多角度解決一個(gè)圓錐曲線問題

吉斌波

【摘要】圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，此類題目學(xué)生普遍感到無從下手。文章就一個(gè)習(xí)題的多角度解法進(jìn)行了探索，較為透徹地解決了該類型題目。

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；判別式法；配方法；三角函數(shù)；數(shù)形結(jié)合

習(xí)題：已知、是雙曲線和橢圓的公共焦點(diǎn)，是它們的公共交點(diǎn)且，則雙曲線和橢圓的離心率的倒數(shù)之和的最大值為 .

解答：

不妨取點(diǎn)在第一象限，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，離心率為e1，、分別為兩者的左右焦點(diǎn).設(shè)=s，=t，可得，① .由于，由余弦定理易知②，離心率的倒數(shù)之和.

方法一：判別式法.由①易得，故由②易得，將看作自變量，則關(guān)于的一元二次方程，有，即，解得，所以.等號(hào)成立時(shí)，即取到最大值.

補(bǔ)充說明：此時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩者互為倒數(shù).此題中使用“主參”互換思想，根據(jù)題意合理確定主變量和參變量，以便求得最值.

方法二：配方法.因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，取到最大值.

補(bǔ)充說明：將求解對(duì)象轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，使用二次函數(shù)配方法解決最值.

方法三：數(shù)形結(jié)合.將代入化簡(jiǎn)后，根據(jù)題目求解目標(biāo)，兩邊同除以得到，可看作.即，設(shè)，則求的最大值即可由的圖象可知，當(dāng)兩者相切且切點(diǎn)在第一象限時(shí)，取到最大值，所以有，在此令，則，因?yàn)?，所?

補(bǔ)充說明：采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，利用圖形的幾何意義巧妙求解.

方法四：三角函數(shù).根據(jù)方法三整理得到的，可令，，，則，其中，所以.

補(bǔ)充說明：充分利用進(jìn)行代換以及三角函數(shù)自身特性求解最值. 數(shù)學(xué)解題中形式看似繁瑣，堅(jiān)持到底，結(jié)果簡(jiǎn)練精辟！

方法五：柯西不等式.根據(jù)方法三整理得到的，構(gòu)造柯西不等式.即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

補(bǔ)充說明：特殊值不等式的使用可以起到事半功倍的效果.

方法六：構(gòu)造向量.根據(jù)方法三整理得到的，構(gòu)造，因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)和共線時(shí)等號(hào)成立，故.

補(bǔ)充說明：向量性質(zhì)的靈活使用.

方法七：導(dǎo)數(shù).根據(jù)方法三整理得到的

，設(shè)，代入得.即，設(shè)，令，則.當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，取到最大值.

補(bǔ)充說明：導(dǎo)數(shù)是求最值的最根本方法.

通過以上解法，不難發(fā)現(xiàn)，的大小決定了本題的最終結(jié)論.

引申：已知、是雙曲線和橢圓的公共焦點(diǎn)，是它們的公共交點(diǎn)且，則雙曲線和橢圓的離心率的倒數(shù)之和的最大值為[其中]，且取最大值時(shí)兩者的離心率的乘積為1.

證明：必有解，經(jīng)化簡(jiǎn)即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，利用求根公式易知即又，，

補(bǔ)充說明：從特殊到一般，又回到了方法一，由也易知當(dāng)時(shí)無最大值.

一道較有深度的習(xí)題可以將數(shù)學(xué)解題思想和解題方法淋漓盡致地展現(xiàn)出來，進(jìn)而升華到對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)知，通過細(xì)化探究，讓學(xué)生在教師的這一探究活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)邏輯之美、數(shù)學(xué)魅力！endprint