形如|g(x)-ax-b|的函數(shù)最值問題破解之法

●陳素鳳 (溫嶺中學，浙江 溫嶺 317500)

形如|g(x)-ax-b|的函數(shù)最值問題破解之法

●陳素鳳
(溫嶺中學，浙江 溫嶺 317500)

形如|g(x)-ax-b|的函數(shù)最值問題，常是學生的攔路虎.文章通過回歸基礎、類比推廣、猜想論證、變式拓展等研究得到此類問題的解決方法．

含絕對值函數(shù)最值問題;兩直線夾逼;破解之法

形如|g(x)-ax-b|的函數(shù)最值問題，在近幾年高中數(shù)學競賽、自主招生、高考與學考中頻繁出現(xiàn)，但由于涉及思想方法多、綜合性強、分析能力要求高，許多學生只能望題興嘆．那么有無破解此類含參數(shù)絕對值最值問題的方法呢？筆者進行了一番探究，發(fā)現(xiàn)可借助兩平行線夾逼性質來求解．

1 回顧基礎,尋找突破

問題是思維的開端，是學習的起點，也是深入探索、研究的原動力.為解決上述問題，我們先從基礎入手，尋找解決問題的突破口．

問題1 函數(shù)f(x)=|x-b|在區(qū)間[0,2]上的最大值為M(b),求M(b)的最小值．

解 因為-b≤x-b≤2-b，所以

M(b)=max{|-b|,|b-2|}，

從而

M(b)≥1，

當b=1時取到等號，即M(b)的最小值為1．

反思 根據(jù)函數(shù)y=x,x∈[0,2]的圖像與函數(shù)y=b的圖像關系發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y=x,x∈[0,2]的圖像夾在y=0與y=2之間，得

2 類比推廣，初露端倪

在解題過程中，好的方法讓人拍手叫絕，而優(yōu)化解題就必然要進行類比、聯(lián)想與轉化.對于非直線型函數(shù)g(x)，可以類比直線型函數(shù)的方法加以解決．

類比1 將x推廣為任意函數(shù)g(x)

已知f(x)=|g(x)-b|，g(x)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，記g(x)最大值為g(x)max、最小值為g(x)min，若f(x)的最大值為M(b)，求M(b)的最小值．

解 因為g(x)min-b≤g(x)-b≤g(x)max-b，所以

M(b)=max{|g(x)min-b|,|g(x)max-b|},

從而

于是2M(b)≥ |g(x)min-b|+|g(x)max-b|≥

g(x)max-g(x)min,

即

分析 推廣研究發(fā)現(xiàn):最值只與函數(shù)g(x)的最大值與最小值有關，因為g(x)的圖像夾在y=g(x)max與y=g(x)min之間，所以

類比2 將直線y=b推廣為y=ax+b

已知f(x)=|g(x)-ax-b|，g(x)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，記f(x)的最大值為M(b)，求M(b)的最小值．

分析 因為g(x)-ax是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，所以必存在最值.可以利用類比1求解此題，但是函數(shù)g(x)-ax含有參數(shù)a，給g(x)-ax最值的求解帶來很大的難度,那么有沒有其他解決方法呢?因為g(x)-ax-b是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，所以g(x)-ax-b有最大值與最小值，不妨分別記為m,n，則

n≤g(x)-ax-b≤m，

從而

ax+b+n≤g(x)≤ax+b+m，

故g(x)的圖像夾在y=ax+b+n與y=ax+b+m之間．下面可利用y=ax+b+n與y=ax+b+m的關系解決|g(x)-ax-b|的最值問題.

3 大膽猜想，合理論證

牛頓說過：沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)．面對上述探索與思考，可得如下定理1：

圖1

定理1 已知y=f(x)是閉區(qū)間D上的連續(xù)函數(shù).若存在函數(shù)h1(x)=ax+b1，h2(x)=ax+b2使得h2(x)≤f(x)≤h1(x)恒成立.設A(x1,y1)是h1(x)與函數(shù)y=f(x)的公共點，B(x2,y2)是h2(x)與函數(shù)y=f(x)的公共點，則當x=x1時,h1(x1)=f(x1)=y1;當x=x2時，h2(x2)=f(x2)=y2(如圖1).記|f(x)-ax-b|在區(qū)間D上的最大值為M(b)，則

證明 因為M(b)是|f(x)-ax-b|的最大值，所以

于是

事實上，類比1就是類比2當a=0時的特殊情況．

4 牛刀小試，豁然開朗

如果對定理1與類比1切實掌握，那么解決形如|g(x)-ax-b|的函數(shù)最值問題便小菜一碟．

( )

C.(-∞,1] D.(-∞,2]

(2016年4月浙江省數(shù)學學考試題第18題)

分析 由題意，可記M(b)為f(x)在x∈[1,2]上的最大值,則M(b)≥m對任意b恒成立.

圖2

恒成立，從而

5 疑云再生，再次突破

我們已用定理1及類比1輕松地解決了例1，但不能就此罷休，筆者通過對例1題設條件的挖掘，得到如下變式：

定理2 已知函數(shù)y=f(x)，x∈D，函數(shù)圖像上存在3個點A(x1,y1)，B(x2,y2),C(x3,y3),滿足x1

圖3

證明 記g(x)=f(x)-ax-b，則

g(x1)=f(x1)-ax1-b，

g(x2)=f(x2)-ax2-b，

g(x3)=f(x3)-ax3-b，

又b1-b2=y1-kx1-y2+kx2=

y1-y2-k(x1-x2)=

因為(x2-x3)(f(x2)-f(x1))-(x2-x1)(f(x2)-f(x3))=(x2-x3)(g(x2)-g(x1))-(x2-x1)(g(x2)-g(x3))=(x3-x2)g(x1)-(x3-x1)g(x2)-(x2-x1)g(x3),及|(x3-x2)g(x1)-(x3-x1)g(x2)-(x2-x1)g(x3)|≤

|(x3-x2)g(x1)|+|(x3-x1)g(x2)|+|(x2-x1)g(x3)|≤

2(x3-x1)M(a,b),

所以2(x3-x1)M(a,b)≥|(x3-x2)g(x1)-(x3-x1)g(x2)-(x2-x1)g(x3)|=|(x2-x3)(f(x2)-f(x1))-(x2-x1)(f(x2)-f(x3))|=|(x2-x3)(y2-y1)-(x2-x1)(y2-y3)|=

|x3y1+x2y3+x1y2-x1y3-x2y1-x3y2|=

|(b1-b2)(x3-x1)|,

即

進一步便得到上述變式1的解答．

圖4

y=-x+3.

易得

6 變式拓展，游刃有余

通過試題的變式與挖掘，可以將g(x)推廣到二次、三次或更一般的形式，使問題進一步深化，從而擴大學生的認知范圍．

圖5

h1(x)≥f(x)≥h2(x)

y=3t2(x-t)+t3.

因為切線過點A(1,1)，所以

1=3t2(1-t)+t3,

化簡得

(t-1)(2t2-t-1)=0，

易得

于是

進而

當f(x)不是多項式時定理2也成立,如1983年全國高中數(shù)學聯(lián)賽二試第5題.

圖6

在數(shù)學學習過程中，無論教師還是學生都會產(chǎn)生一些疑問，這些都是很好的生成資源．我們要學會抓住疑問，用數(shù)學的方法研究問題，逐步揭開難題神秘的面紗，掌握問題的本質，從而實現(xiàn)多題一解，讓更多的師生脫離題海戰(zhàn)術．

2017-05-27

陳素鳳(1973-)，女，浙江溫嶺人，中學一級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O122

A

1003-6407(2017)09-19-04