高中數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)之淺見(jiàn)

☉湖北省水果湖高中 趙 宇

高中數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)之淺見(jiàn)

☉湖北省水果湖高中 趙 宇

愛(ài)因斯坦說(shuō)：“創(chuàng)造性原則寓于數(shù)學(xué)之中.”今天，數(shù)學(xué)文化已成為現(xiàn)代科技文化的核心，它的形式化語(yǔ)言，理性主義觀念，抽象的、邏輯的思維方式，已成為現(xiàn)代社會(huì)成員必備的素質(zhì).

數(shù)學(xué)是一門思維的學(xué)科，思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的核心.數(shù)學(xué)思維，強(qiáng)調(diào)敏捷、靈活、廣闊、深刻.與初中生相比，高中生在數(shù)學(xué)方面面臨著這樣一個(gè)困難的局面：更抽象的語(yǔ)言、更理性的思考、更龐大的知識(shí)體系，這樣的難關(guān)，需要很強(qiáng)的思維能力才能闖過(guò).因此，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，應(yīng)該是高中數(shù)學(xué)教師最重要的使命.

在此，筆者根據(jù)自己多年的教學(xué)所得，試圖總結(jié)出一些培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的方法，供大家參考.

一、注重激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維興趣

興趣是提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的原動(dòng)力，也是思維發(fā)展的前提條件.在教學(xué)中，教師可以通過(guò)一些容易讓學(xué)生感興趣的思維性問(wèn)題，讓他們主動(dòng)動(dòng)手、動(dòng)腦，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的目的.

例1 甲乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步.乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步.如果兩人步行速度和跑步速度均相同，則（ ）.

A.甲先到 B.乙先到

C.同時(shí)到 D.無(wú)法確定

解析：設(shè)寢室到教室的距離為2S，步行速度和跑步速度分別為v1，v2，顯然v1＜v2，則.于是

所以乙先到，故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題因與學(xué)生日常生活緊密相連，所以容易引起共鳴，從而主動(dòng)思考作答.

例2 某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為_(kāi)_______cm.

解析：依題意，父親與兒子的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)可列表如下：

父親的身高（x） 173 170 176兒子的身高（y） 170 176 182

則x=173，y=176，于是

所以回歸直線方程為y=x+3.

從而可預(yù)測(cè)他孫子的身高為182+3=185（cm）.

點(diǎn)評(píng)：本題容易引起學(xué)生熱烈的討論，但對(duì)很多人而言，可能不得其門而入，主要原因是他們忽略了關(guān)鍵語(yǔ)句“兒子的身高與父親的身高有關(guān)”，從而不能準(zhǔn)確地列表.

二、注重學(xué)生的點(diǎn)滴積累

冰凍三尺，絕非一日之寒.數(shù)學(xué)思維同樣不會(huì)一蹴而就，它在乎學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷地積累、沉淀、發(fā)酵.數(shù)學(xué)思維從來(lái)不排斥靈光一現(xiàn)，但更多地，應(yīng)該是水到渠成.

例4 設(shè)a∈R，若x＞0時(shí)均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=________.

解析：首先排除a=1，設(shè)f（x）=（a-1）x-1，g（x）=x2-ax-1，則f（x）與g（x）的圖像均過(guò)定點(diǎn)（0，-1），欲使題中不等式成立，f（x）的圖像必過(guò)g（x）的圖像與x軸正半軸的交點(diǎn)，即（fx）與g（x）有相同的零點(diǎn)，即1=0，計(jì)算得a=0或，顯然a=0不滿足題意，故點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵在于通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)求解，注意到f（x）與g（x）的圖像均過(guò)定點(diǎn)（0，-1）之后，一切順理成章.如果盲目討論，只能深陷泥濘，無(wú)法自拔.

三、注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散

上面所講的數(shù)學(xué)思維，主要是利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)及傳統(tǒng)方法解決問(wèn)題的思維方式，屬于收斂思維的范疇.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些問(wèn)題，用既有的思維方式難以取得突破，甚至舉步維艱，此時(shí)需要我們脫離傳統(tǒng)思維的束縛，用非常規(guī)的思維方式去尋求突破，這正是發(fā)散思維的顯著特征.

例5 關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是________.

傳統(tǒng)上，可分一正根一負(fù)根和兩負(fù)根進(jìn)行討論，再加上a=0滿足題意，可求得最后結(jié)果.但我們可適時(shí)提出：本著小題不大做的原則，是否可以找到一個(gè)更好的方案？經(jīng)過(guò)循循善誘，最后發(fā)現(xiàn)可將參數(shù)a和變量x分離，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的問(wèn)題.

解析：ax2+2x+1=0?a=-（x＜0），所以a≤1.

點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化需要靈感，而靈感的來(lái)源，主要應(yīng)該是扎實(shí)的基礎(chǔ).

例6 臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，則B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為多少小時(shí)？

我們來(lái)看看學(xué)生的思維過(guò)程：

（1）直觀地，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，30為半徑畫(huà)圓，考察圓與城市B的包含情況，但因?yàn)榕_(tái)風(fēng)中心（即圓心）在不斷移動(dòng)，難以把握，問(wèn)題陷入僵局；（傳統(tǒng)思維的局限）

（2）經(jīng)過(guò)再思考，討論，發(fā)現(xiàn)可以城市B為圓心，30為半徑畫(huà)圓，考察它與臺(tái)風(fēng)中心的包含情況，因臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)是一條連續(xù)的直線，故問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為此直線與圓相交部分的長(zhǎng)度的問(wèn)題，柳暗花明.（發(fā)散思維形成突破）

解析：如圖1，在△ABC中，由余弦定理可得

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos45°.因?yàn)锳B=40，BC=30，

所以CD=AD-AC=20，由于臺(tái)風(fēng)中心的速度為20，故B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為1小時(shí).

圖1

另解：可根據(jù)圓自身的性質(zhì)，取CD中點(diǎn)E，連接BE，則BE⊥CD，即可求解.

點(diǎn)評(píng)：在本題的解決過(guò)程中，教師更適合做一個(gè)旁觀者，最多給予學(xué)生適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，從而讓學(xué)生能自行完成思維發(fā)散的過(guò)程.

不入其門，難解個(gè)中滋味；臨其境者，始覺(jué)妙用無(wú)窮.然不積跬步，無(wú)以至千里，不積小流，何以成江河？強(qiáng)大的數(shù)學(xué)思維能力，需要學(xué)生日積月累的扎實(shí)基礎(chǔ)，需要學(xué)生閱盡千帆后的開(kāi)闊視野，而我們教師能做的，應(yīng)該就是用自己的所學(xué)、所得，把學(xué)生引進(jìn)數(shù)學(xué)殿堂的思維之門.