關(guān)于具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的芬斯勒流形的一個(gè)剛性定理

程新躍，劉樹(shù)華，殷 麗，李婷婷

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054)

關(guān)于具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的芬斯勒流形的一個(gè)剛性定理

程新躍，劉樹(shù)華，殷 麗，李婷婷

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054)

研究了閉的具有相對(duì)迷向Landsberg曲率(即J+c(x)FI=0)的芬斯勒流形，并證明了若c(x)在流形上恒為正或恒為負(fù)，則該流形一定是黎曼流形。

芬斯勒流形；黎曼流形；Landsberg曲率；平均Landsberg曲率

給定光滑流形M上的一個(gè)芬斯勒度量F,其基本張量g的定義為

其中

(1)

黎曼流形是特殊的芬斯勒流形。 對(duì)于芬斯勒流形(M,F),由基本張量的定義可知,若F所對(duì)應(yīng)的基本張量g與y無(wú)關(guān),則是黎曼流形。 為了區(qū)分芬斯勒度量中的黎曼度量，E.Cartan引入了Cartan張量C,

(2)

其中

(3)

Cartan張量C的平均值I稱(chēng)為平均Cartan張量，其定義為

(4)

其中g(shù)ij=(gij)-1。

由式(2)、(3)可知：C=0等價(jià)于gij與y無(wú)關(guān),即F為黎曼度量。進(jìn)一步地,Deicke于1953年證明了如下定理：

Deicke定理[1]一個(gè)正定的芬斯勒度量是黎曼度量的充分必要條件是其(平均)Cartan張量等于零。

將平均Cartan張量I沿著測(cè)地線的變化率稱(chēng)為平均Landsberg曲率,記為J,其定義為

(5)

其中“|”表示在陳聯(lián)絡(luò)下關(guān)于F的水平協(xié)變導(dǎo)數(shù)。

若(M,F)滿(mǎn)足條件J=0,則稱(chēng)(M,F)為弱Landsberg流形。更一般地,若存在流形M上的光滑函數(shù)c(x)使得J+c(x)FI=0成立,則稱(chēng)(M,F)為具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的芬斯勒流形。 可以發(fā)現(xiàn)：許多重要的芬斯勒度量都具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率[2-4]。

在芬斯勒幾何中,一個(gè)非常自然而重要的問(wèn)題是：在怎樣的幾何條件下,芬斯勒流形一定是黎曼流形？

芬斯勒幾何學(xué)家們就這一問(wèn)題展開(kāi)了大量的研究,并取得了較多成果。在負(fù)常數(shù)旗曲率的情形下,Akbar-Zadeh于1988年證明了任一閉的具有負(fù)常數(shù)旗曲率的芬斯勒流形一定是黎曼流形[5]。 在正常旗曲率的情形下,Kim和Yim于2003年證明了任一具有正常數(shù)旗曲率且S-曲率為0的可反芬斯勒流形一定是黎曼流形[6]。在非零常數(shù)旗曲率的情形下,沈忠民教授于2001年證明了任一具有非零常數(shù)旗曲率的弱Landsberg流形一定是黎曼流形[7]。在負(fù)旗曲率的情形下,沈忠民教授于2005年證明了任一閉的具有負(fù)旗曲率且具有常數(shù)S-曲率的芬斯勒流形一定是黎曼流形[8,9]。特別地,吳炳燁在2007年證明了任一閉的具有負(fù)旗曲率的弱Landsberg流形一定是黎曼流形[10]。

聯(lián)系芬斯勒流形具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的定義,對(duì)比文獻(xiàn)[10]中的結(jié)論,自然地產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題：在什么樣的條件下,具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的芬斯勒流形一定是黎曼流形？

本文針對(duì)這一問(wèn)題展開(kāi)了研究,并得到了如下定理：

定理1 設(shè)(M,F)是閉的具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的芬斯勒流形,即J+c(x)FI=0。若其中的c(x)在流形M上恒為正或恒為負(fù),則(M,F)一定是黎曼流形。

1 預(yù)備知識(shí)

令(M,F)是一個(gè)n維芬斯勒流形,記

是它的帶孔切叢。自然叢投影π:TM0→M誘導(dǎo)了TM0上的向量叢π*TM(它是TM在自然的叢投影下的拉回切子叢),π*TM在一點(diǎn) (x,y)∈TM0的纖維是

2) 與度量的幾乎相容性：

(6)

這里,

(7)

對(duì)于n維芬斯勒流形(M,F),F的測(cè)地線可以由下述2階微分方程組給出：

其中

Gi稱(chēng)為F的測(cè)地系數(shù)。

可以定義TM0上的光滑函數(shù)f:TM0→R關(guān)于陳聯(lián)絡(luò)的協(xié)變微分

(8)

其中：f|i為f的水平協(xié)變導(dǎo)數(shù)；f.i稱(chēng)為f的垂直協(xié)變導(dǎo)數(shù)。

(9)

根據(jù)直接計(jì)算可知：

(10)

若流形M是閉的光滑流形,吳炳燁證明了如下的重要結(jié)論[10]：

引理1將是以下證明主要定理的一個(gè)重要工具。

2 定理的證明

在證明定理1之前,首先證明如下定理：

定理2 設(shè)F是定義在閉流形M上的芬斯勒度量。 若F具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率(即J+c(x)FI=0),且在流形M上恒有c(x)≥0(或c(x)≤0),則(M,F)一定為下列情形之一：

