耦合 Schr¨odinger和 KdV 方程組孤波解的存在性

吳阿麗,魏公明

(上海理工大學(xué),上海市 200093)

耦合 Schr¨odinger和 KdV 方程組孤波解的存在性

吳阿麗,魏公明

(上海理工大學(xué),上海市 200093)

主要研究了耦合的非線性 Schrdinger和 KdV方程孤波解的存在性.文章利用集中緊性原理找到預(yù)緊性的極小化序列,通過(guò)平移的方式來(lái)尋找方程組對(duì)應(yīng)泛函在H1(R)的極小值函數(shù),從而得到原方程非平凡解的存在性.

NLS-KdV方程組;極小化序列;對(duì)稱重排;集中緊性原理

1 引言

和KdV方程

是色散介質(zhì)中非線性波的經(jīng)典模型.對(duì)于方程(2)的討論.可參見(jiàn)文獻(xiàn)[9-10,12].

本文的研究是受文獻(xiàn)[1,4]的啟發(fā),在文獻(xiàn)[1]中,作者研究了如下問(wèn)題：

其中τ1,τ2和α都是實(shí)常數(shù).在(3)中的耦合形式是比較常見(jiàn)的,該系統(tǒng)起源于大量的關(guān)于長(zhǎng)波和長(zhǎng)波長(zhǎng)包絡(luò)的短波交互作用的物理模型,詳細(xì)可參閱文獻(xiàn)[3,6].在文獻(xiàn)[1]中,證明在

的約束下,其中 α＞0,τ1＞0,τ2＞0和 1≤q＜4,形如

孤立波解的存在性,其中c＞0,ω∈R,而?：R→C和ψ：R→R都是在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于零的函數(shù).由文獻(xiàn)[1]中對(duì)耦合項(xiàng)的條件限制,自然會(huì)想到可否進(jìn)一步考慮更廣泛類型的耦合的Schrdinger-KdV方程組呢？第一,可以將p和q耦合項(xiàng)u的的冪次項(xiàng)系數(shù)范圍擴(kuò)大.第二,將(3)推到更高維的模型.第三,把(3)中一個(gè)薛定諤方程和一個(gè)KdV方程的方程組推廣到一個(gè)Schr¨odinger方程和多個(gè)KdV方程組或者是一個(gè)KdV方程和多個(gè)Schrdinger方程的方程組.從證明的技術(shù)上講,推廣的困難之處在于在證明次加性泛函的構(gòu)造上,還有在構(gòu)造時(shí)需要的重排不等式.本文受文獻(xiàn)[4]的啟發(fā),將文獻(xiàn)[5,11]的重排不等式的結(jié)果應(yīng)用于排除二分性上.文獻(xiàn)[5]中引理A.1將文獻(xiàn)[1]中的重排不等式結(jié)果從一維推廣到了任意維數(shù).文獻(xiàn)[4]研究了如下的非線性Schr¨odinger系統(tǒng)駐波的存在和穩(wěn)定性,

的孤波解的存在性和軌道穩(wěn)定性：

受上述兩篇文章的啟發(fā),本文主要研究如下的NLS-KdV方程組：

當(dāng) β＞0,μi＞0,1＜r＜5,2＜pi＜6,i=1,2時(shí),形如

的孤波解的存在性和軌道穩(wěn)定性.即研究如下方程組的非平凡解的存在性,

約束集是

從而極小化問(wèn)題為

最后通過(guò)集中緊性原理來(lái)解決帶約束的極小化問(wèn)題.

注 1.1在這篇文章中和H1(R)分別代表H1(R)里復(fù)函數(shù)和實(shí)函數(shù)的集合.其范數(shù)是

對(duì)所有的1≤p＜∞,Lp(R)是普通的Lebesgue空間,其范數(shù)是

定義符號(hào)→和?分別代表強(qiáng)收斂和弱收斂.并定義B(x,R)為在一維空間里面的以x為中心R為半徑的開(kāi)區(qū)間.

定理1.1 假設(shè)當(dāng)

則對(duì)任意的a1＞0和a2＞0,m(a1,a2)可以被達(dá)到,即存在

使得

論文的安排如下：第二節(jié),介紹一些重要的預(yù)備引理.定理1.1將在第三節(jié)進(jìn)行詳細(xì)的證明.

2 預(yù)備結(jié)果

其中

對(duì)1＜r＜5,存在一個(gè)q＞1,使得

其中

在接下來(lái)的主要定理證明中,在排除二分性時(shí),需要文獻(xiàn)[11]的重排結(jié)果,具體的證明可參閱文獻(xiàn)[5].設(shè)u是一個(gè)在RN上的Borel可測(cè)函數(shù).設(shè)A?RN是Lebesgue可測(cè)集,用|A|代表測(cè)度.設(shè)u,v是RN上在無(wú)窮遠(yuǎn)處有界的Lebesgue可測(cè)函數(shù),對(duì)t＞0,定義

其中r＞0,由

來(lái)確定.定義

其中χA(x)是集合A?RN的特征函數(shù).

