扎根概念 挖掘本質(zhì) 優(yōu)化策略
——基于高考向量背景題的思考

●馬喜君 丁晨芳 (元濟(jì)高級(jí)中學(xué),浙江 海鹽 314300)

●趙琴學(xué) (海鹽高級(jí)中學(xué),浙江 海鹽 314300)

扎根概念 挖掘本質(zhì) 優(yōu)化策略
——基于高考向量背景題的思考

●馬喜君 丁晨芳 (元濟(jì)高級(jí)中學(xué),浙江 海鹽 314300)

●趙琴學(xué) (海鹽高級(jí)中學(xué),浙江 海鹽 314300)

數(shù)學(xué)學(xué)科能力與學(xué)科素養(yǎng)必然扎根于概念，由概念構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，進(jìn)而深挖問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，基于本質(zhì)優(yōu)化策略.文理合卷即統(tǒng)一知識(shí)點(diǎn)，統(tǒng)一要求，統(tǒng)一考核.教師應(yīng)該調(diào)整自己原有的理念、行為方式，轉(zhuǎn)換自己對(duì)于高考的理解，扎根概念挖掘本質(zhì)，轉(zhuǎn)換思考角度、高度、寬度，優(yōu)化策略——提出問題的本質(zhì)解法、發(fā)展優(yōu)化解法，整合知識(shí)、方法與思想，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

概念；本質(zhì)；優(yōu)化策略

2017年是浙江新高考元年,數(shù)學(xué)試卷因文理合卷、內(nèi)容調(diào)整而備受期待.文理合卷即統(tǒng)一知識(shí)點(diǎn)，統(tǒng)一要求，統(tǒng)一考核．所謂的文與理，是教師經(jīng)歷、理念、行為方式中的舊印記.因此文理合卷后不是學(xué)生應(yīng)該如何處理，而是教師應(yīng)該如何調(diào)整，轉(zhuǎn)換自己對(duì)于高考的理念，轉(zhuǎn)換思考角度、高度、寬度，尋找最有利、最高效的考前復(fù)習(xí)策略.

所有的數(shù)學(xué)學(xué)科能力與素養(yǎng)必然扎根于概念，由此內(nèi)化為知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，構(gòu)建自己的結(jié)構(gòu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，進(jìn)而深度挖掘問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)[1]，基于本質(zhì)優(yōu)化策略——提出問題的本質(zhì)解法、發(fā)展優(yōu)化解法，整合知識(shí)、方法與思想,從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)與高考試題解答后的思考，在深化學(xué)生對(duì)核心概念的理解與掌握、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力、形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面等作了一些探究和思考．

圖1

1 忠于概念理解，優(yōu)先定性分析

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基于概念，考核忠于概念，應(yīng)用高于概念，學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)表征量就是能靈活地運(yùn)用概念定性地分析問題的數(shù)理關(guān)系，然后才是定量計(jì)算.

( )

A．I1

C．I3

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第10題)

視角1 向量數(shù)量積的概念是

a·b=|a|·|b|cos.

根據(jù)題意判斷可知：

① ∠AOB是鈍角，∠BOC是銳角，從而

I1>I3,

故

I2>I1>I3.

視角2 可以用作差的方法處理比較大小的問題.由

得

I2>I1；

由

得

I2>I3；

得

I1>I3.

故

I2>I1>I3.

2 基于概念思考，明確思維導(dǎo)向

圖2

核心概念在整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中起到統(tǒng)領(lǐng)、主導(dǎo)的作用．學(xué)生抓住核心概念就等于抓住了高中學(xué)習(xí)的命脈；學(xué)生掌握核心概念就等于掌握了高中數(shù)學(xué)的根本．由此可見，學(xué)生解決問題的關(guān)鍵在于對(duì)概念的理解和掌握．

例2 如圖2，已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______．

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第15題)

試題簡(jiǎn)明扼要，浙江風(fēng)格明顯，考查學(xué)生處理向量的加減運(yùn)算能力，同時(shí)涉及三角形法則、平行四邊形法則，探究不同的運(yùn)算方法.

解法1 如圖2可得

|OA|+|AB|≥|OB|,

在△OAB中，兩邊之和大于第三邊,當(dāng)點(diǎn)A在線段OB上，即向量a，b共線時(shí)，上式取到等號(hào)，即|a+b|+|a-b|的最小值為|OB|=2|b|=4.

向量部分最核心的是向量的加、減運(yùn)算及其幾何意義，也就是三角形法則、平行四邊形法則，以及向量的數(shù)量積定義及其幾何意義.抓住這些核心，問題迎刃而解．概念、原理的理解不是文字的背誦，而是意義的解讀，在具體問題情境下剖析問題中的概念本質(zhì)，便得以窺見問題的構(gòu)造背景．

平面向量數(shù)量積概念的兩種表征體現(xiàn)了數(shù)量積“數(shù)”與“形”的雙重身份.首先,向量數(shù)量積的概念定義是：a·b=|a|·|b|cos;其次,其幾何意義是|a|與b在a方向上的投影|b|cos的乘積．

