Buck變換器的混雜建模

韓俊鋒，張 波，丘東元

（華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣州 510640）

Buck變換器的混雜建模

韓俊鋒，張 波，丘東元

（華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣州 510640）

詳細(xì)分析了Buck變換器在不同工作模態(tài)之間的切換條件，并建立了Buck變換器的精確模型。在建模過(guò)程中，對(duì)于Buck變換器在不同工作模態(tài)下的切換條件用相應(yīng)的邏輯合命題來(lái)表示，利用邏輯命題與整數(shù)不等式之間的等價(jià)關(guān)系，把Buck變換器的切換條件等價(jià)轉(zhuǎn)換成混合整數(shù)不等式,并將不等式約束加入到系統(tǒng)方程中來(lái)描述系統(tǒng)的混雜特性，從而建立了Bcuk變換器的新型混雜模型。該模型描述形式簡(jiǎn)單，符合變換器工作時(shí)各模態(tài)間切換的一般規(guī)律，在DC/DC變換器的建模上具有一定的理論價(jià)值。

Buck變換器；邏輯變量；不等式；建模

Abstract：The switching conditions of Buck converter in different operating modes is analyzed in detail,and an accurate model is built in this paper.In the modeling process,the switching conditions of Buck converter are described as logical statements.Based on the equivalent translation principle between the logical statements and linear inequalities,the switching conditions of Buck converter can be transformed into mix integer inequalities.The proposed model is a new hybrid model which is different from the existing ones.

Keywords:Buck converter;logical variable;inequality;modeling

DC/DC變換器是工業(yè)上廣泛應(yīng)用的功率變換器之一，對(duì)變換器模型的研究正逐漸成為電力電子技術(shù)研究的一個(gè)熱點(diǎn)。DC/DC變換器的建模方法中最具代表性的是狀態(tài)空間平均法[1-2]和平均值等效電路法[3-4]。狀態(tài)空間平均法是通過(guò)開(kāi)關(guān)占空比加權(quán)對(duì)時(shí)間進(jìn)行平均處理而得到一個(gè)關(guān)于原電路統(tǒng)一的狀態(tài)方程，再經(jīng)小信號(hào)擾動(dòng)和線性化處理，得到一個(gè)統(tǒng)一的等效電路模型；平均值等效電路法是從電路中具體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)出發(fā)，將電路中的線性部分由受控電壓源或電流源進(jìn)行替換，并進(jìn)行了平均和線性化處理，最終得到其線性等效電路模型。因此，狀態(tài)空間平均法與平均值等效電路法實(shí)際上都是一種近似的建模方法。而DC/DC變換器是一種強(qiáng)非線性電路，電路在工作中經(jīng)常存在輸入電壓或輸出負(fù)載的大幅度擾動(dòng)，這時(shí)小信號(hào)模型中的瞬態(tài)響應(yīng)與系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)之間的誤差就會(huì)比較大，因此建立DC/DC變換器的精確模型就顯得特別重要。

1999年Bemporad和Morari[5]提出了混合邏輯動(dòng)態(tài)MLD（mixed logical dynamical）系統(tǒng)的模型，該模型是把離散變量與系統(tǒng)連續(xù)狀態(tài)變量聯(lián)系成為一個(gè)統(tǒng)一狀態(tài)方程。由于建模方法適用范圍廣，且在建模過(guò)程沒(méi)有對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行近似變化，因此MLD建模方法被許多學(xué)者用來(lái)研究電力電子變換器的建模[6-9]。在DC/DC變換器中，將開(kāi)關(guān)狀態(tài)的“開(kāi)”和“關(guān)”看作是離散變量、系統(tǒng)的狀態(tài)變量看作是連續(xù)變量，采用MLD建模方法對(duì)DC/DC變換器進(jìn)行建模實(shí)際上是一種混雜建模過(guò)程。Mihaela Sbarciogt和Robin De Keyser[10]建立了開(kāi)環(huán)情況下Boost變換器的MLD模型，而Mohammad Hejri和Hossein Mokhtari[11-12]應(yīng)用MLD建模方法分別在閉環(huán)控制情況下對(duì)Buck變換器和Boost變換器建立了MLD模型，仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的正確性。

雖然DC/DC變換器的MLD模型是一種精確模型，但是建模過(guò)程中引入了一些連續(xù)變量及邏輯變量，因此模型本身含有較多不等式，在模型的分析與設(shè)計(jì)上會(huì)存在一些問(wèn)題。本文針對(duì)目前常用的降壓電路Buck變換器進(jìn)行建模，在MLD的建模方法的基礎(chǔ)上，從變換器的工作機(jī)理出發(fā)，建立了Buck變換器混雜模型，該模型描述形式簡(jiǎn)單，符合變換器工作時(shí)各模態(tài)間切換的一般規(guī)律，在DC/DC變換器的建模上具有一定的理論價(jià)值。

