整體化思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

李修前

關(guān)鍵詞：整體化；思維方法；數(shù)學(xué)；解題應(yīng)用

【中圖分類號】G633.6

1. 引言

整體思想是系統(tǒng)論的基本原理之一。一道數(shù)學(xué)題目就能構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，就是一個(gè)整體，對于一個(gè)整體的處理，就需要一個(gè)整體化的思想方法。事實(shí)上，任何一個(gè)個(gè)題目的每個(gè)條件都構(gòu)成有機(jī)的整體，各個(gè)條件之間的互相利用是解決數(shù)學(xué)問題的必要前提。

在以往的解數(shù)學(xué)題的過程中，我們過分地講究步步為營，各個(gè)擊破的邏輯思維，將數(shù)學(xué)題分解成為了一個(gè)個(gè)我們能解決的問題，分解成為以往能夠解決的題目類型，從而忽略了整體化的思維方法。

2.整體化思維

整體化思維是指抓住整體的信息，全面地考慮數(shù)學(xué)問題，把數(shù)學(xué)題整體對待，從整體的角度來思考、分析問題的一種思維模式。對于某些數(shù)學(xué)問題，應(yīng)該仔細(xì)分析這個(gè)數(shù)學(xué)問題的整體結(jié)構(gòu)，而不是只看到了一些局部的條件，通過全面地思考、觀察，從宏觀的角度去認(rèn)識、分析、理解并解決問題。認(rèn)真挖掘已知的信息在這個(gè)整體中的作用和地位，從而找到解決數(shù)學(xué)問題的思路和方法。

3. 培養(yǎng)整體化思維的意義

3.1 有利于數(shù)學(xué)直覺思維的發(fā)展

一般的情況下，在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，講究的是精確，一絲不茍，步步為營，并且，反對猜測。這種情況下，很大程度地會把學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺能力、創(chuàng)新能力給扼殺，從而變成簡單機(jī)械的去解決數(shù)學(xué)問題。

實(shí)際上，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，不僅要去猜想，還要大膽猜想，小心求證。這種猜想，需要的就是數(shù)學(xué)直覺，而整體化思維作為一種獨(dú)特的思維方法，它就有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺能力。

數(shù)學(xué)直覺能力的兩個(gè)重要特點(diǎn)是：一、把握數(shù)學(xué)題目的整體性；二、洞察數(shù)學(xué)題目的深刻性。數(shù)學(xué)直覺能力的產(chǎn)生在于對該數(shù)學(xué)題目相關(guān)的基礎(chǔ)知識和結(jié)構(gòu)的深刻了解，具體表現(xiàn)為在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的突然頓悟，因此，會出現(xiàn)忽視某些細(xì)節(jié)和跳過一些中間步驟過程，并且能夠從整體的角度來直接把握問題的關(guān)鍵的現(xiàn)象。

3.2 有利于辯證思維能力的形成

數(shù)學(xué)中的各種思維方法體現(xiàn)了哲學(xué)中的各種思想，如果將哲學(xué)中的思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)當(dāng)中來，這將對我們?nèi)チ私鈹?shù)學(xué)問題的本質(zhì)有著巨大的幫助，尤其是對理解掌握數(shù)學(xué)中的思維方法有著深刻的影響，從而提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

數(shù)學(xué)問題中普遍存在著哲學(xué)中的辯證唯物主義的觀點(diǎn)，最常見的包括問題的對立統(tǒng)一規(guī)律，運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律，問題的相互聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化的規(guī)律，矛盾的轉(zhuǎn)化，部分與整體的辯證思想。而整體化的思維方法強(qiáng)調(diào)的就是“始終把所研究的數(shù)學(xué)問題作為一個(gè)整體來對待”，這正是對立統(tǒng)一規(guī)律的體現(xiàn)，把數(shù)學(xué)問題當(dāng)做一個(gè)矛盾體，從問題中的普遍發(fā)展聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)變化的角度來思考、觀察并分析問題，從而找到解決數(shù)學(xué)問題的答案，這之間，無形中培養(yǎng)了辯證思維的能力。

4. 整體化思維在解題中的應(yīng)用

4.1 整體代入

在遇到一些特殊的數(shù)學(xué)問題時(shí)，每個(gè)個(gè)體的求解比較繁瑣，甚至?xí)霈F(xiàn)個(gè)體無法求解出來的現(xiàn)象，這個(gè)時(shí)候通?？梢园涯承┙M合式子看做一個(gè)整體，并把這個(gè)整體直接代入另一個(gè)式子，這樣就可以避免繁瑣的計(jì)算，避免無解的現(xiàn)象，這種解題方法就是整體化的思維方法中的整體代入法。

