“依形定數(shù)”談函數(shù)問(wèn)題的解答

☉江蘇省宜興市第二高級(jí)中學(xué) 吳勇珍

“依形定數(shù)”談函數(shù)問(wèn)題的解答

☉江蘇省宜興市第二高級(jí)中學(xué) 吳勇珍

圖像是函數(shù)的主要表示形式，圖像能直觀展現(xiàn)出函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、對(duì)稱性、定點(diǎn)、零點(diǎn)等.在解答函數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí)，借助其圖像“依形定數(shù)”，往往能順利找到問(wèn)題的突破口，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的簡(jiǎn)潔求解.下面舉例加以說(shuō)明.

引例（2017年山東卷）已知當(dāng)x∈［0，1］時(shí)，函數(shù)f（x）=（mx-1）2的圖像與的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）.

解析：函數(shù)f（x）=（mx-1）2的圖像為拋物線，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)為（0，1）.

圖1

圖2

綜上所述，m的取值范圍為（0，1］∪［3，+∞）.故選B.

評(píng)析：本題求解的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出兩函數(shù)的圖像，由形確定數(shù)的范圍.作圖時(shí)要注意挖掘函數(shù)的確定信息，如函數(shù)f（x）=（mx-1）2的圖像對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及在y軸上的截距，函數(shù)可由的圖像向上平移m個(gè)單位得到.根據(jù)這些信息可確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，從而快速確定參數(shù)的取值范圍.

一、準(zhǔn)確尋找臨界狀態(tài)

圖3

解析：作出函數(shù)f（x）的圖像（如圖3）.方程f（x）=a（x+1）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即直線y=a（x+1）與函數(shù)f（x）的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn).

又直線y=a（x+1）過(guò)定點(diǎn)（-1，0），由圖3易知，當(dāng)直線y=a（x+1）與曲線相切時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)此時(shí)直線y=a（x+1）的斜率為k，即a=k.所以當(dāng)0＜a＜k時(shí)，兩函數(shù)有三個(gè)不同交點(diǎn)，即已知方程有三個(gè)不同實(shí)根.因此只要求出k值，問(wèn)題即可得解.

評(píng)析：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：可導(dǎo)函數(shù)f（x）在某一點(diǎn)x=x0的導(dǎo)數(shù)值f′（x0），即為函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線的斜率.本題中參數(shù)范圍的確定，關(guān)鍵是找到直線y=a（x+1）與曲線相切時(shí)的臨界狀態(tài)，進(jìn)而利用利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線的切線斜率.

二、巧借函數(shù)的對(duì)稱性

A.（0，1）B.（1，4）

C.（0，1）∪（1，+∞）D.（0，1）∪（1，4）

解析：由函數(shù)f（x）的圖像上有且只有兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則y=logax與y=|x+3|關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像僅有一個(gè)交點(diǎn).函數(shù)y=|x+3|關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為y=|3-x|，0＜x≤4.

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，如圖4所示，符合題意.

圖4

圖5

當(dāng)a＞1時(shí)，如圖5，欲滿足題意，須loga4＞1，所以a＜4，即1＜a＜4.

故正確選項(xiàng)為D.

評(píng)析：兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，只需要將已知函數(shù)中的x換為-x，y不變，即可得到.本題條件中函數(shù)f（x）的圖像上有且只有兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則將y軸一側(cè)的函數(shù)圖像沿y軸對(duì)稱后，與另一側(cè)的函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，使問(wèn)題簡(jiǎn)潔獲解.

三、把握函數(shù)的幾何意義

解析：由條件中所給關(guān)系式的特征，結(jié)合直線的斜率公式，假設(shè)，則問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線y=kx與函數(shù)f（x）的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

圖6

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f（x）的圖像如圖6所示，由圖易知，直線y=kx與函數(shù)f（x）的圖像最多有3個(gè)交點(diǎn)，故n的最大值為3.

當(dāng)n=2時(shí)，由圖易知，當(dāng)直線y=kx與曲線g（x）=-x2+4x-3（1≤x≤3）相切時(shí)，k取得最大值.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），對(duì)g（x）求導(dǎo)得g′（x）=-2x+4，所以k=g′（x0）=-2x0+4，則有，解得，所以k的最大值為

評(píng)析：過(guò)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）的直線斜率k=，其中可視為過(guò)原點(diǎn)的某一直線的斜率，與此類型相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，?？山柚本€的斜率求解.本題中將條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，從而將問(wèn)題直觀、簡(jiǎn)潔求解.

四、明確函數(shù)的變化關(guān)系

圖7

評(píng)析：準(zhǔn)確把握函數(shù)圖像的變化關(guān)系，通過(guò)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確作圖，利用數(shù)形結(jié)合思想，有效回避了分類討論，使問(wèn)題直觀獲解.

“數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”.華羅庚先生之所以如此推崇數(shù)形結(jié)合思想，是因?yàn)椤靶巍笨梢允鼓承?shù)字問(wèn)題直觀化.在函數(shù)問(wèn)題的處理中，將數(shù)與形進(jìn)行緊密結(jié)合可找到簡(jiǎn)潔的解題途徑.