高等院校解析幾何教學(xué)改革淺談

【摘要】《解析幾何》是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的一門主要基礎(chǔ)課，是對平面解析幾何及立體幾何的擴充和延伸，同時，它是大學(xué)很多其他課程的基礎(chǔ)，因此掌握好解析幾何的內(nèi)容非常重要，本文作者從幾年的教學(xué)經(jīng)驗中，針對教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)的問題，闡述總結(jié)了在教學(xué)改革中的實踐經(jīng)驗。

【關(guān)鍵詞】解析幾何 ； 教學(xué)改革 ； 現(xiàn)代教育技術(shù)

【基金項目】廣西高等學(xué)校特色專業(yè)及課程一體化建設(shè)項目（GXTSZY2220）《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》；河池學(xué)院重點學(xué)科《應(yīng)用數(shù)學(xué)》（2007）和《統(tǒng)計學(xué)》（2013）；2011年度院級青年科研立項A類項目（2011A-N009）。

【中圖分類號】O182-4 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2015）7-0001-02

解析幾何是一門較為基礎(chǔ)的課程，它是大學(xué)很多其他課程的基礎(chǔ)，如高等幾何、微分幾何、數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)等。此外，解析幾何的思想方法已滲透到中學(xué)的各個部分之中，它對提高學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力以及培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力也起著非常重要的作用。本文作者從幾年的教學(xué)經(jīng)驗中，針對教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)的問題，談?wù)剮煼对盒＝馕鰩缀芜@門課程的教學(xué)改革。本文針對的教材是呂林根，許子道等編寫的《解析幾何》教材。

1.重視第一章——向量與坐標的學(xué)習(xí)，聯(lián)系中學(xué)初等幾何的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生對本門課程的興趣

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何，把幾何的研究從形的定性研究推進到可以計算的定量的層面，為了把代數(shù)運算引到幾何中來，最根本的做法就是設(shè)法把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化，數(shù)量化。因此，教材《解析幾何》第一章所列內(nèi)容向量與坐標是全書的工具和基礎(chǔ).第一章的作用在本門課程的另一個重點內(nèi)容平面與空間直線的教學(xué)中體現(xiàn)得尤為突出。在那里，平面方程和空間直線方程的建立，不過是向量互垂、向量共面、向量共線條件的應(yīng)用。各種各樣的距離不過是向量的模的計算，而各種各樣的角的計算統(tǒng)統(tǒng)可歸為兩向量的夾角的計算，因此，在整個解析幾何教學(xué)過程中，注重第一章的學(xué)習(xí)，在第一章多花一些時間和功夫，掌握工具，打牢基礎(chǔ)，是很有必要的。這一章的特點是基本概念多、靈活技巧少，因此這一章的教學(xué)可采用概念符號鑒別法，自始至終緊扣每一個概念和符號的內(nèi)涵，許多問題便迎刃而解了。另外這一章里前三節(jié)是高中已學(xué)過的內(nèi)容，可讓學(xué)生先自學(xué)當(dāng)做復(fù)習(xí)舊知，然后老師在強調(diào)重點概念，這樣學(xué)生對要掌握的知識印象更深刻。

在本章向量的學(xué)習(xí)內(nèi)容中涉及到利用向量法解決初等問題的內(nèi)容，在講授這些內(nèi)容的時，讓學(xué)生感受到利用解析幾何的內(nèi)容和方法，可以很簡便地處理一些初等問題。而方法上比中學(xué)的方法簡單很多，能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能掌握好現(xiàn)所學(xué)的知識，對后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)有深遠的影響。

1.1利用向量方法可以簡便證明初等幾何中有關(guān)平行、垂直、相交等結(jié)論

例如證明四面體對邊中點的連線交于一點，且互相平分等。

1.2 利用向量法可以證明有關(guān)三角形、平行四邊形的一些量

比如三角形余弦定理、正弦定理、面積的海倫公式的，而且方法簡便。

1.3 利用向量運算可以簡便地算一些幾何量

比如利用向量積的模可以計算三角形、平行四邊形的面積，利用三向量的混合積的絕對值可以計算四面體、平行六面體的體積等。

2.在教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，注重提高學(xué)生對空間圖形的繪制技能和技巧，為后續(xù)課程如微積分的學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)

微積分是理工科學(xué)習(xí)的一門必修課，而重積分的計算是微積分學(xué)的一個重要的內(nèi)容，計算重積分的一個關(guān)鍵就是要能夠根據(jù)曲面的方程繪制出一些簡單曲面的圖形，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時都覺得繪制圖形很難，這就需要在解析幾何第2、3、4章的學(xué)習(xí)中打好基礎(chǔ)。