例1 假設(shè)方程 的根為 。試求出 的值。

分析 這道題可以求解出方程的根 的具體值，但是這樣求解會得出兩個(gè)帶根號的數(shù)值。再將 的值帶入后面的式子將會出現(xiàn)含有根式的高次式，對于初高中的學(xué)生來說，解題將會變得非常繁瑣。而換個(gè)角度，用整體代入的方法將使得問題變得簡單。

4.2 整體把握

在數(shù)學(xué)中的數(shù)字不僅跟這個(gè)數(shù)字本身的大小有關(guān)，也和數(shù)字所在的位置有很大的關(guān)系，正是因?yàn)檫@個(gè)原因，使得數(shù)學(xué)中會出現(xiàn)這樣一類涉及數(shù)字所在的位置相關(guān)的題目，而這類問題用普通的計(jì)算難以求出結(jié)果，這個(gè)時(shí)候就可以把問題中需要求式的值或者一些式子的組合當(dāng)做為一個(gè)“字母”，這樣就把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為對這個(gè)“字母”的計(jì)算，而這樣往往會得到意想不到的效果，這就是整體化的思維方法中的整體把握。

例2 有一個(gè)六位數(shù)，如果將它的末位上的數(shù)字移動(dòng)到首位，這樣得到的新數(shù)字是原來數(shù)字的5倍，試求出這個(gè)六位數(shù)字是說多少。

分析 按常規(guī)的計(jì)算方法，這道題難以下手，但是從整體把握，將末位上的數(shù)字單列出來，而其它的數(shù)字當(dāng)做整體，這樣問題就可以獲得一定的簡化效果。

解 設(shè)這個(gè)六位數(shù)中的前面五位數(shù)為 ，末位上數(shù)字為 ，由題意可得：

因?yàn)?4285剛好不能被7整除，所以 必定為7的倍數(shù)，又因?yàn)?是數(shù)字，所以由題意可得： ，因此這個(gè)六位數(shù)解得 。

4.3 整體轉(zhuǎn)換

解決數(shù)學(xué)題的一個(gè)常規(guī)思路就是將問題轉(zhuǎn)換成另一個(gè)簡單熟悉的題目，而整體化的思維方法中也會用到類似的方法，不過整體化額思維方法是把要求解問題當(dāng)做是一個(gè)整體，并且通過變形簡化等方法使得整個(gè)問題轉(zhuǎn)換成為另一個(gè)較為簡單、熟悉的問題，這樣就可以達(dá)到化難為易的目的，這就是整體化的思維方法中的整體轉(zhuǎn)換。

例3 已知兩異面直線 與 所成的角度為 ， 是空間的一個(gè)定點(diǎn)，問：經(jīng)過點(diǎn) 且與 ， 兩直線所構(gòu)成的角都是 的直線共有且僅有幾條？

分析 這道題對于空間的想象能力有一定的要求，并且條件非常分散，不容易求出答案。如果將這道題轉(zhuǎn)換為另外一個(gè)同解題：如果兩直線 ， 相交于 點(diǎn)，并且所成角度為 ，那么經(jīng)過 點(diǎn)且與 ， 所成角都是 的直線有且僅有多少條？這樣一來，問題一下變得簡單了許多，且顯然知道答案就是兩條。

答 經(jīng)過點(diǎn) 且與 ， 兩直線所構(gòu)成的角都是 的直線共有且僅有兩條。

5. 結(jié)束語

整體化的思維方法是體現(xiàn)哲學(xué)辯證法思維特性的一種思維方法。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)應(yīng)用整體化的思想，一般情況下是需要將題目中的問題或者是問題的某些條件看做成一個(gè)整體，并且通過對這個(gè)整體的結(jié)構(gòu)、形式以及特征來進(jìn)行分析、討論、研究，一些特殊的問題需要通過對問題的條件和所要求的問題在這個(gè)整體中所占的地位及作用來分析研究，從而使問題得以解決。

運(yùn)用這種處理數(shù)問題的思維方法，往往可以站得高，看得遠(yuǎn)，及時(shí)地發(fā)現(xiàn)解決問題的有效途徑。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，注重整體化的思維方法的學(xué)習(xí)，對于培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)難題的能力有著顯著而積極的意義。

參考文獻(xiàn)

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