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    關(guān)于B-Nekrasov矩陣線性互補(bǔ)問題最優(yōu)誤差界的注記

    2017-09-12 08:05:10楊紹蓉甘夢(mèng)婷李朝遷
    關(guān)鍵詞:題名線性定理

    楊紹蓉,甘夢(mèng)婷,李朝遷

    (云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南 昆明 650500)

    關(guān)于B-Nekrasov矩陣線性互補(bǔ)問題最優(yōu)誤差界的注記

    楊紹蓉,甘夢(mèng)婷,李朝遷

    (云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南 昆明 650500)

    研究了B-Nekrasov矩陣線性互補(bǔ)問題的含有參數(shù)誤差界的最優(yōu)值問題,利用函數(shù)的單調(diào)性,在的情況下,得到了該誤差界的最優(yōu)值.

    B-Nekrasov矩陣;線性互補(bǔ);誤差界

    1 引言

    設(shè)

    尋找解x?∈Rn,使其滿足:

    的問題稱為線性互補(bǔ)問題,記為L(zhǎng)CP(M,q)[14].其在經(jīng)濟(jì)學(xué),對(duì)策論以及數(shù)學(xué)規(guī)劃中起到重要的作用,是一類應(yīng)用廣泛的優(yōu)化問題[5].LCP(M,q)解的存在性,唯一性,靈敏度以及求解算法的收斂性都與矩陣的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)有關(guān)[6].當(dāng)M 為P-矩陣時(shí),LCP(M,q)存在唯一解[79].目前,該領(lǐng)域的熱門研究課題之一是LCP(M,q)解的誤差界估計(jì),即給出的上界[7].

    在文獻(xiàn)[5]中提出了P-矩陣的子類矩陣B-Nekrasov矩陣,并給出其線性互補(bǔ)問題的誤差界.對(duì)給定的矩陣

    則稱M為Nekrasov矩陣[8].

    定義 1.1[10]設(shè) A=(aij)1≤i,j≤n∈Rn×n,且 A 分解為 A=B++C 的形式,其中

    若B+是對(duì)角元為正數(shù)的Nekrasov矩陣矩陣,則稱A為B-Nekrasov矩陣.

    定理 1.1[10]設(shè) A=(aij)1≤i,j≤n,n≥2是 B-Nekrasov矩陣,并存在 m>i,使得

    B+是定義1.1中所定義.對(duì)角矩陣

    其中

    然而,在實(shí)際應(yīng)用中往往取不同的ε計(jì)算f(ε)作為(1)式的近似值.

    例1.1給定B-Nekrasov矩陣

    由定理1.1知,

    故可得定理1.1中的界f(ε),如圖1所示.

    圖1 例1的誤差界

    容易看出,當(dāng)ε取值很小時(shí)(如ε=0.001,0.005),f(ε)的值很大,即ε的取值會(huì)導(dǎo)致界f(ε)非常大.另一方面,觀察圖1知

    是存在的.然而,到目前為止,如何確定該值并沒有相關(guān)結(jié)果?這將是本文的主要研究工作,即在給定的條件(δi>1,i=1,2,...,n-1)下,討論了最優(yōu)值問題,并確定(1)式的值.

    2 B-Nekrasov矩陣的線性互補(bǔ)問題誤差界的最優(yōu)值

    對(duì)滿足定理1.1中的條件B-Nekrasov矩陣A,令

    命題2.1設(shè)矩陣A,W,為定理1中所定義,且設(shè) δi>1,i=1,2,...,n-1.

    證明注意到

    從而推出

    所以 δn≥1.故

    證畢.

    進(jìn)一步,對(duì)

    進(jìn)行分析.不是一般性,設(shè)

    見圖2.

    圖2 誤差界及其最優(yōu)值

    3 總結(jié)

    的元素均為正數(shù)進(jìn)行討論,討論了f(ε)的最優(yōu)值,這個(gè)最優(yōu)值是存在且可計(jì)算的.對(duì)滿足其它情況B-Nekrasov矩陣所對(duì)應(yīng)的誤差界f(ε)的最優(yōu)值問題仍有待研究.

    [2]Dai pingfan.Error bounds for linear complementarity problems of DB-matrices[J].Linear Algebra,2011,434:830-840.

    [3]Li chaoqian,Gan mengting,Yang shaorong.A new error bound for linear complementarity problems for B-matrices[J].Electronic Journal of Linear Algebra,2016,31:476-484.

    [4]Li chaoqian,Li yaotang.Note on error bounds for linear complementarity problems for B-matrices[J].Applied Mathematics Letters,2016,57:108-113.

    [5]孫艷波.線性互補(bǔ)問題解的存在性及其相關(guān)矩陣的研究[D].南京:南京航空航天大學(xué),2006.