2.1 強調(diào)空間圖形方程的一般形式

解析幾何就是用代數(shù)的方法來研究幾何。它的基本的數(shù)學(xué)思想就是數(shù)形結(jié)合，通過標架，建立了空間的點、向量、有序數(shù)組的一一對應(yīng)關(guān)系。點構(gòu)成曲線（面），變數(shù)構(gòu)成方程，點與數(shù)組既因坐標系的建立而聯(lián)系起來，曲線（面）與方程自然也可通過坐標系而結(jié)合起來。從而，研究曲線與曲面的幾何問題就可歸結(jié)為研究其方程的代數(shù)問題了。由幾何到代數(shù)，再由代數(shù)到幾何。幾何條件的代數(shù)表示，代數(shù)式子及代數(shù)步驟的幾何解釋，這是貫穿整個解析幾何內(nèi)容始終的數(shù)學(xué)思想和方法。抓住了這一思想和方法，就是抓住了關(guān)鍵，這樣的例子是很多的。建立平面曲線的方程和建立空間曲面方程，基本的方法都是把曲線（曲面）上點所滿足的幾何條件用代數(shù)式子寫出來。由幾何條件到代數(shù)式子的勾通橋梁都是坐標系.所不同的只是空間范圍而已。如平面圖圖形在平面范圍（二維）里面討論是用二元方程F（x，y）=0或一元函數(shù)y=f（x）來表達。方程x2+y2=1在平面上表示xoy平面上的單位圓。三元方程F（x，y，z）=0或二元函數(shù)z=f（x，y）表示空間的曲面，如三元一次方程Ax+By+Cz+D=0表示平面，而方程x2+y2=1在空間表示準線為xoy平面上的單位圓，母線平行于z軸的柱面?？臻g曲線一般是表現(xiàn)為空間兩個曲面的交線，所以用方程組F1（x，y，z）=0F2（x，y，z）=0來表示，如空間直線的一般方程為？仔1：A1x+B1y+C1z+D1=0，？仔2：A2x+B2y+C2z+D2=0.，表現(xiàn)為兩個平面的交線。因此拿到一個方程要分析是什么圖形一定要注意它是在二維（平面）還是在三維（空間）里討論，因一個方程在二維平面表示曲線，而在三維空間表示曲面，如方程x2+y2=1。掌握圖形方程的一般形式讓學(xué)生從以前的認識中走出來。另外要特別強調(diào)，在三維空間一個方程F（x，y，z）=0或二元函數(shù)z=f（x，y）只能表示空間的曲面，不能表示空間曲線，空間曲線必須要用方程組來表示，有不少學(xué)生總喜歡把空間直線方程寫成Ax+By+Cz+D=0的形式，這是一個明顯的錯誤。endprint

2.2對“消去”、“聯(lián)立”等每一代數(shù)步驟都能作出相應(yīng)的幾何解釋

在代數(shù)上從兩個三元方程消去一個元，這樣的幾何意義就是求空間曲線L的射影柱面，例如在空間坐標系中，方程組x2+y2+z2=9 （1）z=1 （2）表示一個圓，它為球面（1）和平面（2）的交線，將（2）代入（1）消去z得x2+y2=8（3）表示求出剛才的圓對xoy面的射影柱面，它是一個圓柱面，（2）與（3）聯(lián)立得x2+y2=8 （1）z=1 （2）即用圓柱面和平面的交線來表示剛才的那個圓。對這樣的方法步驟理解透徹，學(xué)生就能舉一反三，應(yīng)用自如地去自己討論問題。如用截面法去討論單葉雙曲面的形狀時，學(xué)生就會很容易理解。

3.以學(xué)生為本，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性

啟發(fā)式是一切好的教學(xué)方法的公因子，堅持啟發(fā)式，廢止注入式、填鴨式、滿堂灌。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，一定要調(diào)動主體的參與意識， “平面與空間直線”一章在整個解析幾何中占了很大的分量和篇幅，在教材中整整列了8節(jié)，若由教師順著教材按步就班，至少要安排16學(xué)時。但統(tǒng)覽教材，進行合理的教學(xué)設(shè)計，本章無非是三個內(nèi)容：1）如何建立平面方程；2）如何建立空間直線方程；3）空間中點、直線、平面的相關(guān)位置。在向量工具熟練掌握的基礎(chǔ)上，建立平面方程，不過是兩向量互垂、三向量共面的具體應(yīng)用。建立空間直線方程，不過是兩向量共線的具體應(yīng)用。至于空間中點、直線、平面的各種位置關(guān)系，在中學(xué)立體幾何就已學(xué)過，只不過在這里要通過坐標、向量、方程來定量地研究它們。經(jīng)過教師啟發(fā)，學(xué)生自己構(gòu)建了這樣一個知識體系：（1）空間中點、直線、平面的各種位置關(guān)系；（2）每一種位置的判別條件；（3）每一種位置下需要研究的問題，在學(xué)生自己構(gòu)建的這個知識體系下，學(xué)生可以自己動手進行研究，自己檢驗知識掌握的情況，教師只作一些指點。這樣做，學(xué)生與中學(xué)知識聯(lián)系，親身體驗向量的工具作用，主動地參與進來，主動地自己探索，學(xué)起來感覺到輕松而充實，初步嘗到了自己作為學(xué)習(xí)主體的甜頭。

