來實(shí)現(xiàn)位置交換，當(dāng)編碼器1和數(shù)據(jù)1到數(shù)據(jù)-2輸出的比特按照?qǐng)D4從上至下第一次出現(xiàn)“1”時(shí)，下一個(gè)比特插入來自極化編碼器2的比特(如果到第-1個(gè)比特還沒有出現(xiàn)“1”，則第個(gè)比特來自極化編碼器2，該編碼器生成的碼字記作2)，經(jīng)過調(diào)整位置的個(gè)比特送入格雷映射的M-PAM調(diào)制器進(jìn)行正常地調(diào)制，然后送入信道。接收端過程則相反，不再給出圖示。首先對(duì)接收到的信號(hào)進(jìn)行M-PAM軟解調(diào)，解出所有的個(gè)信道的個(gè)比特的似然值[16]；然后將個(gè)來自于第一個(gè)信道的似然值送入第一個(gè)譯碼器(針對(duì)1)，將譯碼結(jié)果利用反編碼恢復(fù)出對(duì)應(yīng)碼元，但譯碼可能存在差錯(cuò)，因此恢復(fù)出的碼元也可能不正確，這將會(huì)產(chǎn)生最終的接收出錯(cuò)，不過這種錯(cuò)誤可以通過合理的設(shè)計(jì)來降低發(fā)生幾率。位置變換器的工作過程跟發(fā)射端一致，將第一次出現(xiàn)“1”之前的所有比特，包括當(dāng)前比特，全部輸出硬判決值，并將下一個(gè)比特軟判決值送入第二個(gè)譯碼器(同樣，如果前-1個(gè)比特為全零，則將第個(gè)比特的軟判決值送入第二譯碼器)，這樣第二個(gè)譯碼器總共會(huì)獲得個(gè)軟判決值，利用該軟判決值，進(jìn)行譯碼，最后，再將還剩下的軟判決值硬判，最終恢復(fù)出所有的信息比特。

圖4 調(diào)制過程示意圖

3 結(jié)果分析

在仿真中，本文采用常用的格雷碼映射64-QAM調(diào)制(相當(dāng)于兩個(gè)8-PAM調(diào)制)，其歸一化參數(shù)=1，所以最小等效幅度為1，對(duì)應(yīng)的信噪比為1/0。對(duì)于本文方案選擇碼長(zhǎng)分別為=64和=256的兩種極化碼，對(duì)于每種碼長(zhǎng)下，本文方案中的兩個(gè)極化碼1和2的碼率分別選擇為0.45、0.55 (這里考慮到2的譯碼是建立在1譯碼的基礎(chǔ)上，因此犧牲了一些碼率來提高1譯碼性能，以此保證2有較好的譯碼性能，但這兩個(gè)碼字所需的密度進(jìn)化過程相同)，即平均吞吐量均為4 bit/符號(hào)，然后利用這些參數(shù)參照文獻(xiàn)[5]的方法進(jìn)行極化碼的構(gòu)造，并用推薦的方法進(jìn)行極化編碼和調(diào)制。

圖5 64QAM調(diào)制下極化編碼的性能仿真圖

圖5給出了這兩種碼的誤碼率性能，圖中分別記作“=64非理想”和“=256非理想”，并且這兩種碼的性能分別與圖中不做優(yōu)化的方案“=256無優(yōu)化”和“=1 024 無優(yōu)化”作對(duì)比(無優(yōu)化的方案中的極化碼是在同等條件下，按照BPSK調(diào)制構(gòu)造得到)。不難發(fā)現(xiàn)無優(yōu)化方案的碼長(zhǎng)為本文方案的4倍，這是由于本文方案在8PAM(對(duì)應(yīng)64QAM)調(diào)制下，總共傳輸?shù)拈L(zhǎng)度為3，然而由于極化碼的碼長(zhǎng)是基于2的指數(shù)次方，因此無優(yōu)化的方案只能選擇最為接近但不小于3的碼長(zhǎng)，即4。從圖5可看出，在誤碼率都保持在10-4時(shí)，本文方法分別有1.1 dB和1.5 dB的性能增益。另外，為了對(duì)比接收端低比特的可靠性對(duì)高比特信道選擇產(chǎn)生的影響，在圖5中，給出了兩種碼長(zhǎng)下接收端完美已知1(圖中分別用“=64理想”和“=256理想”表示)的接收結(jié)果和實(shí)際接收結(jié)果(即非理想的結(jié)果)的性能對(duì)比。從圖4中不難看出，理想情況與非理想情況的性能差異均不超過0.3 dB，本文方案中的逐層譯碼的性能并沒有出現(xiàn)嚴(yán)重惡化。

4 結(jié)束語

本文首先對(duì)一種基于格雷映射的M-PAM/M- QAM調(diào)制的星座圖進(jìn)行了特點(diǎn)分析，根據(jù)所描述的特點(diǎn)提出了將高階調(diào)制符號(hào)分解成多個(gè)平行的二進(jìn)制輸入子信道的結(jié)論。由于這些平行的子信道具有固定噪聲功率，相當(dāng)于M-PAM/M-QAM調(diào)制極化碼的構(gòu)造問題已經(jīng)簡(jiǎn)化為常規(guī)且容易實(shí)現(xiàn)的二進(jìn)制輸入信道的極化碼構(gòu)造問題，回避了M-PAM/M-QAM調(diào)制下碼元噪聲功率的不確定性所產(chǎn)生的問題，從而在M-PAM/M-QAM調(diào)制下實(shí)現(xiàn)了極化碼的構(gòu)造。仿真結(jié)果顯示該方法可以明顯地提升性能。

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編 輯 稅 紅

Research on Construction of Polar Codes with M-QAM Modulation

ZHANG Xin-cheng and LI Shao-qian

(National Key Laboratory of Communications, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731)

In this paper, the construction of polar codes with multiple quadrature amplitude modulation (M-QAM) modulation is studied. To solve the problem of the various noise power of the coded bits caused by M-QAM modulation, we propose a method to divide the channel of M-QAM modulation into a several of parallel binary-input channels with constant noise power so that the traditional construction method for binary-input channel is available for the M-QAM modulation case. We also give the design in detail for M-PAM/M-QAM modulation. Our numerical results show that the proposed scheme has good performance.

binary-input channel; M-PAM/M-QAM; parallel channels; polar codes

TN911

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2017.02.002

2015-03-30；

2015-07-09

國家973項(xiàng)目(2013CB329001)；國家自然科學(xué)基金(61371105)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20110185120025)

章新城(1982-)，男，博士生，主要從事信道編碼、移動(dòng)與無線通信方面的研究.