立體幾何常見題型及解法研究

☉安徽省宣城市宣城中學(xué) 梅 垚

立體幾何常見題型及解法研究

☉安徽省宣城市宣城中學(xué) 梅 垚

從高考對立體幾何部分的考查來看，該部分內(nèi)容的難度處在中檔，學(xué)生只要掌握了一定的解題方法，就可以將這些分?jǐn)?shù)得到.高中立體幾何的學(xué)習(xí)對于學(xué)生的空間想象能力具有較高的要求，外加學(xué)生早期并未接觸立體幾何類的問題，導(dǎo)致很多學(xué)生在面對立體幾何問題時，顯得手足無措.因此，研究高中數(shù)學(xué)立體幾何常見的問題類型和解題策略對于解除學(xué)生對立體幾何的心理障礙，提高學(xué)生立體幾何學(xué)習(xí)的信心和解題能力具有重要的意義.

一、高中數(shù)學(xué)立體幾何常見問題類型

1.證明題

證明類問題在高中幾何問題中較為常見，也是較為基礎(chǔ)的問題，該類型的問題主要包括垂直類、平行類等問題的證明，其中，垂直類問題主要包括異面直線的垂直、線面垂直、面面垂直等.

例1 在四棱錐P-ABCD中，PA垂直于底面ABCD，其中AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC=4，E是PC的中點.證明：AE⊥CD；PD⊥平面ABE.

題目中要求證明兩條直線垂直和直線與平面垂直，其中兩條直線垂直可以通過證明兩條直線的方向向量垂直來實現(xiàn)，而直線與平面垂直又可以通過證明所在平面直線與直線垂直來實現(xiàn).在證明第一個問題時，可以通過建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題目中的已知條件標(biāo)出C點、D點和E點的坐標(biāo)，進而求出向量CD和向量AE的坐標(biāo)式，最后根據(jù)向量AE垂直向量CD求出AE⊥CD.在證明第二個問題時，可以先根據(jù)P點坐標(biāo)求出向量PD的空間坐標(biāo)，根據(jù)向量AE和向量PD的乘積為零，進而得出PD⊥AE，又根據(jù)PD⊥AB，AB∩AE=A，最終求出PD⊥平面ABE.

平行類問題主要包括直線與直線之間的平行、直線與平面之間的平行、兩個平面之間的平行等.在證明這一類問題時可以通過以下幾種方法進行證明：第一，可以利用直線和平面平行的判定定理，由線線平行來推出線面平行.第二，可以利用兩個平面平行的性質(zhì)定理，由面面平行來推出線面平行.

例2 正方形ABCD和正方形ABEF是兩個全等的正方形，它們所在的兩個平面相交于AB，其中M∈AC，N∈FB，并且AM=FN，求證：MN∥平面BCE.

在解決這一問題時，可以通過作BC、BE的垂線MP和NQ，利用NQ、BN、MP、CM的數(shù)量關(guān)系求證MPQN為平行四邊形，再通過MN、PQ和平面BCE的關(guān)系得出證明結(jié)果.

2.計算題

在高中階段的立體幾何部分的計算題中主要包括點面距離的計算、空間角的計算和空間圖形體積的計算幾種類型.

第一，點到平面距離的問題是解決立體幾何部分距離問題的重點.在解決這一類問題的時候可以利用定義直接作出點到面的距離，再對它們進行計算，還可以將點和面轉(zhuǎn)化到一個幾何體中，利用錐體的體積公式來求出“高”.

第二，在高中數(shù)學(xué)立體幾何空間角部分的問題中，空間角主要包括兩條異面直線構(gòu)成的角、直線和平面構(gòu)成的角以及兩個平面構(gòu)成的角.在解決這類問題時，都是通過尋找圖形的性質(zhì)，尋找它們的特殊性質(zhì)，例如：中點、垂線等，其過程主要包括三個步驟：“作”、“證”、“算”.首先，對于兩條異面直線構(gòu)成的角可以采用平移法、補體法來構(gòu)造空間角的特殊關(guān)系，以此更好地解決空間角問題.其次，對于直線和平面構(gòu)成角的問題，關(guān)鍵在于尋找直線與平面的夾角，并作出相應(yīng)的垂線.最后，對于二面角問題可以利用三垂線定理、定義法和垂面法來解決.

例3 在立體幾何圖形ABCDEFG中，四邊形ABCD是幾何體的底，并且是平行四邊形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，AB=2EF.如果AC=BC=2AE，求平面角A-BF-C的大小.

第三，體積問題也是高中數(shù)學(xué)立體幾何的重要組成部分，其主要涉及錐體和球體的體積計算，解決這類問題的主要思想就是圖形轉(zhuǎn)化，將未知圖形的體積問題轉(zhuǎn)化為已知圖形的體積問題.