4.充分使用現(xiàn)代教育技術(shù)手段

現(xiàn)代教育技術(shù)的快速發(fā)展加快了課程改革的進度。解析幾何的教學(xué)過程中，空間概念、方程的建立以及曲面的研究等都離不開圖形，如果將幾何圖形畫在黑板上，不但看起來不清楚而且其準確性也較差，利用幻燈片投影教學(xué)、利用錄像片和VCD 教學(xué)、利用多媒體組合的教學(xué)手段教學(xué)。作為現(xiàn)代教育技術(shù)典型代表多媒體的輔助教學(xué)， 不僅有利于提高課堂的教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，更有利于提高學(xué)生的空間想象能力。它可以對重要的幾何概念進行圖形化和實物化分析講解，對幾何圖形運用多媒體技術(shù)制作了圖文并茂的教學(xué)軟件和學(xué)習(xí)系列課件， 使教學(xué)內(nèi)容的文字和圖形結(jié)合自然、形象、直觀。通過動態(tài)演示形象地揭示幾何概念的內(nèi)涵， 清晰地展現(xiàn)幾何圖形的構(gòu)造和特點， 達到傳統(tǒng)式課堂教學(xué)難以達到的效果。譬如，在橢球面教學(xué)過程中，通過電腦演示，用不同的平面截橢球面獲得曲線的形狀，重點突出，用“平行截線法”來對曲面的性質(zhì)進行研究，很好地展現(xiàn)了對象的形成過程，進而揭示了對象的本質(zhì)，這樣一來，就明顯提高了課堂教學(xué)效果，同時教學(xué)的信息量也增加了。又如， 對于空間解析幾何中柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面這一章內(nèi)容， 可根據(jù)柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面具有較為突出的幾何特征的特點， 我們可以利用Maple、Mathematica 以及Flash 等軟件畫出它們的圖像， 并以動畫的形式展現(xiàn)出圖像形成的過程。在這種形象、逼真的學(xué)習(xí)環(huán)境下誘導(dǎo)學(xué)生開展積極思維， 然后用PowerPoint 依次給出柱面、錐面旋轉(zhuǎn)曲面的曲線方程及其母線、準線等相關(guān)概念， 通過系統(tǒng)的講解使學(xué)生得到啟發(fā)， 深入理解所講內(nèi)容。這樣既調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性， 又培養(yǎng)他們分析和解決問題的能力。

5.改革考核辦法

考試是教學(xué)過程中的重要環(huán)節(jié)， 是檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)掌握情況、評價教學(xué)質(zhì)量的手段。純粹的閉卷考核方式重記憶、輕理解， 重知識、輕智力， 重理論、輕實踐， 在某種程度上存在著一些弊端。所以， 改革考核方式將具有重要意義。對于解析幾何課程的考核可采取“多模塊， 取總評”的考核方式， 比如， 可將解析幾何的考核分為平時作業(yè)、其中測驗、上機考試（ 如實驗設(shè)計能力的考核、計算機數(shù)學(xué)軟件的使用等考核） 、期末理論考試四個模塊，每個模塊設(shè)定相應(yīng)的比重， 然后取總評成績。這種考核方式， 除了要讓學(xué)生掌握課本的理論知識外，還注重學(xué)生平時各方面的表現(xiàn)以及各種能力的訓(xùn)練， 有利于應(yīng)用型人才的培養(yǎng)。

參考文獻

[1]呂林根，許子道等編. 解析幾何.北京：高等教育出版社.

[2]馬立.談《解析幾何》課程教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法的改革[J]， 曲靖師范學(xué)院學(xué)報，2001，20（3），95-99.

[3]李琦.空間解析幾何教學(xué)改革[J]， 錦州師范學(xué)院學(xué)報，1998，6，17-99.

[4]陳蕾.高等院校解析幾何教學(xué)改革的探索[J]， 南昌教育學(xué)院學(xué)報，2011，26（9），41-43.

[5]普昭年，陳華喜.應(yīng)用型本科院?！犊臻g解析幾何》課程教學(xué)改革初探[J]，廊坊師范學(xué)院學(xué)報，2011，11（2），98-101.

作者簡介：黃春妙（1982-），女，碩士，廣西田東人，河池學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。endprint