Smarandache函數(shù)的一類均值計(jì)算

馬云真,李江華

(西安理工大學(xué)理學(xué)院,陜西 西安 710058)

Smarandache函數(shù)的一類均值計(jì)算

馬云真,李江華

(西安理工大學(xué)理學(xué)院,陜西 西安 710058)

主要利用初等及解析方法研究F.Smarandache可乘函數(shù)ˉS(n)的一類均值分布,并給出了該函數(shù)在k次根取整序列ak(n)上的均值漸近公式.

F.Smarandache可乘函數(shù);均值;漸近公式

1 引言及結(jié)論

設(shè)n為任意正整數(shù),F.Smarandache可乘函數(shù)f(n)的定義為：如果f(1)=1,當(dāng)n＞1且時(shí),有

其著名的Smarandache函數(shù)

就是一個(gè)F.Smarandache可乘函數(shù).由S(n)的定義,容易推斷出如果

是n的標(biāo)準(zhǔn)分解式,那么

于是,S(n)是F.Smarandache可乘函數(shù).關(guān)于S(n)的算術(shù)性質(zhì),有不少學(xué)者進(jìn)行過(guò)研究,獲得了許多有重要理論價(jià)值的研究成果,參閱文獻(xiàn)[2-8].例如,Farris Mark和Mitchell Patrick在文獻(xiàn)[2]中研究了S(n)的有界性問(wèn)題,得出了S(pα)的上下界估計(jì),即就是證明了：

在文獻(xiàn)[6]中,張利霞,趙西卿等人研究了數(shù)論函數(shù)S(SL(n))=φ(n)的可解性問(wèn)題,也就是證明了下面的定理,即方程

有且僅有n=1,8,9,12,18的解.其中SL(n)為F.Smarandache LCM函數(shù),即

在文獻(xiàn)[7]中,高麗和馬婭鋒主要研究了包含Smarandache冪函數(shù)的數(shù)論函數(shù)S(SP(n))的均值問(wèn)題,也就是證明了下面的兩個(gè)定理,即

對(duì)任意的實(shí)數(shù)x＞1,有

對(duì)任意的實(shí)數(shù)x＞1,有

其中A為簡(jiǎn)單數(shù)集合,

D1,D2為可計(jì)算常數(shù).

在文獻(xiàn)[8]中研究了S(n)的均值分布問(wèn)題,獲得了一個(gè)更深刻的結(jié)果,即就是證明了下面的定理：

設(shè)P(n)表示n的最大素因子,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x＞1,有漸近公式：

其中：ζ(s)為Riemann zeta函數(shù).

容易驗(yàn)證這個(gè)函數(shù)是F.Smarandache可乘函數(shù).關(guān)于它的初等性質(zhì),不少學(xué)者已進(jìn)行過(guò)研究,參見文獻(xiàn)[8].文獻(xiàn)[9]中還證明了下面的結(jié)論：設(shè)k為任意正整數(shù),那么對(duì)任意實(shí)數(shù)x＞1,有漸近公式：

其中

p(n)表示n的最小素因子,ci(i=2,3,...,k)為可計(jì)算的常數(shù)且

另外,對(duì)任意給定的正整數(shù)k,令ak(n)是n的k次根整數(shù)部分[1],即就是

其中[x]表示小于或等于x的最大整數(shù).例如,

在正整數(shù)的k次根取整序列ak(n)上的分布性質(zhì).并給出一個(gè)較強(qiáng)的漸近公式.具體地說(shuō)也就是證明下面：

定理 1.1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x＞1,有漸近公式

2 引理

為了完成定理的證明,需要如下幾個(gè)簡(jiǎn)單的引理.首先令

是n的標(biāo)準(zhǔn)分解式,P表示n的最大素因子,即就是

那么有

引理 2.1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x＞1,有漸近公式

證明首先定義如下兩個(gè)集合A和B：

應(yīng)用Euler求和公式[10],可得

類似地,對(duì)集合 B,由Abel恒等式[10],有

其中,π(x)表示所有不超過(guò)x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)，注意到

根據(jù)Abel恒等式,可得

又因?yàn)?/p>

綜合(2),(3),(4)和(5),即可得到引理2.1的結(jié)果.

引理 2.2對(duì)任意正整數(shù)k和非負(fù)整數(shù)i,有漸近公式

證明結(jié)合引理2.1,并應(yīng)用Abel恒等式,

引理2.2得證.

3 定理的證明

定理的證明.

證明首先,對(duì)任意實(shí)數(shù)x≥1,設(shè)M 為一個(gè)給定的正整數(shù)使得

于是完成了定理的證明.

致謝：衷心地感謝馬茂元教授和劉二女教授的支持與鼓勵(lì)！

參考文獻(xiàn)

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[9]沈虹.一個(gè)新的數(shù)論函數(shù)及其它的值分布[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2007,23(2)：235-238.

[10]潘承洞,潘承彪.解析數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社,2003：22-25.

On the mean value of Smarandache function

Ma Yunzhen,Li Jianghua
(College of Science,Xi′an University of Technology,Xi′an 710058,China)

The main purpose of this paper is using the elementary method and analytic method to study the mean value of the F.Smarandache multiplicative function,and give an asymptotic formula of F.Smarandache in positive integer′s k-th root.

F.Smarandache multiplicative function,mean value,asymptotic formula

O156.4

A

1008-5513(2017)04-0424-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.04.009

2017-04-17.

陜西省自然科學(xué)基金(2017JQ1020).

馬云真(1989-),碩士生,研究方向：解析數(shù)論及其應(yīng)用.

李江華,博士,副教授,研究方向：解析數(shù)論及其應(yīng)用.

2010 MSC：11B83