3.拓展題

在高考數(shù)學(xué)立體幾何部分中，除了考查一些固定的點、線、面、角等問題，還會考查一些探究性、開放性的問題，這些探究性的問題也往往是圍繞來著點的位置、線的長度、空間角和體積的范圍來設(shè)計.在解決這類問題的時候，一方面，可以通過直接尋找點、線、面等相關(guān)量的方式求解，另一方面，可以通過“先假設(shè)、后驗證、再求解”的方式求解.通過對近幾年高考數(shù)學(xué)立體幾何問題的統(tǒng)計可以看出，對于拓展類的問題主要包括以下幾種：給定結(jié)論去探究問題成立條件；給定相關(guān)條件探究相關(guān)結(jié)論；假設(shè)結(jié)論存在探究該結(jié)論存在的真實性.隨著教育改革的實施，高考數(shù)學(xué)立體幾何部分的拓展題型也會不斷發(fā)展，會在形式上出現(xiàn)新的變化.

例4 在四棱錐P-ABCD中，PA垂直于四棱錐的底面ABCD，其中45°.在線段AD上是否存在一點G，使得G點到P、B、C、D之間的距離都相等？為什么？

二、高中數(shù)學(xué)立體幾何常用解題方法

高中數(shù)學(xué)立體幾何部分采用的解題方法多數(shù)集中在以下幾種：數(shù)形結(jié)合、向量方法、建模方法、合情推理等，其中數(shù)形結(jié)合、向量方法是最為常用的解題方法.

1.數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法就是通過“以數(shù)助形”、“以形助數(shù)”的方式將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的數(shù)學(xué)圖形結(jié)合起來，將形轉(zhuǎn)化為數(shù)，或者將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，能夠借助代數(shù)的相關(guān)知識完成幾何圖形的求解，在立體幾何解題中利用數(shù)形結(jié)合的方法能夠解決那些直接求解難以完成的問題.［1］從本質(zhì)上來看，數(shù)形結(jié)合法就是根據(jù)“數(shù)”的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出對應(yīng)的幾何圖形，利用幾何圖形的規(guī)律解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.尤其是在選擇題和填空題上，由于不需要嚴(yán)格的計算過程，利用數(shù)形結(jié)合法能夠幫助學(xué)生快速打開思路，完成解題.

例5 一只小蟲在2m×3m×4m的長方體上爬行，它從頂點A爬到另一頂點所經(jīng)過的最短距離是多少？

這是一個考查最短距離的立體幾何問題，學(xué)生在分析問題的過程中首先需要將空間中的距離問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的距離問題，根據(jù)題目可以將空間距離轉(zhuǎn)化為以下幾種情況：

圖1

圖2

圖3

根據(jù)轉(zhuǎn)化成的平面圖形如圖1，圖2，圖3，就可以很直觀地求出從A點到另一頂點的最短距離.

2.向量法

向量不僅是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，還是高中數(shù)學(xué)解題的重要工具，在新的課程理念中就提到：在解決立體幾何問題中，要以向量法為主.［2］向量法主要應(yīng)用于位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系兩部分，在位置關(guān)系部分，主要是利用直線的方向向量、平面法向量等知識來解決線線垂直、線面垂直、平行關(guān)系的判定等問題.在數(shù)量關(guān)系部分，主要利用空間坐標(biāo)系與向量來解決夾角計算和距離計算的問題.

例6 在四棱錐P-ABCD中，ABCD是四棱錐的底，并且為正方形，PD垂直于底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，過E點作BP的垂線EF交BP于點F.

證明：PA∥平面EDB.

在解決這一問題時，首先建立之間坐標(biāo)系，通過直角坐標(biāo)系求平面EDB的法向量，之后根據(jù)PA和法向量的乘積為零，可以求出PA∥平面EDB.

3.建模法

在高中立體幾何解題中，有很多圖形沒有明顯的垂直關(guān)系，難以建立空間直角坐標(biāo)系，這時就需要構(gòu)建一個無形的基底，借助這一基底將所需的向量表示出來，這就是建模法，它是利用向量的非坐標(biāo)形式來解決幾何中具體問題的有效方法.

三、結(jié)束語

通過對立體幾何相關(guān)問題類型和解題策略的研究，能夠幫助教師和學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，改變通過題海戰(zhàn)術(shù)來提高學(xué)生解題能力的狀況，使學(xué)生真正體會到立體幾何的樂趣，進而提高學(xué)生對立體幾何問題的解題能力.

1.羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

2.張德峰.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（9）.F