引理 2.1設(shè)u,v∈H1(RN),則

(i)函數(shù){u,v}?是徑向?qū)ΨQ的,非增和下半連續(xù)的.此外,對(duì)任意t＞0有

(ii)若Φ：[0,∞)→[0,∞)是非減,下半連續(xù),在 0點(diǎn)連續(xù)和Φ(0)=0,則

(v)若u1,u2,v1,v2≥0,是Borel可測(cè)函數(shù)并在無(wú)窮遠(yuǎn)處有界,則

在本文中,利用Brezis-Lieb引理可以得到一些重要的極限關(guān)系.下面將先詳細(xì)介紹下該引理的具體內(nèi)容.

引理 2.2設(shè)?是RN的開(kāi)子集和un?Lp(?),1≤p＜∞.若

(1)un在 Lp(?)里有界;

(2)un在?里幾乎處處收斂到u0;則

3 定理1.1的證明

為證明后面極小化序列經(jīng)過(guò)平移具有緊性,我們先證明 m(a1,a2)和其極小化序列在的性質(zhì).

引理 3.1(i)對(duì)任意的a1,a2≥0,若a1＞0或者a2＞0,則

(ii)m(a1,a2)對(duì)a1,a2≥0是連續(xù)的.

(iii)對(duì)任意的a1≥b1≥0,a2≥b2≥0,有

證明(i)首先證明m(a1,a2)＜0,任選一個(gè)(u1,u2)∈S(a1,a2)且u1,u2皆為非負(fù)函數(shù),定義

其中λ為任意大于0的數(shù).則

其中

引理 3.2假設(shè)1＜r＜5.如果在里

則

證明該引理的證明與參考文獻(xiàn) [4]相似.為了完整性,將提供具體證明過(guò)程.對(duì)任意b1,b2,c1,c2∈R和ε＞0,利用平均值定理和Young不等式可得

其中

根據(jù)Lebesgue控制收斂定理得到

因?yàn)?/p>

引理 3.3對(duì)(13)的任意極小化序列通過(guò)平移,對(duì)2＜p＜6,在Lp(R)×Lp(R)里強(qiáng)收斂.

證明假設(shè)是定義在S(a1,a2)關(guān)于泛函J的極小化序列.由引理3.1（iv）可知序列在上是有界的.為了下文中研究泛函J性質(zhì)的方便,由

因?yàn)?/p>

所以不防設(shè)極小化序列全為非負(fù)函數(shù)序列.若

對(duì)一些R＞0,則對(duì)任意2＜p＜6,i=1,2,在Lp(R)里有見(jiàn)文獻(xiàn)[8]引理I.1.這與引理3.1(i)中m(a1,a2)＜0相矛盾.因此,存在一個(gè)β0＞0和一個(gè)序列{yn}?R,使得

而該引理的主要目的是得到

對(duì)所有的2＜p＜6,在Lp(R)中強(qiáng)收斂到0,i=1,2,為得到這個(gè)結(jié)論,利用反證法來(lái)證明,假設(shè)存在一個(gè)2＜q＜6,使得在Lq(R)×Lq(R)里在這些假設(shè)下,若

則再次利用文獻(xiàn)[8]引理I.1,可以得出在Lp(R)里對(duì)所有的2＜p＜6,有

這與假設(shè)矛盾.因此,存在一個(gè)β1＞0和一個(gè)序列{zn}?R,使得

在 L2(R)×L2(R)里有界,且

分別幾乎處處收斂到(u1,u2)和(?u1,?u2),再由 (18)和(19)可知對(duì)所有

在Lp(R)×Lp(R)里是有界的,利用引理2.2,可得

和

接下來(lái)的分情況討論將利用到引理2.1,可以把所有的可能可歸為以下兩種情況.

利用引理2.1(ii),(iv)和（v）,有

因此

再根據(jù)引理2.1(iii),對(duì)i=1,2,

再利用公式3.10至公式3.12和引理3.1(iii),可得矛盾

和

因此,利用公式3.10,公式3.13,公式3.15和引理3.1,同樣可得

因此,對(duì)所有的2＜p＜6在Lp(R)里有

定理 1.1的證明令是泛函J在S(a1,a2)的極小化序列.由引理3.3,可知存在序列yn使得對(duì)2＜p＜6在Lp(R)里有

因此根據(jù)弱收斂

顯然,若

假設(shè)

根據(jù)定義知J(u1,u2)≤m(b1,b2)和由3.15知

再根據(jù)引理3.1(iii)知,

和引理3.1(i)知m(a1-b1,a2-b2)＜0得到矛盾,因此定理1.1得證.

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Existence of solitary waves for coupled NLS-KdV system

Wu Ali,Wei Gongming
(University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai200093,China)

In this paper,we study the existence of solitary waves for a NLS-KdV system. fi rst using the concentration-compactness principle to fi nd the precompactness of the minimizing sequences.then search the minimizers of functional for the system in H1(R)after a suitable translation.as a result the existence of nontrivial solution of original equations is proved.

NLS-KdV systems,solitary waves,minimizing sequences,symmetric-decreasing

O175.29

A

1008-5513(2017)04-0392-14

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.04.007

2017-04-18.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11471215);滬江基金(B14005).

吳阿麗(1992-),碩士生,研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:34G20,47J30