有價(jià)值的解題線索藏哪兒了?

福建省德化第一中學(xué)(362500) 吳志鵬

廣東省汕頭市澄海華僑中學(xué)(515800) 潘敬貞

線索是什么? 警察辦案就是要找案犯留在現(xiàn)場(chǎng)的蛛絲馬跡，這蛛絲馬跡就是破案線索；類比數(shù)學(xué)的解題，那么線索又是什么呢? 線索就是命題者留下的讓學(xué)生有線可尋的解題提示，當(dāng)然命題者在題目中提供的線索并不單一，時(shí)而簡(jiǎn)單時(shí)而復(fù)雜，那么怎樣的線索才是有價(jià)值的? 這就需要學(xué)生在解題時(shí)擦亮慧眼、抽絲剝繭.數(shù)學(xué)有價(jià)值的解題線索就隱藏在題目的字里行間，然而在這方寸之間較量的卻是命題者與解題者的智慧.本文就解題線索幾種常見的隱藏方式作整理，以供讀者參考.

一、結(jié)構(gòu)相近有玄機(jī)

類似的結(jié)構(gòu)，相似的“面孔”，很快就能讓我們聯(lián)想起已學(xué)過的某一定義、公式、函數(shù)等，由此我們可對(duì)題目所給的式子進(jìn)行改造，轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)進(jìn)行求解.“類似的結(jié)構(gòu)”在解題中為我們提供了有價(jià)值線索的來源.

例1函數(shù)的圖像如下圖所示，下面數(shù)值排列正確的是( )

A.0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)-f(2)

B.0＜f′(3)＜f(3)-f(2)＜f′(2)

C.0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)-f(2)

D.0＜f(3)-f(2)＜f′(2)＜f′(3)

圖1

分析初見本題，會(huì)讓人有一種“摸不著頭腦”的感覺，很難將f′(2)、f′(3)與f(3)-f(2)聯(lián)系起來.但如果從導(dǎo)數(shù)的定義入手我們就可以見到熟悉的結(jié)構(gòu)并獲得解題線索.

例2已知?jiǎng)ta、b、c的大小關(guān)系是____.

分析由a、b、c的結(jié)構(gòu)特征可以聯(lián)想到函數(shù)(x＞0)，此時(shí)可以通過求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷其單調(diào)性，再利用單調(diào)性進(jìn)行大小比較就可以了.

二、縱橫聯(lián)系隱玄機(jī)

解題時(shí)我們常常通過分析問題所包含的知識(shí)，通過知識(shí)間的縱橫聯(lián)系：如條件間橫向的知識(shí)聯(lián)系，條件與結(jié)論間縱向的知識(shí)聯(lián)系等來尋找有價(jià)值的解題線索，使得解題思路“豁然開朗”.

1.條件與條件之間的知識(shí)聯(lián)系

例3在△ABC中，∠B=60°，AC=，則AB+2BC的最大值為____.

分析從題目的條件中我們發(fā)現(xiàn)了邊角的關(guān)系，且為對(duì)邊、對(duì)角的關(guān)系，利用這個(gè)橫向的知識(shí)聯(lián)系，我們找到了使用正弦定理來解決問題的有效線索.在△ABC中，即所以AB=2 sinC，BC=2 sinA，所以AB+2BC=2 sinC+4 sinA=2 sin(120° -A)+4 sinA=cosA+5 sinA=所以AB+2BC的最大值為

2.條件與結(jié)論之間的知識(shí)聯(lián)系

例4設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若則=____.

分析本題所給的條件與an相關(guān)，而所求結(jié)論則與Sn相關(guān)，分析條件與結(jié)論之間縱向的知識(shí)聯(lián)系，我們找到了用an與Sn的聯(lián)系來解決問題的合理線索.

解

三、數(shù)字設(shè)計(jì)現(xiàn)玄機(jī)

數(shù)字是構(gòu)成數(shù)學(xué)問題的重要元素，命題者往往會(huì)利用特殊的數(shù)字來設(shè)置問題，所以我們要細(xì)心的觀察、大膽猜想，尋找數(shù)字之間可能出現(xiàn)的聯(lián)系，以期找到有價(jià)值的解題線索.這些充滿智慧的數(shù)字給我們?cè)O(shè)置了一扇扇的“窗”，打開之后便是一道道美麗的“風(fēng)景”.

例5已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1，且an+1=(n=1,2,3,···)，求a2018的值.

分析本題已知的是數(shù)列中a1的值，要求的是a2018的值，下標(biāo)數(shù)字的跨度比較大，如何實(shí)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)字的對(duì)接，選擇采用求數(shù)列的通項(xiàng)的方法，或是采用歸納推理，或是通過求數(shù)列的周期來實(shí)現(xiàn)對(duì)接都有可能.數(shù)字的變化情況就為我們的解題尋找到了三條常見而又有用的線索.

解法一當(dāng)n=1 時(shí)，a1=1； 當(dāng)n=2 時(shí)，當(dāng)n=3 時(shí)，當(dāng)n=4時(shí)，由此我們可歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為所以

法二由得所以是等差數(shù)列.可求得所以a2018=

例6已知f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，若求f(2015)的值.

分析同上述思路一樣為了實(shí)現(xiàn)兩個(gè)跨度較大數(shù)字的對(duì)接，我們可求函數(shù)的周期，再利用周期求函數(shù)值.

