高背景下的二次函數(shù)問題

●趙碧波 (仙居中學(xué)，浙江 仙居 317300)

高背景下的二次函數(shù)問題

●趙碧波
(仙居中學(xué)，浙江 仙居 317300)

二次函數(shù)是初、高中數(shù)學(xué)課程最重要的函數(shù)模型之一,它是連接函數(shù)、方程、不等式的橋梁,是滲透數(shù)學(xué)思想方法、提高學(xué)生思維與運(yùn)算能力的主要載體，是學(xué)考、高考和數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試的熱點(diǎn)、難點(diǎn).因此，有必要從高等數(shù)學(xué)的角度研究二次函數(shù)的一些性質(zhì).

切比雪夫多項(xiàng)式;最值;反思;數(shù)學(xué)本質(zhì)

二次函數(shù)問題內(nèi)容豐富多彩，解題方法靈活多樣.某些二次函數(shù)經(jīng)過“華麗”的包裝后，常讓人感到模棱兩可、困難倍增.下面通過具體的問題探究其背后所隱藏的數(shù)學(xué)本質(zhì).

1 基本題型

例1[1]求函數(shù)f(x)=|x2-a|在區(qū)間[-1,1]上的最大值M(a)的最小值.

解 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=|x2-a|(其中x∈[-1,1])的對(duì)稱軸為x=0，則

M(a)=max{f(-1),f(1),f(0)},

從而 2M(a)≥f(1)+f(0)≥|(1-a)+a|=1，

即

上式本質(zhì)上就是一個(gè)二次型切比雪夫多項(xiàng)式.

切比雪夫多項(xiàng)式是高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容,該問題的立意是高等的，而解法是初等的.命題者通過這種高背景下的問題考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度和學(xué)習(xí)潛能，學(xué)生若具備相關(guān)初等數(shù)學(xué)知識(shí)的能力、分析問題的能力，則思維上的障礙較少.

2 提煉升華，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

下面先給出二次型切比雪夫多項(xiàng)式的兩個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)1[3]設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，若對(duì)任意的x∈[-1,1]，|f(x)|≤1,則|a|max=2.

性質(zhì)1的證明 由|f(-1)|=|a-b+c|≤1,|f(1)|=|a+b+c|≤1,|f(0)|=|c|≤1,知

4≥ |f(-1)|+|f(1)|+2|f(0)|≥

|(a-b+c)+(a+b+c)-2c|=|2a|，

則|a|≤2.當(dāng)a=2,b=0,c=-1，即f(x)=2x2-1時(shí)，等號(hào)成立,故|a|max=2.

注f(x)=2x2-1其實(shí)就是二次切比雪夫多項(xiàng)式(T2(x)=2x2-1)，其中x∈[-1,1].

M≥|f(-1)|=|1-b+c|,

M≥|f(1)|=|1+b+c|,

M≥|f(0)|=|c|,

從而 4M≥ |f(-1)|+|f(1)|+2|f(0)|≥

|(1-b+c)+(1+b+c)-2c|=2，

于是

g(x)=x2+b0x+c0,x∈[-1,1],

從而

記h(x)=f(x)-g(x)，則函數(shù)h(x)滿足如下條件：

3 初級(jí)變形

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=|x2+ax+b|(其中a,b∈R).若對(duì)任意的a,b∈R，總存在x0∈[0,4]，使得f(x0)≥m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

( )

C.(-∞,2]D.(-∞,4]

(2017年3月浙江省學(xué)考十校聯(lián)盟適應(yīng)性考試第18題)

f(x)= |x2+ax+b|=

根據(jù)性質(zhì)2知

于是

|b-2(4+2a+b)+(16+4a+b)|=8,

從而

當(dāng)a=-4,b=2時(shí)，等號(hào)成立.

注 由性質(zhì)2的證明過程，例2只需考慮f(0),f(2),f(4)即可.

4 高級(jí)變形

例3 已知a,b,c∈R，f(x)=ax2+bx+c,當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|f(x)|≤1,求|a|+|b|+|c|的最大值.

c=f(0).

一般地，可以考慮f(0),f(t)，f(1),其中0

c=f(0).

因?yàn)閨f(1)|≤1,|f(t)|≤1,|f(0)|≤1,所以

|t2f(1)|+|-f(t)|+|(1-t2)f(0)|]+|f(0)|≤

5 綜合應(yīng)用

例4 函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(其中a≠0)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|f′(x)|≤1，試求a的最大值.

(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第9題)

解 因?yàn)閒′(x)=3ax2+2bx+c,所以

f′(1)=3a+2b+c.

要求a，則必須消去參數(shù)b,c，從而

于是

例5 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

1)證明：當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a,b)≥2；

2)略.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

1)證明 由題意知|f(-1)|=|1-a+b|，|f(1)|=|1+a+b|,|f(0)|=|b|.要用條件|a|≥2,則必須消去參數(shù)b，從而

2M(a,b)≥ |f(-1)|+|f(1)|≥

|(1-a+b)-(1+a+b)|=|2a|≥4,

于是

M(a,b)≥2.

通過上述相關(guān)例子的設(shè)計(jì)與解析，我們清晰地看到隱藏在這類二次函數(shù)問題中一些形異而質(zhì)同的數(shù)學(xué)本質(zhì).作為一線教師，針對(duì)某些問題，我們要多進(jìn)行研究與反思，嘗試從高等數(shù)學(xué)的角度揭示問題背后的本質(zhì).“授人以魚，不如授人以漁”，讓學(xué)生從本源上理解問題，對(duì)這類問題，才能如魚得水，游刃有余.

[1] 蔡小熊,孫惠華.新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽通用教材(高一分冊(cè))[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2013.

[2] 劉云章，趙雄輝.數(shù)學(xué)解題思維策略——波利亞著作選講[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，1991.

[3] 陳科鈞.2類切比雪夫多項(xiàng)式性質(zhì)的證明與應(yīng)用[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))：2017(2):45-48.

2017-05-30

趙碧波(1982-),男,浙江仙居人,中學(xué)一級(jí)教師.研究方向:數(shù)學(xué)教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)09-29-03