1) 若c(x)=0,則(M,F)是弱Landsberg流形；

2) 若c(x)≠0,則(M,F)是黎曼流形。

2F2Ii|mymIjgij

(11)

將式(5)代入式(11)可得：

(12)

根據(jù)已知條件,有J+c(x)FI=0,即Ji+c(x)FIi=0。于是,可以將式(12)改寫(xiě)為：

(13)

若c(x)=0,則由J+c(x)FI=0有J=0,此時(shí)(M,F)一定是弱Landsberg流形。

若c(x)≠0,則有‖I‖=0,故I=0,根據(jù)Deicke定理可知(M,F)一定是黎曼流形。

定理2證明完畢。

接下來(lái)證明定理1。

如前所述,吳炳燁證明了具有負(fù)旗曲率的閉的弱Landsberg流形一定是黎曼流形[10]。相比于這一結(jié)論,本文的定理1去掉了旗曲率的限制條件,并且將曲率條件“J=0”弱化為“J+c(x)FI=0”,卻仍然得到了“(M,F)一定是黎曼流形”的同樣的結(jié)果。

進(jìn)一步地,結(jié)合上述吳炳燁的結(jié)論,可以得到如下推論：

推論1 設(shè)(M,F)是閉的具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的芬斯勒流形,即J+c(x)FI=0， 若在流形M上恒有c(x)≥0(c(x)≤0),且F具有負(fù)旗曲率,則(M,F)一定是黎曼流形。

需要說(shuō)明的是：定理1中的條件“(M,F)是閉的”芬斯勒流形不能去掉,否則定理就可能不成立.舉例如下：

例1[3]令Ω是Rn中的一個(gè)有界開(kāi)集,其邊界?Ω是嚴(yán)格凸的，則在Ω上可唯一定義一個(gè)度量F,滿(mǎn)足

Fxk=FFyk

(14)

滿(mǎn)足式(14)的度量稱(chēng)為Funk度量。 易證,F具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率J±(1/2)FI=0。

若?Ω=Sn-1,容易驗(yàn)證Funk度量F為

y∈TxRn

(15)

易見(jiàn),由式(15)確定的Funk度量F定義在Rn中的一個(gè)有界開(kāi)球Ω=Bn(1)上,且具有相對(duì)迷向的平均Landsberg曲率,其中c=±(1/2)在Ω上保持定號(hào)， 顯然,此時(shí)F不是一個(gè)黎曼度量。

[1] DEICKE A.Uber die Finsler-Raume mitAi=0[J].Arch Math,1953,4:45-51.

[2] CHENG X,MO X,SHEN Z.On the flag curvature of finsler metrics of scalar curvature[J].Journal of the London Mathematical Society,2003,68(3):762-780.

[3] CHENG X,SHE N.Randers metrics with special curvature proper Zties[J].Osaka J Math,2003,40:87-101.

[4] CHENG X,SHEN Z.A class of Finsler metrics with isotropic S-curvature[J].Israel J Mathematics,2009,169(1):317-340.

[5] AKBAR-ZADEH H.Sur Les Espaces de Finsler A Courbures Sectionnelles[J].Acad Roy Belg Bull Cl Sci,1988,74(5):271-322.

[6] KIM C W,YIM J H.Finsler manifolds with positive constant flag curvature[J].Geom Dedicata,2003,98:47-56.

[7] SHEN Z.Lectures on Finsler Geometry[M].Singapore:World Sci,2001.

[8] SHEN Z.Nonpositively curved Finsler manifolds with constant S-curvature[J].Math Z,2005,249:625-639.

[9] SHEN Z.Volume comparison and its applications in Riemann-Finsler geometry[J].Advances in Mathematics,1997,128:306-328.

[10]WU B.A global rigidity theorem for weakly Landsberg manifold[J].Science in China,series A,2007,37(3):285-290.

[11]CHERN S S,SHEN Z.Riemannian-Finsler Geometry[M].Singapore:Worid Sci,2005.

(責(zé)任編輯 林 芳)

A Rigidity Theorems About Finsler Manifolds with Relatively Isotropic Mean Landsberg Curvature

CHENG Xinyue, LIU Shuhua, YIN Li, LI Tingting

(College of Science, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

In this paper, we study the closed Finsler manifold of relatively isotropic mean Landsberg curvature withJ+c(x)FI=0. We prove that ifc(x) is always negative or positive on the manifold, then the Finsler manifold must be Riemannian manifold.

Finsler manifold; Riemannian manifold; Landsberg curvature; mean Landsberg curvature

2017-01-09 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371386)

程新躍(1958—)，男，重慶人，博士，教授，主要從事微分幾何及其應(yīng)用研究,E-mail:chengxy@cqut.edu.cn。

程新躍,劉樹(shù)華,殷麗,等.關(guān)于具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的芬斯勒流形的一個(gè)剛性定理[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(8):170-173.

format：CHENG Xinyue, LIU Shuhua, YIN Li, et al.A Rigidity Theorems About Finsler Manifolds with Relatively Isotropic Mean Landsberg Curvature[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(8):170-173.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.08.028

O186.13

A

1674-8425(2017)08-0170-04