    [6]彭凌.幾類特殊矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界[D].吉首:吉首大學(xué),2015.

    [7]Chen xiaojun,Xiang shuhuang.Computation of error bounds for P-matrix linear complementarity problems[J].Math.Program,2006,106:513-525.

    [9]Cottle R W,Pang J S,Stone R E.The Linear Complementarity Problem[M].New york:Academic Press,1992.

    2010 MSC:60B12

    《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》稿約

    1本刊是經(jīng)國(guó)家科委、新聞出版署批準(zhǔn)公開發(fā)行的數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的綜合性學(xué)術(shù)刊物,主要刊登數(shù)學(xué)學(xué)科中有創(chuàng)造性的研究論文和具有重要經(jīng)濟(jì)價(jià)值的應(yīng)用性論文,以繁榮數(shù)學(xué)理論,推進(jìn)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.本刊2000年榮獲《CAJ-CD規(guī)范》執(zhí)行優(yōu)秀獎(jiǎng),2004年入選全國(guó)中文核心期刊,2006年獲陜西省出版編輯良好獎(jiǎng).2012年11月獲陜西省科技期刊編輯學(xué)會(huì)2011-2012年度優(yōu)秀科技期刊獎(jiǎng).

    2本刊只接收中文稿件,2010起為雙月刊,每年一卷,共6期,國(guó)內(nèi)外公開發(fā)行.

    3來稿要求和注意事項(xiàng)

    3.1 來稿必須包括:題目、作者姓名、作者單位(全稱)、作者簡(jiǎn)介(性別、年齡、職稱、學(xué)位及主要研究方向)、中文摘要(200字左右)、關(guān)鍵詞(3-5個(gè))、中圖分類號(hào)、2000年美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》主題分類號(hào)、英文摘要、正文、參考文獻(xiàn).如有基金項(xiàng)目資助,請(qǐng)?jiān)谖母迨醉撟⒚髋鷾?zhǔn)文號(hào).

    3.2 節(jié)段序號(hào)分別用1;1.1;1.1.1表示,稿件內(nèi)容力求精煉充實(shí),表述正確.摘要應(yīng)說明論文的目的、方法、結(jié)果,結(jié)論和作用等.英文摘要必須與中文摘要一致,摘要中不出現(xiàn)公式與參考文獻(xiàn)標(biāo)識(shí),盡量用語言敘述所得主要結(jié)果.摘要正文請(qǐng)用第三人稱表述.

    3.3 外文字母必須分清大小寫、黑體(黑正體、黑斜體)、白體(白正體、白斜體)、花體;上下標(biāo)的字母、數(shù)字和符號(hào),其位置要區(qū)分明顯,文中不要用同一個(gè)符號(hào)表示不同的意思.務(wù)請(qǐng)注明作者的聯(lián)系電話和電子信箱.

    3.4 文中插圖請(qǐng)用描圖紙黑墨繪制或由計(jì)算機(jī)打出,插圖要清楚,線條均勻,要有圖題;表格用三線表,要有表題;圖、表要有中英文對(duì)照的圖題和表題.

    3.5 參考文獻(xiàn)按文中引用的先后順序編號(hào),未公開發(fā)表的資料請(qǐng)勿引用.文獻(xiàn)書寫格式如下:

    (1)書籍:作者(姓在前).書名[M].版次(初版不寫).出版地:出版社,出版年.

    (2)書籍中的析出文獻(xiàn):作者(姓在前).論文題名[M]//專著責(zé)任者.專著題名.出版地:出版社,出版年:起止頁碼.

    (3)譯著:原作者 (姓在前).書名 [M].版次 (初版不寫).譯者姓名.出版地:出版社,出版年:起止頁碼.

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    6本刊采用網(wǎng)上投稿,敬請(qǐng)關(guān)注本刊網(wǎng)站(http://puremathe.paperonce.org/).

    A note on the optimal error bounds for linear complementarity problems of B-Nekrasov matrices

    Yang Shaorong,Gan Mengting,Li Chaoqian
    (College of Mathematics and statistics,Yunnan University,Kunming 650500,China)

    The optimal error bound with a parameter of linear complementarity problems of B-Nekrasov matrix is studied.By using the monotonicity,in the case of,the optimal value of the error bound is obtained.

    B-Nekrasov matrix,linear complementarity,error bounds

    O241

    A

    1008-5513(2017)04-0430-11

    10.3969/j.issn.1008-5513.2017.04.010

    2017-04-26.

    國(guó)家自然科學(xué)基金(11601473).

    楊紹蓉(1993-),碩士,研究方向:數(shù)值代數(shù).

    李朝遷(1986-),博士,副教授,研究方向:數(shù)值代數(shù).

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