貫通“構(gòu)造”之路 激活“生成”之徑
——以“反比例函數(shù)復(fù)習(xí)”的學(xué)材再建構(gòu)為例

■徐 強(qiáng)

貫通“構(gòu)造”之路 激活“生成”之徑
——以“反比例函數(shù)復(fù)習(xí)”的學(xué)材再建構(gòu)為例

■徐 強(qiáng)

筆者曾參加南通市組織的“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)研討活動(dòng)，觀摩了一節(jié)反比例函數(shù)復(fù)習(xí)課，在且聽且思中，得到啟發(fā)，形成了不同的想法。聽完課筆者與同伴探討后，又有了新的思維碰撞，產(chǎn)生了重新設(shè)計(jì)的欲望，現(xiàn)整理呈現(xiàn)原教學(xué)設(shè)計(jì)流程與二次教學(xué)感悟，與同行交流。

一、原設(shè)計(jì)再現(xiàn)與反思

1.讀圖。

圖1

圖2

如圖1，你能從給出的圖像中獲得哪些信息？

2.添點(diǎn)。

如圖2，（1）圖像上有一個(gè)點(diǎn)A（2，3），你能得到哪些結(jié)論？

（2）你能快速說出一個(gè)也在這個(gè)函數(shù)圖像上的點(diǎn)嗎？

（3）若m＞0，點(diǎn)D（m，y1），E（m+2，y2），F(xiàn)（-m，y3）三點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)圖像上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是 。

3.添直線。

圖3

圖4

（2）若把第（1）問中k＞0去掉，k的值是多少？

【感受反思】

本節(jié)復(fù)習(xí)課從整體設(shè)計(jì)而言，四部分問題設(shè)置巧妙，以開放題型呈現(xiàn)，力求讓每一個(gè)學(xué)生都有思考的空間“讀圖”，以開放性問題為載體，引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)的內(nèi)容，建構(gòu)知識(shí)體系。從實(shí)施效果來看，學(xué)生基本能梳理出反比例函數(shù)的圖形、定義、性質(zhì)，形成了本章內(nèi)容的知識(shí)框架?！疤睃c(diǎn)”，強(qiáng)化已知一點(diǎn)，滲透了基本技能與基本方法，可以利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，同時(shí)解決了“比較反比例函數(shù)值的大小”問題，從實(shí)施效果來看，學(xué)生的方法讓人大開眼界，滲透了數(shù)形結(jié)合等思想方法?！疤砭€”，進(jìn)一步挖掘反比例內(nèi)涵本質(zhì)，如對稱性、“k”的幾何意義、求方程組的解、求不等式的解集、圖形的面積轉(zhuǎn)化等，逐層深入，不斷生成。從實(shí)施來看，尤其通過添曲線，學(xué)生明白在同一象限的兩支與不同象限的兩支中形成的三角形面積之間的一種聯(lián)系，積為3的三角形嗎？

（3）畫直線OA，與雙曲線的另一支相交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)是多少？

（4）圖像上有另一點(diǎn)C（6，1），畫直線BC，觀察圖形你能得到哪些結(jié)論？

（5）過點(diǎn)A、C分別向x軸作垂線，垂足分別為E、F，連接OC、OA、AE與OC相交于點(diǎn)D，圖中有面積相等的圖形嗎？

4.添曲線。從而體現(xiàn)知識(shí)的一種融合，但效果一般。

從生本角度來看，筆者感到文本設(shè)計(jì)重點(diǎn)不突出，學(xué)生對“添直線”中的（4）（5）問反應(yīng)較差，實(shí)屬問題的起點(diǎn)較高。另外，四個(gè)環(huán)節(jié)沒有做好無縫對接與整合，問題演變過程中沒有讓學(xué)生在頭腦中有一個(gè)整體架構(gòu)，構(gòu)造跳躍且生硬，沒有很好地生成學(xué)一題通一類?；诖斯P者將該節(jié)課進(jìn)行以下優(yōu)化重構(gòu)并教學(xué)。

二、二次設(shè)計(jì)與意圖

圖5

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)調(diào)反比例函數(shù)增減性，也可挖掘比較字母a、b的大小關(guān)系的三種不同路徑，同時(shí)為用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式打下伏筆。

追問1：如果想求字母k的值，原已知條件中，還需增加哪些條件？

【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式的條件，學(xué)生易得出：（1）已知一點(diǎn)，即給出字母a或b的值；（2）已知字母a與b之間存在某一數(shù)量關(guān)系；（3）已知某一特定圖形的面積（如圖6，作AC⊥x軸于點(diǎn)C，若S△OAC=3）。教師可進(jìn)行補(bǔ)充與引導(dǎo)。

圖7

追問3：如圖7，如果過點(diǎn)A作一直線l1過原點(diǎn)，交另一支于點(diǎn)D，你能說出點(diǎn)D的坐標(biāo)嗎？

追問4：如圖7，如果過點(diǎn)B作直線l2（不過原點(diǎn)），交另一支于點(diǎn)E，你能說出點(diǎn)E的坐標(biāo)嗎？不能的話，還需增加哪些條件？

