借助一題多解提升教學(xué)效果

李正耀　馮建中??

摘要：對(duì)于高等數(shù)學(xué)課程中的一些典型例題，通過(guò)一題多解可以從各個(gè)方面來(lái)研究討論其解法，可以幫助學(xué)生梳理知識(shí)難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，顯著提升教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：一題多解；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)效果

中圖分類號(hào)：G4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.22.088

1引言

《高等數(shù)學(xué)》是高等院校通用專業(yè)一門(mén)非常重要的學(xué)位基礎(chǔ)課，其思想和方法貫穿到各專業(yè)后續(xù)專業(yè)課程的方方面面。但是，該課程存在知識(shí)點(diǎn)眾多、題目計(jì)算復(fù)雜、題型復(fù)雜多變等顯著特點(diǎn)，往往會(huì)引起同學(xué)們的厭學(xué)情緒。一題多解是一種發(fā)散性解題思維，通過(guò)典型例題的一題多解討論分析，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提升教學(xué)效果。

2一題多解在《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)中的具體應(yīng)用

例1計(jì)算limx→0cosax-cosbxx2。

法一：這是典型的00型積分計(jì)算，可以采用洛必達(dá)法則計(jì)算：

limx→0cosax-cosbxx2=limx→0bsinbx-asinax2x=limx→0b2cosbx-a2cosax2=b2-a22

法二：表達(dá)式分子可以理解為余弦之差，利用和差化積公式以及等價(jià)無(wú)窮小代換可得：

limx→0cosax-cosbxx2=limx→0-2sina+b2xsina-b2xx2=limx→0-2a+b2xa-b2xx2=b2-a22

法三：利用cosx的泰勒展式cosx=1-x22+o（x2），可以得到：

limx→0cosax-cosbxx2

=limx→01-（ax）22+o（x2）-1-（bx）22+o（x2）x2

=limx→0（bx）22-（ax）22+o（x2）x2=b2-a22

例2求不定積分∫secxdx。

法一：∫secxdx=∫1cosxdx=∫cosx1-sin2xdx=12∫11+sinx+11-sinxdsinx

=12ln1+sinx-12ln1-sinx+c=12ln1+sinx1-sinx+c

=ln1+sinxcosx+c=lnsecx+tanx+c

法二：也可直接利用∫cscxdx=lntanx2+c得到一種新的解法：

∫secxdx=∫1cosxdx=∫1sin（x+π2）dx=∫csc（x+π2）dx=lntan（x2+π4）+c

法三：利用萬(wàn)能公式代換，可以有如下解法：

令y=tanx2，則dx=2dy1+y2，cosx=1-y21+y2，此時(shí)

∫secxdx=∫1cosxdx=∫1+y21-y2·2dy1+y2=∫11+y+11-ydy=ln1+y1-y+c

=ln1+tanx21-tanx2+c=ln1+sinxcosx+c=lnsecx+tanx+c

法四：利用tan′x=sec2x，sec′x=secxtanx，可做如下?lián)Q元，令y=secx+tanx，dy=sec2x+secxtanxdx：

∫secxdx=∫secx·dysec2x+secxtanx=∫dysecx+tanx

=∫dyy=lny+c=lnsecx+tanx+c

分析：這是高等數(shù)學(xué)中關(guān)于三角函數(shù)的基礎(chǔ)積分計(jì)算題，通過(guò)本題多解，可以引導(dǎo)學(xué)生尋曲探幽，久而久之，最后可以形成學(xué)生自己的推理能力，應(yīng)用知識(shí)的能力，在實(shí)踐中得出最佳解題方法，實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍。

例3寫(xiě)出直線l：3x-4y+5z+6=02x-5y+z-1=0的對(duì)稱式方程。

法一：由直線的點(diǎn)向式要求可知，我們只要找到直線上的任意一點(diǎn)以及其方向向量即可。觀察直線方程消去變量z，可得7x-21y=11，再令y=1可解出該直線上一點(diǎn)327，1，-227。由于兩平面的交線與這兩平面的法線向量n1={3，-4，5}，n2={2，-5，1}都垂直，所以可取

s=n1×n2={3，-4，5}×{2，-5，1}={21，7，-7}=7{3，1，-1}

故該直線的對(duì)稱式方程為：x-3273=y-11=z+227-1

法二：結(jié)合方法一，再令y=2，可得該直線另一點(diǎn)為537，2，-297；所以該直線過(guò)

327，1，-227、537，2，-297兩點(diǎn)，其方向向量可?。?/p>

s=537，2，-297-327，1，-227=（3，1，-1）

故該直線的對(duì)稱式方程為：x-3273=y-11=z+227-1

法三：直接把變量x作為基礎(chǔ)，解出x=x，x=21y+117，x=-21y-347，所以此時(shí)直線方程為：l：x1=21y+117=-21y-347

最后化簡(jiǎn)可得該直線的對(duì)稱式方程為：

l：x3=y+11211=z+3421-1

3結(jié)論

在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，通過(guò)以上典型例題的一題多解方法討論，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，加深了對(duì)于這些知識(shí)點(diǎn)的理解與運(yùn)用，開(kāi)拓了學(xué)生的思維，對(duì)于整個(gè)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)都大有裨益，能顯著提升教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

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