解由條件可知所以f(x)=f(x-8)，所以函數(shù)的周期為8.所以f(2015)=f(8×251+7)=f(7)=f(-1)=

例7求證：

分析把不等式兩邊的數(shù)字進(jìn)行對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)字的設(shè)計(jì)上存在一定的玄機(jī)：左邊各式的分母相同，分子是從1 到2017 的一個(gè)等差數(shù)列.觀察這個(gè)式子我們可以知道：1+2+3+···+2017==1009×2017，所以所以對(duì)比不等式兩邊的項(xiàng)數(shù)可猜想：由上述結(jié)構(gòu)我們可證：x ∈(0,1)，sinx＜x即可.

四、項(xiàng)數(shù)比較含玄機(jī)

有時(shí)式子的項(xiàng)數(shù)也隱藏著某些解題的信息，通過項(xiàng)數(shù)的比較，感知式子結(jié)構(gòu)的變化，以便我們能夠較好的選擇解決問題的思路、方法.

例8定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意x,y ∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=當(dāng)x ∈(-1,0)時(shí)，有f(x)＞0.證明：

分析本題易證函數(shù)f(x)是定義域內(nèi)的奇函數(shù)且單調(diào)遞減，從本題要證明的不等式左右兩邊的項(xiàng)數(shù)可知：左邊有n項(xiàng)，而右邊只有一項(xiàng)，可猜想左邊的式子能夠通過求和或是裂項(xiàng)相消等辦法將項(xiàng)數(shù)合并，顯然，通過求和的方法解決難度較大，那么只能采用裂項(xiàng)相消求和再證明，項(xiàng)數(shù)的比較為本問題的解決指明了方向.依所給式子裂項(xiàng)如下：再求和(過程從略).

例9a,b,c為不全相等的正數(shù)，且abc=1，求證：

分析將abc=1 代入不等式的左邊可得：bc+ac+ab＞觀察式子兩邊的項(xiàng)數(shù)知：左右兩邊都是三項(xiàng)，若能證明不等式左邊的每一項(xiàng)均大于右邊相對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，問題就能迎刃而解，可結(jié)論是否定的.回顧基本不等式a,b ∈R+，左邊的項(xiàng)數(shù)是右邊的兩倍，如此只要將不等式左邊的項(xiàng)數(shù)變?yōu)橛疫叺膬杀?，就可通過基本不等式加以證明.

證明因?yàn)閍bc=1，要證：只需證：即證：2(bc+ac+ab)＞即證：(ac+ab)+(bc+ab)+(bc+ac)＞因?yàn)閍、b、c為不全相等的正數(shù)，所以且上述三式不能同時(shí)取得等號(hào).所以成立.所以原命題成立.

五、形似解法有玄機(jī)

數(shù)學(xué)中有許多“形似”的問題，對(duì)于這些結(jié)構(gòu)相似，又存在明顯差異的問題，我們有時(shí)也可以嘗試用解決“原型”的方法去求解與其“形似”的問題，也許能夠收到良好的解題效果.

例10求函數(shù)的值域?

分析型如函數(shù)值域的求法，我們比較熟悉，可用分離常數(shù)的法求解，其值域?yàn)閧那么題中所給的式子與之“形似”，但又有差異，可否遷移其解題方案或結(jié)論呢? 結(jié)果是：解題方案可以遷移，結(jié)論不可“復(fù)制”.

解因?yàn)閤2+1 ≥1，所以所以所以函數(shù)的值域?yàn)閧y|-1＜y≤1}.

例11(2010 全國(guó)卷I 第10 題)已知函數(shù)f(x)=lg|x|，若0＜a＜b且f(a)=f(b)，則a+2b的取值范圍是( )

分析由f(a)=f(b)得lg|a|=lg|b|，又因?yàn)?＜a＜b，所以所以0＜a＜1＜b且ab=1.要求的是a+2b的取值范圍.根據(jù)題目的式子的結(jié)構(gòu)特征我們可類比線性規(guī)劃：若x、y滿足求z=x+2y的取值范圍.由于類比后我們觀察得知，其可行域并不是一個(gè)區(qū)域而是曲線xy=1(0＜x＜1)的一段，對(duì)于這樣的一種可行域，嘗試采用線性規(guī)劃的方法進(jìn)行求解也是可行的.

解分析線性目標(biāo)函數(shù)可得而此時(shí)即在(0,1)單調(diào)遞減，所以過點(diǎn)(1,1)時(shí)z的值最小為3，但等號(hào)取不到.所以a+2b的取值范圍為(3,+∞)，選擇C.

結(jié)語(yǔ)分析問題的目的是為尋找有價(jià)值的解題線索(解題思路的突破口)，有價(jià)值的解題線索是順利解決問題的前提，這個(gè)過程充滿了與命題者智慧的較量.平時(shí)我們只有勤于思考、勤于實(shí)踐、善于觀察總結(jié)，方可從試題相近的結(jié)構(gòu)、題目涉及知識(shí)的縱橫聯(lián)系、題干中數(shù)字的設(shè)計(jì)、式子的項(xiàng)數(shù)以及形似的解法等特征中快速找到有價(jià)值的解題線索，獲得解題思路.