追問5：如圖7，你能比較一次函數(shù)l1與反比例函數(shù)的值的大小關(guān)系嗎？

變式：如圖7，（1）若過A、B兩點(diǎn)作直線l3，一次函數(shù)l3與反比例函數(shù)的值的大小如何確定呢？

（2）若過A作直線l4‖x軸，當(dāng)x≤2時(shí)，求y的取值范圍。

【設(shè)計(jì)意圖】探究如何求“原點(diǎn)三角形面積”（這里的原點(diǎn)三角形指一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像交點(diǎn)及原點(diǎn)形成的三角形），旨在讓學(xué)生形成基本策略，可以利用反比例函數(shù)的對稱性或者方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)。

圖8

圖9

變式1：如圖9，平行于y軸的直線分別交兩條曲線于A、C兩點(diǎn)，求S△AOC= 。

變式3：如圖11，在變式2的基礎(chǔ)上，若點(diǎn)D是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求S△ADC= 。

圖10

圖11

圖12

【設(shè)計(jì)意圖】體現(xiàn)三大變化：（1）從雙曲線的一支過渡到不同的兩支；（2）從同一象限變化到不同象限；（3）平行于坐標(biāo)軸的直線由一條變化為兩條。意在從單純的一條直線（曲線），進(jìn)行思維的發(fā)散，形成知識(shí)的生長點(diǎn)，在辨析中讓學(xué)生學(xué)會(huì)方法歸納、學(xué)會(huì)一題多變等。

圖13

追 問 7：如 圖13，已知A（2，6）、B（3，b）是反比例函數(shù)的圖像上兩點(diǎn)。點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△ABP為直角三角形？

【設(shè)計(jì)意圖】在復(fù)習(xí)完反比例函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的框架下，進(jìn)一步挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的貫通性，研究基本圖形的存在性，旨在教會(huì)學(xué)生如何借助幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)，在反比例函數(shù)背景下有效解決問題，以此培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，真正有的放矢，直擊思維要點(diǎn)。

三、教學(xué)感悟

1.開放設(shè)問，構(gòu)建知識(shí)框架。

本課例，從問題的不斷追問中，可以讓學(xué)生自覺地完成知識(shí)的鞏固、方法的歸納，一節(jié)課后，學(xué)生不僅可以形成一張完整的知識(shí)框架圖，而且可以積累解決問題的方法與策略，收獲探究的樂趣、交流的快樂、成功的喜悅。

2.學(xué)材整合，尋求貫通融合。

我們知道復(fù)習(xí)課的關(guān)鍵還在于把學(xué)生零散的知識(shí)串起來，形成一根主線，加上知識(shí)的相互滲透與融合，才能讓學(xué)生在“攀梯”的過程中，感覺水到渠成，不斷收獲。如本課中，求反比例函數(shù)解析式，不是單純地給予一個(gè)點(diǎn)，而是讓學(xué)生挖掘求解析式的思路有哪些，同時(shí)方程、不等式、幾何圖形的面積求解等自然蘊(yùn)含問題之中，讓本單元的知識(shí)內(nèi)部有了一種貫通與遷移，構(gòu)建出屬于學(xué)生的有效教材。

3.變式訓(xùn)練，聚焦思維提升。

變式的目的是為了讓學(xué)生在不同背景與不同條件下有自我的認(rèn)識(shí)、解決問題的思路、轉(zhuǎn)化的意識(shí)，在知識(shí)生長的過程中，思維品質(zhì)得到進(jìn)一步提升。如本課設(shè)計(jì)主線為添點(diǎn)、添線與添圖，點(diǎn)由一個(gè)過渡到兩個(gè)，線由直線變化為曲線，同時(shí)改變點(diǎn)與線的位置關(guān)系，變換圖形的形狀，不斷激發(fā)學(xué)生探究的欲望，在此過程中讓學(xué)生找到圖形構(gòu)造之路，解決問題之徑。

四、結(jié)束語

二次設(shè)計(jì)實(shí)施取得了較好的教學(xué)效果，參與聽課的老師一致認(rèn)為，不僅借鑒了原設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，讓復(fù)習(xí)課“老歌”新唱，煥發(fā)生命的活力，而且從一個(gè)簡單問題出發(fā)，逐步順勢延伸探究，貫通了“構(gòu)造”之路，激活了“生成”之徑，使問題驅(qū)動(dòng)更具系列性、適切性，問題解決更具規(guī)律性、反思性。預(yù)設(shè)后，注重追問，無論形式還是內(nèi)容上都能聚焦思想方法，有效突破了重、難點(diǎn)，實(shí)施中發(fā)揮了學(xué)生的最大原動(dòng)力，主體的作用得以充分體現(xiàn)，把課堂還給了學(xué)生。

注：本文是江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃初中重點(diǎn)資助課題《初中數(shù)學(xué)“學(xué)材再建構(gòu)”研究》（課題編號(hào)：E-a/2016/06；主持人：施俊進(jìn)、徐強(qiáng)）主要研究成果之一。

（作者為江蘇省海門市中小學(xué)教師研修中心初中數(shù)學(xué)教研員）