一類“對勾函數(shù)”型函數(shù)最值求法

左錦輝

【分類號】G634.6

近年來高考對函數(shù)求最值問題一直都是熱點，特別有一類“對勾函數(shù)”型的

函數(shù)的最值越來越明顯，對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般函數(shù)。所謂的對勾函數(shù)，是形如 的函數(shù)，是一種教材上沒有但考試老喜歡考的函數(shù)，所以更加要注意和學習。而函數(shù)的最值求法必須注意其定義域，同時其最值求解及研究也離不開均值不等式，所以本文先簡單介紹一下對勾函數(shù)圖像與性質(zhì)，再通過舉例來說明對勾函數(shù)最值求解的方法。對勾函數(shù)，是形如 的函數(shù)，此函數(shù)的圖像與其參數(shù) 的符號有關(guān)，為了討論方便本文只給出 時圖像，其圖像如下：

在本文的例題當中只對參數(shù) 時進行研究，當 時其 在 上為單調(diào)遞增，在 遞減。

特別地當 時，函數(shù) 性質(zhì)如下：

當 ；

；

在 上為單調(diào)遞增，在 遞減。

二、例題講解

例1 （1） 數(shù) 最大值；（2） 的最值。

解（1） 由 ，令 由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：

，于是有

所以函數(shù) 的最大值為 。

（2）由 可令 ，由對勾函數(shù)可得：

當 時，

當 時，

所以當 時， 取等號，即 取極大值 ；

當 時， 取等號，即 取極小值 。

從上例可知求解函數(shù)最值時要注意函數(shù)定義域，函數(shù)的最值也即函數(shù)值域，因此注意函數(shù)定義域是必須的。

練習1已知 求下列函數(shù)最值：

（1） ；（2） ；（3） 。

答案：（1） 最小值為 ，無最大值；（2） 最小值為 ，無最大值；（3） 最小值為 ，無最大值。

練習2求函數(shù)的 的最小值. （答案： 最小值為 ）。

三、小結(jié)

本文主要介紹了一下對勾函數(shù)型函數(shù)最值求解方法，對于對勾函數(shù)型函數(shù)是指可以通過轉(zhuǎn)化化成對勾函數(shù)，所以在求解時首先是先把函數(shù)轉(zhuǎn)化成對函數(shù)，再利用對勾函數(shù)的圖像用及性質(zhì)求解，當然在求解過程中，有些問題可以利用均值不等式來解，但利用均值不等式求解時要注意取等號時是否能成立，若不能成立，文中采用了函數(shù)的單調(diào)性來求解，如文中的例題3就說明了這一些問題的處理方法。endprint