運(yùn)用化歸思想中的“整體代換”解題

翟德宏

【摘要】化歸是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，是數(shù)學(xué)思想的精髓。數(shù)學(xué)研究的過(guò)程自始至終貫穿著“化生為熟，化繁為簡(jiǎn)”的過(guò)程，從而使問(wèn)題得以圓滿解決。本文介紹了化歸思想，并著重例舉如何運(yùn)用化歸思想中的“整體代換”思想，將題目化難為易，最終解決問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】化歸 ； 整體代換 ； 解題方法

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）2-0266-02

1.化歸思想綜述

1.1化歸思想的概念

“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，其基本思想是：人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常是將待解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)問(wèn)題，而問(wèn)題是相對(duì)較易解決或已有固定解決程式的問(wèn)題，且通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決可得原問(wèn)題的解答。

具體簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是將一些復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將一般的問(wèn)題特殊化，將未知的問(wèn)題變成已知問(wèn)題，將一個(gè)綜合性的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成為幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題等等。化歸思想解決問(wèn)題的核心是，并不是對(duì)數(shù)學(xué)題目進(jìn)行直接的進(jìn)攻，而是自己對(duì)題目進(jìn)行變形，將這個(gè)題目化歸成為比較容易解決的問(wèn)題?；瘹w思想的實(shí)質(zhì)就是用動(dòng)態(tài)的、發(fā)展的、變化的眼光看待事物，將一些問(wèn)題進(jìn)行變形，這其實(shí)就是在數(shù)學(xué)中的辯證唯物主義的思想。

從波利亞的學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論來(lái)看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程其實(shí)質(zhì)是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是通過(guò)同化和順應(yīng)兩種方式實(shí)現(xiàn)的，而數(shù)學(xué)思想方法對(duì)同化和順應(yīng)進(jìn)行推進(jìn)，進(jìn)而對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展起重要作用。實(shí)際上，無(wú)論是同化和順應(yīng)，都是在原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新的數(shù)學(xué)內(nèi)容之間，改造一方去適應(yīng)另一方，這種改造就是我們所講的轉(zhuǎn)換或化歸。由未知到已知、由難到易、由復(fù)雜到簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化，這種重要的思維特點(diǎn)，就是化歸思想。由此可以看出，化歸思想與波利亞關(guān)于解題過(guò)程中應(yīng)充分利用“輔助問(wèn)題”的思想是十分一致的，但是與之比較，化歸思想具有更強(qiáng)的目的性、方向性和概括性。

1.2化歸的一般步驟

正如著名的數(shù)學(xué)家、莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題”。運(yùn)用化歸思想，通常經(jīng)過(guò)以下步驟，將一個(gè)新的、復(fù)雜的疑難問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知的、簡(jiǎn)單的、易于解決的問(wèn)題。

第一，明確要化歸的對(duì)象，即對(duì)什么進(jìn)行化歸；第二，明確化歸的目的，即將之化歸到什么地方去；第三，尋找化歸的途徑，即將問(wèn)題怎樣進(jìn)行化歸。其關(guān)鍵就是將程序與解決的方法已經(jīng)確定的問(wèn)題加以規(guī)范化。

1.3化歸思想的意義

數(shù)學(xué)的任一門類都是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，其知識(shí)大廈無(wú)不建立在為數(shù)甚少的幾個(gè)基本概念與公理之上，這使得數(shù)學(xué)體系在結(jié)構(gòu)上具有高度的化歸性，即具有可“化新為舊”和“化繁為簡(jiǎn)”的特征，從而化歸思想成為數(shù)學(xué)的基本思想方法之一。

轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有十分重要的地位。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，總離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的互相轉(zhuǎn)化、實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化等。各種變換，總是由陌生向熟悉轉(zhuǎn)化。具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過(guò)程中。

2.運(yùn)用“整體代換”解題

“整體代換”思想是化歸思想的一個(gè)重要組成部分。所謂“整體代換”，就是把某個(gè)數(shù)學(xué)式子用一個(gè)新的量代換，以此出發(fā)，注意整體結(jié)構(gòu)及結(jié)構(gòu)的改造，再適當(dāng)作恒等變形，?？裳杆俚剡_(dá)到求解的目標(biāo)，使問(wèn)題的解答簡(jiǎn)單明了。

這里的運(yùn)算非常簡(jiǎn)潔，關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了③式的整體換元和④式的整體代換。

從上述例子可以看出，把注意力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的整體上，注意對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析和改造，靈活運(yùn)用“整體代換”的思想，有助于將題目化繁為簡(jiǎn)、化難為易。因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)注意把握教材中的整體因素，不失時(shí)機(jī)地滲透整體思想，由淺入深地展開(kāi)整體思維訓(xùn)練，以此可以得到更好的教學(xué)效果。

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