環(huán)Fq[v]/上循環(huán)碼的跡碼與子環(huán)子碼

李 娟( 山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 淄博 255049)

在編碼理論中，子域子碼是一類重要的線性碼.常見的子域子碼有：Hamming 碼，Goppa 碼等. Delsarte[1]給出有限域上子域子碼與跡碼的關(guān)系. 然而, 對于一般線性碼，子域子碼與跡碼的計(jì)算較復(fù)雜.Gao 等人[2]利用線性遞歸序列與循環(huán)碼的關(guān)系，給出有限域上循環(huán)碼的子域子碼與跡碼的生成多項(xiàng)式. 編碼學(xué)家Hammons 等人[3]發(fā)現(xiàn)一些性能良好的非線性碼可以看做四元環(huán)Z4上一些循環(huán)碼的二元Gray象. 近幾年，有限非鏈環(huán)上的糾錯碼理論的研究也吸引了編碼學(xué)者的關(guān)注. Jitman 等人[4]給出有限非鏈環(huán)Fpk+uFpk+…+um-1Fpk上碼長為ps的常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu). Yildiz 和Karadenniz[5]研究了環(huán)F2+uF2+vF2+uvF2上的線性碼和循環(huán)碼. 高健等人[6]中給出環(huán)Fp[v]/上線性碼的Gray 映射及其應(yīng)用. 本文給出有限非鏈環(huán)R=Fq[v]/上循環(huán)碼的跡碼與子環(huán)子碼的生成元.

1 環(huán)Fq[v]/上的線性碼

設(shè)R=Fq[v]/，其中q=pl，p是素?cái)?shù)且正整數(shù)m-1整除p-1, 則

R={a0+a1v+…+am-1vm-1|ai∈Fq,i=0,1,…,m-1}.

另外，由于m-1|(p-1)，則多項(xiàng)式vm-v=(v-k0)(v-k1)…(v-km-1)，其中k0,k1,…,km-1∈Fq,k0=0.

R=e0R⊕e1R⊕…⊕em-1R=e0Fq⊕e1Fq⊕…⊕em-1Fq，

且

R?Fq[v]/×Fq[v]/×…×Fq[v]/?Fq×Fq×…×Fq.

因此，環(huán)R中任意元素r可唯一表示為

r=e0r0+e1r1+…+em-1rm-1.

其中ri∈Fq,i=0,1,…,m-1.

令R=Fp[v]/, 顯然，R是R的一個子環(huán).而且R是R的l次伽羅瓦擴(kuò)張，等價于R=R[x]/，其中f(x)是有限域Fp上l次不可約多項(xiàng)式. 下面定義環(huán)R到其自身的Frobenius 映射：

因?yàn)閝=pl，則|f|=l, 且={1,f,…,fl-1}是環(huán)R在R上的伽羅群，R的自同構(gòu)群的一個子群. 因此，下面給出環(huán)R在R上的跡映射

易證，該映射是滿射.

定義1設(shè)Rn={(c0,c1,…,cn-1)|ci∈R,0≤i≤n-1}，Rn上的任意一個非空子集C稱為R上長度為n的碼.特別地，如果C是Rn的R-子模，則稱C是R上碼長為n的線性碼.

定義2對線性碼C中任意一個碼字(c0,c1,…,cn-1)，如果有(cn-1,c0,…,cn-2)仍是C中碼字，則稱C是R上碼長為n的循環(huán)碼.

設(shè)R[x]為R上以x為變量的多項(xiàng)式環(huán)，且碼字(c0,c1,…,cn-1)的多項(xiàng)式表示為c0+c1x+…+cn-1xn-1，則Rn與商環(huán) R[x]/在這種多項(xiàng)式表示的關(guān)系下是一個R-模同構(gòu)，且R上碼長為n的循環(huán)碼可看成商環(huán)Rn的一個理想.

對任意的i=0,1,…,m-1，定義集合

則有:1)集合Ci是有限域Fq上碼長為n的線性碼.

2)線性碼C可唯一表示為

C=e0C0+e1C1+…+em-1Cm-1.

3)設(shè)G是C的生成矩陣，則C作為Rn的Fq-子空間，矩陣G可表示為

其中G0,G1,…,Gm-1分別是C0,C1,…,Cm-1在有限域Fq上的生成矩陣.

引理1[6]線性碼C=e0C0⊕e1C1⊕…⊕em-1Cm-1是環(huán)R上的循環(huán)碼，當(dāng)且僅當(dāng)對任意的i=0,1,…,m-1，Ci是有限域Fq上的循環(huán)碼.

由引理1，有以下結(jié)果：

2 環(huán)Fp[v]/上的跡碼

令{α0,α1,…,αl-1}是Fpl在Fp上的一組基，則{α0,α1,…,αl-1}也是R在R上的一組基.定義映射

其中i=0,1,…,l-1,且cj∈Rn.顯然hi是環(huán)R上的線性映射.