1 邏輯命題與混合整數(shù)不等式

混合邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是由相互依賴的物理規(guī)律、邏輯法則以及一系列約束條件組成的系統(tǒng)，因此把命題與邏輯變量聯(lián)系起來(lái)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。用Xi表示命題，用“T”（true）和“F”（false）表示命題的真假。引入邏輯變量δi∈{0,1}，與相應(yīng)的命題聯(lián)系起來(lái)，當(dāng)Xi=T時(shí)，δi=1；當(dāng)Xi=F時(shí)，δi=0，即Xi=T?δi= 1。利用上面的邏輯關(guān)系與混合整數(shù)不等式之間的聯(lián)系，考慮同時(shí)具有連續(xù)動(dòng)態(tài)事件和離散事件的混合系統(tǒng)，用命題語(yǔ)句及邏輯變量進(jìn)行描述。

命題語(yǔ)句與混合整數(shù)不等式間的關(guān)系[5]為

式中，ε為任意小的正數(shù)，ε＞0。

對(duì)于邏輯變量與邏輯變量的乘積δ1δ2及邏輯變量與函數(shù)項(xiàng)的乘積y=δf（x），文獻(xiàn)[5]也給出了命題語(yǔ)句與混合整數(shù)不等式間的關(guān)系，即

2 Buck變換器動(dòng)態(tài)分析

Buck是一種典型的DC/DC變換器，具有降壓功能，其電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中，R表示輸出負(fù)載，C表示電容，vo表示輸出電壓，L表示電感系數(shù)，iL表示電感電流，vs表示輸入電壓。

圖1 Buck變換器電路拓?fù)銯ig.1 Topology buck converter circuit

階段1：當(dāng)開(kāi)關(guān)閉合時(shí)，二極管反向截止，Buck變換器工作于模態(tài)1，其等效電路如圖2所示。

圖2 Buck變換器模態(tài)1的等效電路Fig.2 Equivalent circuit of Buck converter in mode 1

由圖2可得Buck變換器模態(tài)1的狀態(tài)方程為

階段2：當(dāng)開(kāi)關(guān)斷開(kāi)且二極管導(dǎo)通時(shí)，Buck變換器工作于模態(tài)2，等效電路如圖3所示。由圖3可得Buck變換器模態(tài)2的狀態(tài)方程為

圖3 Buck變換器模態(tài)2的等效電路Fig.3 Equivalent circuit of Buck converter in mode 2

階段2中，開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)電感電流iL逐漸變小，當(dāng)iL=0，即當(dāng)電感電流出現(xiàn)斷續(xù)情況時(shí)，則Buck變換器工作于模態(tài)3，等效電路如圖4所示。由圖4可得Buck變換器模態(tài)3的狀態(tài)方程為

從以上分析可以看出，Buck變換器在不同的工作模態(tài)下，相應(yīng)的狀態(tài)方程也不同。

圖4 Buck變換器模態(tài)3的等效電路Fig.4 Equivalent circuit of buck converter in mode 3

3 Buck變換器的建模

文獻(xiàn)[5]中的離散形式MLD模型，利用不等式描述控制系統(tǒng)的邏輯關(guān)系和約束關(guān)系，并將不等式約束加入到系統(tǒng)方程描述系統(tǒng)的混雜特性。

為建立Buck變換器的混合邏輯動(dòng)態(tài)模型，引入邏輯變量δi（i=1，2，3），表示系統(tǒng)的3個(gè)工作模態(tài)，δi∈{0，1}且滿足δ1+δ2+δ3=1，即變換器在任意時(shí)刻只能實(shí)現(xiàn)某一種工作模態(tài)，則狀態(tài)方程改為

引入下列邏輯命題：

命題1：vcon-vramp≥0時(shí)開(kāi)關(guān)閉合，即變換器工作于模態(tài)1。

命題2：開(kāi)關(guān)斷開(kāi)且 iL（t）＞0，即變換器工作于模態(tài)2。

命題3：開(kāi)關(guān)斷開(kāi)且iL（t）≤0，即變換器工作于模態(tài)3。

由于模態(tài)2到模態(tài)3的過(guò)程取決iL（t）的大小，故再引入一個(gè)邏輯變量δ4表示iL（t）＞0。則上述邏輯命題與邏輯變量可以表示為

