基于一道易錯(cuò)題的思考

陶希賢

【摘要】學(xué)生在解題時(shí)會出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的產(chǎn)生有一定的必然性與合理性.學(xué)生的錯(cuò)誤具有重要的研究價(jià)值，教師應(yīng)當(dāng)持積極的態(tài)度面對，分析錯(cuò)誤的原因，并及時(shí)矯正.

【關(guān)鍵詞】不等式；數(shù)學(xué)解題；線性規(guī)劃；糾錯(cuò)

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必不可少的環(huán)節(jié)，它是學(xué)生自我評價(jià)的尺度，也是教師評價(jià)學(xué)生的工具.一道題目的解答過程，展現(xiàn)了學(xué)生的思維過程以及對知識的理解程度.通過解題，可以查漏補(bǔ)缺，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，并解決問題.筆者以一道不等式的易錯(cuò)題為例，展現(xiàn)解題者的一般做法，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并給予總結(jié)糾正.

一、問題呈現(xiàn)

（一）題目呈現(xiàn)

已知2≤x+y≤4， （1）1≤x-y≤2， （2） 求4x-2y的取值范圍.

（二）常見錯(cuò)解

解 由（1）+（2）得3≤2x≤6.

所以6≤4x≤12.（3）

由（1）-（2）得1≤2y≤2.（4）

由（3）-（4）得5≤4x-2y≤10，即為所求.

（三）錯(cuò)解原因

解題者通過將（1）（2）兩式分別相加和相減，求出了x、y的取值范圍，再將兩式相減得出了最后結(jié)論.通過學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)可知，不等式具有“同向可加性”，所以兩式可以相加.但是，不等式不可以“同向可減”.這一點(diǎn)，就是解題者產(chǎn)生誤區(qū)的地方.知道“同向可加”類比為“同向可減”.通過“同向相減”后，不等式的取值范圍會被縮小，所以這種做法是不正確的.

（四）正確解法

筆者這里分別用代數(shù)法和幾何法對本題進(jìn)行解答.

（五）錯(cuò)誤反思

不等式的性質(zhì)是不等式的基礎(chǔ)，包括五個(gè)性質(zhì)定理以及三個(gè)推論.不等式的性質(zhì)是解不等式和證明不等式的主要依據(jù)，只有正確地理解每條性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件的變化，才能正確地加以運(yùn)算.利用不等式的性質(zhì)探求命題成立的條件是不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.利用幾個(gè)不等式的范圍來確定某個(gè)不等式的范圍是一類常見的綜合問題，對于這類問題要注意：“同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減）”，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，在一個(gè)解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化時(shí)，就有可能擴(kuò)大或者縮小真實(shí)范圍.解題時(shí)務(wù)必小心、謹(jǐn)慎，先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性不等關(guān)系的運(yùn)算”，求得待解的范圍，是避免犯錯(cuò)的一條重要途徑.

在學(xué)習(xí)了線性規(guī)劃后，我們對這類問題有了更深入的理解.一般地，線性約束條件是由x，y的一次不等式組成的不等式組，由此首先畫出約束條件所表示的區(qū)域.線性目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By在約束條件下的最值問題，就是求滿足約束條件的可行解.由可行解組成的區(qū)域叫作可行區(qū)域.

二、歸納反思

學(xué)習(xí)了知識，就要加以運(yùn)用，只有真正地拿起筆，開動(dòng)腦筋，實(shí)行想法的時(shí)候，我們才能發(fā)現(xiàn)問題，并且及時(shí)解決問題.我們都有這樣一種體驗(yàn)：“聽了就忘了，看了就會了，做了就掌握了.”作為學(xué)生，在學(xué)習(xí)了新的內(nèi)容過后，需要及時(shí)將所學(xué)知識進(jìn)行運(yùn)用，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們追求的不是題海戰(zhàn)術(shù)，做得多并不一定會得到多大提升.選擇的題目要精，要具有代表性，做好題，好好做題.在練習(xí)的過程中，更加深入理解知識，體會數(shù)學(xué)知識的生活意義，發(fā)現(xiàn)自己的不足，不斷改進(jìn).

作為一位教師，要學(xué)會選擇試題，以教材為根本，通過學(xué)生的作業(yè)情況，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài).善于總結(jié)提煉易錯(cuò)點(diǎn)，以及重難點(diǎn)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，并給予學(xué)生幫助.運(yùn)用科學(xué)的方法，引導(dǎo)學(xué)生分析、認(rèn)識錯(cuò)誤的根源，揭示錯(cuò)誤的類型與程度，探究相應(yīng)的解決方法，逐步加深學(xué)生對知識的認(rèn)識和理解.

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