引理3令C是環(huán)R上碼長為n的線性碼，則對任意i=0,1,…,l-1,hi(C)=Tr(C).

故，hi(C)=Tr(C).

定理1令C是環(huán)R上碼長為n的循環(huán)碼，{s1,s2,…,sk}是循環(huán)碼C的極小生成元集，則{hi(sj),0≤i≤l-1,1≤j≤k}生成跡碼Tr(C).

其中ρtri∈R.于是，

從而，對任意的0≤i≤l-1，有下面等式成立

由引理3知該定理成立.

通過定理1，可得出環(huán)R上循環(huán)碼的跡碼.

則循環(huán)碼C的跡碼

Tr(C)=.

證明令C=. 其中deg(gi(x))=ti，0≤i≤m-1. 則循環(huán)碼C的極小生成元集為

S1∪S2∪…∪Sm-1.

其中

令

顯然,

其中0≤j≤l-1,0≤i≤m-1.

因此，由定理1, 可得出Tr(C)的生成元集為

下面令

則,

例1令R=F5+vF5+v2F5，其中v3=v.令f(x)=x2+4x+2是F5上的二次本原多項(xiàng)式，則R=R[x]/=F52+vF52+v2F52.令ω=x+是f(x)在F52中的一個根，設(shè)C=是環(huán)R上碼長為24的循環(huán)碼，且g(x)=(1-v2)(x3+x2+3x+3)+3(v2+v)(x+2)+3(v2-v)(x3+2x2+2x+1), 則由推論1，得

Tr(C)=<(1-v2)(x2+2)+3(v2+v)+3(v2-v)(x2+x+1)>.

3 子環(huán)子碼

令C是環(huán)R上碼長為n的線性碼，C的子環(huán)子碼用C|R表示，即C|R=C∩Rn. 若環(huán)R上碼長為n的線性碼C是循環(huán)碼，易證其子環(huán)子碼也是循環(huán)碼. Martinez-Moro 等人[1]給出Delsarte Lemma, 即有限鏈環(huán)上線性碼的跡碼與子環(huán)子碼的關(guān)系，下面給出有限非鏈環(huán)R上兩者的聯(lián)系.

類似于文獻(xiàn)[1]，可以給出有限非鏈環(huán)上的Delsarte引理。證明過程類似于文獻(xiàn)[1]中的證明過程.

引理4[Delsarte 引理]

令C是環(huán)R上碼長為n的線性碼, 則

(C|R)⊥=Tr(C⊥).

根據(jù)引理4，給出有限非鏈環(huán)R上，循環(huán)碼的子環(huán)子碼的生成元.

推論2令C是環(huán)R上碼長為n的循環(huán)碼，其中

C=.

令

證明由C=，得

由推論1，可得出

Tr(C⊥)=

em-1gcd(g0,m-1(x)*,g1,m-1(x)*,…,gl-1,m-1(x)*)>.

再由引理4，C|R=(Tr(C⊥))⊥, 從而

例2令R=F3+vF3+v2F3，其中v3=v.令f(x)=x2+2x+2是F3上的二次本原多項(xiàng)式，則R=R[x]/=F32+vF32+v2F32.令ω=x+是h(x)在F52中的一個根，設(shè)C=是環(huán)R上碼長為8的循環(huán)碼，且g(x)=(1-v2)(x3+x2+x+1)+2(v2+v)(x3+2x2+2)+2(v2-v)(x3+x+2), 則由推論1，得

Tr(C)=<(1-v2)(x2+1)+2(v2+v)(x2+x+2)+2(v2-v)(x2+2x+2)>.

由引理4得

[1]DELSARTE P. On subfield subcodes of modified Reed-Solomon codes [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1975, 21(5):575-576.

[2]GAO Z H, FU F W. Linear recurring sequences and subfield subcodes of cyclic codes[J]. Science China Mathematics, 2013, 56(7):1 413-1 420.

[3]HAMMONS A R, KUMAR P V，CALDERBANK A R, et al. The-linearity of kerdock, preparata, goethals, and related codes [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1994, 40(2): 301-319.

[4]JITMANA S，UDOMKAVANICHB P. On the structure of constacyclic codes of lengthps overFpk+uFpk+…+um-1Fpk[J]. International Journal of Algebra, 2010, 4(11): 507-516.

[5]YILDIZ B, KARADENIZ S. Self-dual codes overF2+uF2+vF2+uvF2[J]. Journal of the Franklin Institute,2010,347(10):1 888-1 894.

[6]高健, 王現(xiàn)方, 施敏加, 等. 環(huán)Fp[v]/上線性碼的Gray映射及其應(yīng)用[J]. 中國科學(xué):數(shù)學(xué), 2016, 46(9): 1 329-1 336.