微分方程在時域分析教學中的應(yīng)用探討

鄭麗丹

將學生熟悉的微分方程求解，應(yīng)用于自動控制理論的時域分析法的教學中，以二階系統(tǒng)為例，詳細講述了推導過程，得出了阻尼比在不同取值范圍內(nèi)時輸出響應(yīng)的時域表達式的具體情況。在學生學過的舊知識和即將要學的新知識之間架起了橋梁，使學生體會到學以致用的快樂，取得了良好的教學效果。

微分方程時域分析二階系統(tǒng)本文提出利用高數(shù)中二階微分方程的求解來得出二階系統(tǒng)中阻尼系數(shù)ζ在不同取值區(qū)間內(nèi)的響應(yīng)情況，總結(jié)規(guī)律，聯(lián)系物理學的實際，便于學生記憶和掌握。

一、推導過程

顯然，上述方程為高數(shù)中的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，根據(jù)數(shù)學理論，容易得知，c（t）的解由通解和特解兩部分組成，本式中特解為常數(shù)1，通解根據(jù)微分方程對應(yīng)的特征方程的特征根的不同情況，有如表1中三種形式。

已知ωn≥0，故，只需依次分析ζ在不同取值范圍內(nèi)對應(yīng)的輸出響應(yīng)的通解形式，就可以得出相應(yīng)的規(guī)律。

1.ζ<0

（1）ζ<-1時，對應(yīng)的特征根形式為上述表格第一種情況，且S1>0，S2>0，得到輸出響應(yīng)在t≥0時，單調(diào)發(fā)散。

（2）ζ=-1時，對應(yīng)的特征根形式為上述表格第二種情況，且S1=S2>0，得到輸出響應(yīng)在t≥0時單調(diào)發(fā)散

（3）-1<ζ<0時，對應(yīng)的特征根形式為上述表格第三種情況，且α>0，得到輸出的表達式：

由于C3>0且α>0，在t≥0時，可得輸出為一發(fā)散形式正弦振蕩曲線，不能收斂。

綜上所述，在ζ<0時，系統(tǒng)發(fā)散，在控制系統(tǒng)中，不滿足自動控制系統(tǒng)最重要的性能指標即穩(wěn)定性，因而沒有研究的必要。

2.ζ=0

ζ=0時，對應(yīng)的特征根形式為上述表格第三種情況，且α=0，得到輸出的表達式：

輸出表達式為正弦函數(shù)，等幅震蕩，既不收斂，也不發(fā)散，是收斂與發(fā)散的臨界狀態(tài)。

3.ζ>0

（1）0<ζ<1時，對應(yīng)的特征根形式為上述表格

第三種情況，且α<0，得到輸出的表達式為式（6）

由于α<0，eαt收斂，可得輸出為震蕩收斂過程，即為欠阻尼過程。

（2）ζ=1時，對應(yīng)的特征根形式為上述表格第二種情況。由于S1=S2<0，故：

且eαt收斂，可得輸出為單調(diào)的收斂情況，無震蕩，該情況即為臨界阻尼情況，是系統(tǒng)有無震蕩的臨界狀態(tài)。

（3）ζ>1時，對應(yīng)的特征根形式為上述表格第一種情況，由于S1<0且S2<0，可得輸出為單調(diào)的收斂情況，無震蕩。

綜上所述，ζ>0，自動控制系統(tǒng)具有穩(wěn)定性，可以作為實際的控制系統(tǒng)使用。

學生們在學習時，可以聯(lián)系物理學中的實際，物理學中我們知道沒有阻力情況下，物體會保持無限勻速運動，這就可以解釋為什么在自動控制原理中ζ定義為阻尼系數(shù)，可以認為ζ即為系統(tǒng)受到的阻力作用。

當ζ=0時，相當于無阻力，所以輸出保持正弦震蕩，既不收斂，也不發(fā)散。

當ζ<0時，可以認為是與阻力相反方向的力，即與運動速度方向相同的力的作用，會導致速度增大，因而系統(tǒng)發(fā)散。

當ζ>0時，系統(tǒng)具有阻力作用，因而速度會下降，呈現(xiàn)收斂的態(tài)勢。

上述內(nèi)容，只是籠統(tǒng)的分析二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)ζ在不同取值范圍內(nèi)的響應(yīng)情況，雖然沒有得出輸出表達式的具體形式，但是已經(jīng)可以得到在阻尼系數(shù)ζ取不同數(shù)值的響應(yīng)特點，表達式較簡單，方便學生對比記憶和掌握。

如果需要得到響應(yīng)的具體表達式，用以分析超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間等。我們只需把響應(yīng)中的參數(shù)求出來即可，方法是利用傳遞函數(shù)的定義中要求的線性系統(tǒng)的初始條件為0的條件，我們以欠阻尼二階系統(tǒng)為例進行分析如下：

由于非齊次線性微分方程的解為通解和特解之和，依據(jù)前面得出的欠阻尼二階系統(tǒng)的通解和特解的值，可以得到欠阻尼二階系統(tǒng)的解為：

二、結(jié)論

由于高數(shù)中二階微分方程的求解為教師講授及學生理解、掌握的重點內(nèi)容之一，所以大部分學生對該知識點很熟悉，將自動控制時域分析中的二階系統(tǒng)的響應(yīng)的求法轉(zhuǎn)化為二階微分方程的解法，使得學生對新知識的陌生感消失。

同時，應(yīng)用這種方法，總結(jié)規(guī)律，學生可以充分理解阻尼系數(shù)的意義，使得欠阻尼、臨界阻尼、過阻尼的概念易于理解和記憶。

本文中雖以較大篇幅給出了推導的過程，事實上，在講授的過程中，老師只需將自動控制中的二階系統(tǒng)與二階微分方程之間的相同之處提出來，推導的過程完全可以指導學生獨立完成，激發(fā)學生的學習興趣，同時，取得較好的教學效果。

另外，微分方程的解法也適用于對自控系統(tǒng)中一階及高階系統(tǒng)分析。

參考文獻：

[1]胡壽松.自動控制原理[M].北京：科學出版社，2013.71-75.

[2]同濟大學應(yīng)用數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2007.259-276.endprint