思路1 應(yīng)用定義解題．在已知向量中選定基底向量，將所求向量轉(zhuǎn)化為基底向量進(jìn)行代數(shù)求解．

4a·b=a·4b=a·[a-(a-4b)]=

圖3

3 勇于挖掘本質(zhì)，透視構(gòu)題背景

圖4

數(shù)學(xué)概念是從現(xiàn)象、事實(shí)中抽象出來的理性知識(shí)，是數(shù)學(xué)問題構(gòu)建的理論背景和基本材料.如何在學(xué)生已有的概念認(rèn)識(shí)上解析問題中的概念，如何引導(dǎo)學(xué)生在環(huán)環(huán)相扣的變式設(shè)計(jì)中清晰地識(shí)別深層知識(shí)的核心思想、不斷深化對(duì)核心概念的理解，借以發(fā)展學(xué)生超越客觀問題的構(gòu)想思維，促進(jìn)其思想與感覺、觀念與實(shí)體的統(tǒng)一，并有助于學(xué)生將學(xué)習(xí)結(jié)果內(nèi)化，不斷地將學(xué)習(xí)過程引向更深、更有意義的方向[2]．

例3 如圖4，已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1，若e為單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大值是______．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第15題)

基于對(duì)向量數(shù)量積的概念認(rèn)識(shí)，分析如下:

從而

即

這些結(jié)論對(duì)我們解決問題有何幫助呢？逆向剖析概念，|a·e|+|b·e|是向量a，b在e上的投影之和，結(jié)合圖像不難發(fā)現(xiàn)

|a·e|+|b·e|= |OA|+|AB|=|OB|≤

在Rt△OBC中，直角邊總不大于斜邊，當(dāng)e與a+b共線時(shí)，上式取到等號(hào).

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

在例2的分析基礎(chǔ)上，可得類似的結(jié)論：

|a·e|+|b·e|= |OA|+|AB|=|OB|≤

|OC|=|a+b|,

此類問題回歸了一個(gè)本質(zhì)問題：|a|，|b|，|a+b|這3個(gè)向量的模長(zhǎng)的關(guān)系.

3 善于聯(lián)系遷移，優(yōu)化解題過程

例4 同例2．

基于投影概念(解法1)解析后，向量的坐標(biāo)形式也是經(jīng)常應(yīng)用的形式，尤其是對(duì)于模長(zhǎng)恒定的向量，間接地整合了向量與三角函數(shù)的關(guān)系[3].

解法2 向量a,b是兩個(gè)動(dòng)態(tài)向量，可以先固定一個(gè)，不妨設(shè)a=(1,0)，b=(2cosθ,2sinθ),則

從而16≤t≤20,故

除了上述的解題策略外，對(duì)于一些結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的目標(biāo)式，還可以采取整體代換的“旋轉(zhuǎn)變換”，使得目標(biāo)式簡(jiǎn)明扼要，關(guān)系明了.

解法3 設(shè)a+b=u,a-b=v，則

|u+v|=2, |u-v|=4，

從而

|u|+|v|≥max{|u+v|,|u-v|}=4,

(|u|+|v|)2≤|u+v|2+|u-v|2=20,

因此

4 敢于交匯整合，簡(jiǎn)化解題過程

與前幾年相比，2017年解析幾何大題的考查角度變化較大，首先曲線載體選擇了拋物線，更便于坐標(biāo)運(yùn)算，其次求解目標(biāo)|PA|·|PQ|的最大值，結(jié)合圖像發(fā)現(xiàn)具有強(qiáng)烈的向量背景.

圖5

1)求直線AP斜率的取值范圍；

2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第21題)

1)略.

2)解 聯(lián)立直線AP與直線BQ的方程

該解法要求直線QP與BQ的直線方程，聯(lián)立方程求出點(diǎn)Q，繼而求出|PA|，|PQ|的長(zhǎng)度，運(yùn)用代數(shù)方法求最值．解題的過程采用傳統(tǒng)解析幾何的通性通法，中規(guī)中矩，計(jì)算繁瑣，很多學(xué)生求出|PA|，|PQ|的長(zhǎng)度后思維有點(diǎn)模糊，解法有點(diǎn)混亂．根據(jù)向量的幾何意義，

|PA|·(-|PQ|)=-|PA|·|PQ|,

上述解法清晰自然，避免了繁瑣的運(yùn)算，簡(jiǎn)化了解析幾何的解答過程，提高了學(xué)生運(yùn)算的正確率．

2017年的浙江省數(shù)學(xué)高考卷開啟了文理合卷的新篇章，試卷關(guān)注學(xué)生，注重基礎(chǔ)，凸顯能力，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用.對(duì)今后中學(xué)教學(xué)的啟示：面對(duì)文理合卷，如何針對(duì)不同思維層次的學(xué)生因材施教；面對(duì)選考的沖擊，如何科學(xué)合理地調(diào)整數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)節(jié)奏、改進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，值得我們進(jìn)一步思考與探索.

[1] 華志遠(yuǎn).透視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 漫話課堂轉(zhuǎn)型抓手——從《函數(shù)與方程》的教學(xué)實(shí)錄談起[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊,2016(7):27-30.

[2] 盧明,姜巍.關(guān)注核心概念 培養(yǎng)核心素養(yǎng)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究,2016(7):7-12.

[3] 盧明.平面向量復(fù)習(xí)要強(qiáng)化“5種意識(shí)”的培養(yǎng)[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2014(4):1-5.

2017-07-22

馬喜君(1979-)，男，浙江嘉興人，中學(xué)高級(jí)教師．研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)09-44-04