利用思維導圖設計二次函數復習課

彭高陽

摘要：二次函數是初中數學數與代數課程領域的重要內容，它是客觀地反映現實世界中變量之間的數量關系和變化規(guī)律的一種非常重要的數學模型，它承載著數形結合、分類討論、化歸與轉化等數學思想的應用.思維導圖是一種表達發(fā)射性思維的有效的圖形思維工具，它運用圖文并重的技巧，把主題關鍵詞與圖像、顏色等建立記憶鏈接，從而開啟人類大腦的無限潛能.本節(jié)課從一道中考題入手，利用波利亞怎樣解題表，融入思維導圖，提高課堂效率.

關鍵詞：二次函數思維導圖 教學設計

一、教材分析

1.地位和作用

函數是初等數學最基本的概念之一，貫穿于整個初等數學教學的體系之中，它是數學建模的重要工具.二次函數是初中數學數與代數課程領域的重要內容，它是客觀地反映現實世界中變量之間的數量關系和變化規(guī)律的一種非常重要的數學模型，承載著數形結合、分類討論、化歸與轉化等數學思想的應用.二次函數是中考壓軸題的必考內容.

2.學情分析

（1）通過本章的學習，學生基本掌握二次函數的定義、圖象、性質等相關知識.

（2）學生的分析、理解能力有提高.能利用數形結合和化歸的數學思想，獨立思考或合作探究來解決一些實際問題.

（3）學生學習能力有差異，兩極分化明顯.

二、教學目標

1.知識目標

通過對實際問題情境分析確定二次函數表達式的過程，會根據公式確定圖像的頂點、開口方向和對稱軸（公式不要求記憶和推導） ，體會二次函數的意義.

2.能力目標

（1）會用描點法畫出二次函數的圖像，能從圖像上認識二次函數的性質，并能解決簡單的實際問題.

（2）會利用二次函數的圖像求一元二次方程的近似值.

（3）學生通過知識的學習，掌握類比、轉化等數學學習方法，形成自主探索與合作探究的學習習慣.

3.情感目標

在教學中滲透美的教育，滲透數形結合和化歸的數學思想，讓學生在教學活動中，體會探索與創(chuàng)新，與同學分享成功的喜悅.

三、教學重點難點

（1）本節(jié)課教學重點二次函數常見壓軸題型的歸納.

（2）從圖形中發(fā)現問題，構建數學模型來解決問題.

四、教法學法

教無定法，貴在得法.本節(jié)課本節(jié)課從一道中考題下手，創(chuàng)設有助于學生探索思考的問題情境，引導學生積極思考探索，讓學生經歷“觀察、發(fā)現、歸納”的過程，發(fā)揮學生學習的主動性.再引入變式教學，讓學生借助波利亞怎樣解題表，融入思維導圖，優(yōu)化解題，使學生思想方法得到提升.同時借助多媒體課件、投影儀教學，提高課堂效率.

五、教學過程

（一）自主復習

1.廣東省省卷近六年中考統(tǒng)計

2.二次函數思維導圖

學生活動：學生展示動手制作思維導圖，并講解討論.

設計意圖：思維導圖有助于二次函數的關鍵詞在學生腦海里加深印象，有助于理解知識的收集、整理和歸納的過程，更有助于知識的系統(tǒng)化和條理化.

老師點評：思維導圖是運用圖文并重的技巧，把主題關鍵詞與圖像、顏色等建立記憶鏈接，從而開啟人類大腦的無限潛能.

（二）交流合作探究

如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交與A（1，0），B（-3，0）兩點，頂點為D，交y軸于C.

（1）求該拋物線的解析式與△ABC的面積.

學生活動：學生展示.

設計意圖：上一題二次函數開口向上，此題開口向下，便于學生對比.

老師點評：利用待定系數法求二次函數解析式，有一般式、頂點式和交點式三種形式，學生要通過弄清問題來選擇.

（2）在拋物線第二象限圖像上是否存在一點M，使△MBC是以∠BCM為直角的直角三角形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

學生活動：學生小組討論，合作探究，最后小組展示講解.

設計意圖：把三角形放在二次函數的圖象中，使學生初步具有基本解決代數與幾何綜合題的能力.此題從直角的存在性出發(fā)，讓學生回憶直角三角形在解題中的應用.一種是邊的應用——勾股定理，一種是角的應用——兩銳角互余.

老師點評：學生要弄清那個角是直角，動手作圖，利用勾股定理或兩銳角互余來實現計劃，最后對各種解法進行比較分析，形成自己解決數學問題的一般策略.

（3）若E為拋物線B、C兩點間圖像上的一個動點（不與B、C重合），過E作EF與x軸垂直，交BC于F，設E點橫坐標為x，EF的長度為L，求L關于x的函數關系式？并寫出x的取值范圍？

當E點運動到什么位置時，線段EF的長度最大，并求此時E點的坐標？

學生活動：學生獨立思考.

設計意圖：求兩點距離的關鍵在于表示其坐標，并且字母越少越好.讓學生體會變量在數學解題中的應用，體驗數形結合解題的實用性和有效性.endprint

老師點評：學生能容易的發(fā)現兩點的橫坐標相同，進而制定計劃用橫坐標來表示兩點的縱坐標，利用函數關系式來實現這個計劃，最后檢驗回顧.讓學生發(fā)現慣性思維的錯誤性，因為有的學生覺得點E是拋物線的頂點.

（4）在（3）的情況下直線BC與拋物線的對稱軸交于點H.當E點運動到什么位置時，以點E、F、H、D為頂點的四邊形為平行四邊形？

學生活動：學生獨立完成.

設計意圖：把平行四邊形放在二次函數的圖像中，使學生進一步具有基本解決代數與幾何綜合題的能力.讓學生動手作平行四邊形，來探究點的存在性.

老師點評：在平行四邊形的作圖中，要考慮已知點的連線段作為邊和對角線兩種情況，防止遺漏.

（5）在（3）的情況下點E運動到什么位置時，使△BCE的面積最大？

學生活動：學生小組討論，合作探究，最后小組展示講解.

設計意圖：三角形的面積是?？碱}型.學生要善于發(fā)現圖形特征，利用圖形的割補思想，把不易表示的底與高轉化為易表示的底與高，進而達到數學解題的目的.通過數學解題提高學生數形結合、化歸的數學思想.

老師點評：利用線段EF的長度，學生容易將原三角形分割成兩個三角形；不利用線段EF的長度，我們可以補形來解決問題.實現計劃的難點是圖形如何來割補，這是學生要多觀察、總結、歸納的.

（三）歸納小結與板書設計

學生活動：學生自由發(fā)言.

設計意圖：讓學生所學、所感、所惑暢所欲言.感受學生的領悟能力，讓學生發(fā)現自己對數形結合、化歸思想的掌握程度，在做題過程中出現的問題進行反思，為以后進一步的學習打下基礎.

老師點評：波利亞怎樣解題表和思維導圖的應用，理清解題思路，提高學生數學解題的能力.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京師范大學出版社，2012.

[2]喬治·波利亞.怎樣解題——數學思維的新方法[M].上海科技教育出版社，2011.

[3]羅增儒.中學數學課例分析[M].陜西師范大學出版社，2001.endprint