于是式（10）中的部分關(guān)系式可以用邏輯變量與邏輯變量的乘積項(xiàng)描述，即

利用式（1）～式（5），邏輯關(guān)系式（10）和式（11）可以轉(zhuǎn)化為

設(shè)δ＝[δ1δ2δ3δ4]'，vcon=K（vref-vo），其中K為比例系數(shù)。式（12）寫(xiě)成矩陣不等式的形式，再結(jié)合式（9），則Buck變換器的模型可以描述為

其中：

在式（13）模型中，通過(guò)對(duì)約束條件的計(jì)算，可以得到邏輯變量δi（i=1,2,3,4）和系統(tǒng)的狀態(tài)變量x。式（13）模型的建模過(guò)程中結(jié)合了Buck變換器自身的特點(diǎn)，利用邏輯變量與不等式的關(guān)系，引入4個(gè)邏輯變量建立了Buck變換器的混雜模型。與已有的混雜模型[11-12]相比，式（13）采用了較少的邏輯變量，使得模型的約束條件變得更加簡(jiǎn)單；且建模過(guò)程采用的是系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)的瞬時(shí)變量，沒(méi)有任何的假設(shè)條件。因此模型式（13）是一個(gè)高精度的模型，它把系統(tǒng)在各個(gè)階段的工作條件轉(zhuǎn)成矩陣不等式，改變了傳統(tǒng)建模方法以時(shí)間區(qū)間作為工作條件的想法，使得模型在應(yīng)用上解決了各階段工作條件時(shí)間區(qū)間不易求解的因難。

4 仿真驗(yàn)證

以Buck變換器工作在連續(xù)導(dǎo)通模式CCM（continuous conduction mode）和斷續(xù)導(dǎo)通模式DCM（discontinuous conduction mode）的情況為例驗(yàn)證式（13）Buck變換器模型的正確性。基于Matlab的Buck變換器仿真參數(shù)選取如下：開(kāi)關(guān)頻率f=10 kHz，輸入電壓 vs=20 V，參考電壓 vref=8 V，電感L=1 mH，電容C=100 μF,常數(shù)K＝6，M＝1 000，m=-1 000，ε=10-8，擾動(dòng)負(fù)載 R為 10 Ω [t∈（0，0.02）]、60 Ω [t∈（0.02，0.04）]、10 Ω[t∈（0.04，0.06）]。仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 Buck變換器電感電流及輸出電壓波形Fig.5 Waveforms of inductor current and outputvoltage of the Buck converter

圖6 負(fù)載擾動(dòng)時(shí)Buck變換器電感電流及輸出電壓瞬態(tài)波形Fig.6 Transient waveforms of inductor current and output voltage the Buck converter when the load changed

仿真結(jié)果表明，當(dāng)Buck變換器的負(fù)載電阻R為10 Ω時(shí)，變換器工作在CCM模式；當(dāng)t∈（0.02，0.04）時(shí)，Buck變換器的負(fù)載電阻R為60 Ω時(shí)，變換器工作在DCM模式。因此，仿真結(jié)果說(shuō)明對(duì)于模型式（13）無(wú)論Buck變換器工作在CCM模式還是DCM模式，其輸出電壓都能保持穩(wěn)定，即Buck變換器混雜模型與理論分析基本一致。

5 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)Bcuk變換器工作在CCM和DCM的情況下進(jìn)行分析，把不同模態(tài)間的切換條件等效轉(zhuǎn)換成混合整數(shù)不等式，建立了Buck變換器的新型混雜模型。與原有模型相比，該模型中包含的邏輯變量較少，模型的表達(dá)形式比較簡(jiǎn)單，是一個(gè)高精度模型，有助于對(duì)Buck變換器動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行更加詳細(xì)的分析。仿真結(jié)果與理論分析基本一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的正確性及有效性。

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Hybrid Modeling of Buck Converter

HAN Junfeng,ZHANG Bo,QIU Dongyuan
（School of Electric Power,South China University of Technology,Guangzhou 510640,China）

韓俊鋒

10.13234/j.issn.2095-2805．2017．5.160

TM46

A

2015-12-08；

2016-05-10

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目（50937001）；福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目（JAT170192）

Project Supported by the State Key Program of National Natural Science of China（50937001）;the Young and Middle-aged Foundation of Fujian Province Education Research（JAT170192）

韓俊鋒（1983-），男，博士研究生，研究方向:電力電子系統(tǒng)分析與控制，E-mail: hjf912@163.com。

張波（1962-），男，通信作者，博士，教授，研究方向:電力電子及電氣傳動(dòng)、電力電子變換器非線性現(xiàn)象等，E-mail：epb zhang@scut.edu.cn。

丘東元（1972-），女，博士，教授，研究方向：電力電子系統(tǒng)非線性現(xiàn)象和故障診斷方法，E-mail：epdyqiu@scut.edu.cn。