非線性數(shù)學(xué)期望在金融風(fēng)險(xiǎn)中的應(yīng)用分析

廖赫精

【摘 要】隨著世界金融經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，金融經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域出現(xiàn)了許多不確定的現(xiàn)象，金融危機(jī)也時(shí)常發(fā)生，這使得人們?cè)絹碓街匾晫?duì)金融經(jīng)濟(jì)的研究，如何規(guī)避金融風(fēng)險(xiǎn)也成為了一個(gè)熱點(diǎn)問題。非線性數(shù)學(xué)期望在這方面扮演者重要的角色，它可以幫助我們度量金融風(fēng)險(xiǎn)，從而推動(dòng)各種措施的實(shí)行，以達(dá)到規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的目的。本文主要分析了非線性數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)以及其在規(guī)避金融風(fēng)險(xiǎn)方面的具體作用。

【關(guān)鍵詞】非線性；數(shù)學(xué)期望；金融風(fēng)險(xiǎn)

自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中存在著許多不確定的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象不能夠用線性數(shù)學(xué)來描述。因此，非線性數(shù)學(xué)就被研究者們用來描述這些現(xiàn)象。非線性數(shù)學(xué)期望應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域中，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域也被廣泛應(yīng)用，金融經(jīng)濟(jì)中如何度量風(fēng)險(xiǎn)就主要應(yīng)用的是非線性數(shù)學(xué)期望。金融風(fēng)險(xiǎn)度量就是運(yùn)用一定的方法對(duì)各種金融風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行定量分析和評(píng)估。非線性數(shù)學(xué)期望，特別是非線性數(shù)學(xué)期望中的g期望、F期望對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)度量有很大的幫助。非線性數(shù)學(xué)期望是以倒向微分方程為基礎(chǔ)的，具有一般意義下的動(dòng)態(tài)相容性。目前，關(guān)于倒向微分方程，研究者們已經(jīng)研究出了許多重要成果，這些成果豐富了非線性數(shù)學(xué)期望的理論，也為金融風(fēng)險(xiǎn)的分析奠定了理論基礎(chǔ)。一般來說，非線性數(shù)學(xué)期望是一個(gè)保單調(diào)性和保常性的算子，它包含有g(shù)期望、F期望、Choquet期望、BSDE理論等，本文主要分析g-期望和F-期望的性質(zhì)及其在金融風(fēng)險(xiǎn)中的應(yīng)用。

一、g-期望的性質(zhì)及其在金融風(fēng)險(xiǎn)分析中的應(yīng)用

g-期望是以倒向微分方程為基礎(chǔ)的，倒向微分方程主要用于解決一些不確定現(xiàn)象的問題，即如何在不確定的環(huán)境里達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)，以及為達(dá)到此目標(biāo)需求具備什么條件、采取什么措施。獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)Black-Schoies公式就是倒向微分方程的解，這個(gè)公式在計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)金融資產(chǎn)價(jià)格方面被廣泛應(yīng)用。我國數(shù)學(xué)家彭實(shí)戈所定義的g-期望繼承了許多經(jīng)典數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，并且還引入了條件g-期望和g-鞅的概念。自從g-期望的概念提出以來，中外許多學(xué)者都對(duì)此進(jìn)行了研究，從而為非線性隨機(jī)分析奠定了基礎(chǔ)，也為經(jīng)濟(jì)方面的金融風(fēng)險(xiǎn)分析打下了理論根基。

g-期望具有很多性質(zhì)，g-期望的Jensen不等式是關(guān)于一元函數(shù)成立的充分必要條件，g-期望具有共單調(diào)可加性以及次可加性時(shí)，條件g-期望也具有共單調(diào)可加性，g-期望還可以表示成Choquet積分的形式，g-期望還可以用來度量不定風(fēng)險(xiǎn)。

我們可以通過定義g函數(shù)來定義g-期望，彭實(shí)戈在關(guān)于g-期望的定義方面保留了經(jīng)典數(shù)學(xué)期望的許多性質(zhì)，g-期望一般來說是非線性的，但也滿足經(jīng)典非線性期望的部分性質(zhì)，在此，我們不做具體說明。

二、F-期望的性質(zhì)及其在金融風(fēng)險(xiǎn)分析中的應(yīng)用

F-期望，是通過具有無窮小生成元 的全非線性拋物型偏微分方程生成的馬爾科夫過程引入的。在一般的假設(shè)條件下，F(xiàn)-期望的一些基本性質(zhì)是由Choquet等引入F-期望和條件F-期望得到的。F-期望滿足Jensen不等式，并且也滿足超齊次性以及常數(shù)可加性。同g-期望一樣，當(dāng)F-期望具有共單調(diào)可加性以及次可加性時(shí)，條件F-期望也具有共單調(diào)可加性。

根據(jù)相關(guān)理論可知，隨機(jī)占優(yōu)單調(diào)性、次可加性、正齊次性、連續(xù)性等是風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)所滿足的原則。F-期望在金融風(fēng)險(xiǎn)分析中可以應(yīng)用于靜態(tài)情形下風(fēng)險(xiǎn)度量和動(dòng)態(tài)情形下的風(fēng)險(xiǎn)度量。

我們可以通過具體實(shí)例來分析。投保人想運(yùn)用合理的投保方式來降低風(fēng)險(xiǎn)。投保后，自己的大部分風(fēng)險(xiǎn)就轉(zhuǎn)嫁給了保險(xiǎn)公司。那么對(duì)保險(xiǎn)公司和投保人來說，怎樣的保費(fèi)額度是合理的？保險(xiǎn)公司保證穩(wěn)健發(fā)展所需收取的保費(fèi)的最低額度是多少？投保人愿意為轉(zhuǎn)嫁風(fēng)險(xiǎn)而支付的最大成本是多少？

對(duì)投保人來說，他有0.01的概率可能損失5000。他選擇購買一份保費(fèi)為100的保險(xiǎn)。如果風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生，那么保險(xiǎn)公司會(huì)足額的賠償投保人所承受的損失。即如果損失的情況發(fā)生了，投保人會(huì)獲得保險(xiǎn)公司5000元的賠償。那么，投保人在投保后和投保前是不同的：

情況1：損失保費(fèi)額100的概率是1；

情況2：以0.01的概率損失5000，以0.99的概率獲得；

對(duì)于保險(xiǎn)公司來說，接受了投保人的保險(xiǎn)后是：

情況3：損失4900的概率是0.01，獲得100的概率是0.99；

通過計(jì)算，F(xiàn)（g1）=970.4，F(xiàn)（g2）=100，F(xiàn)（g3）==941.7。通過計(jì)算可知，投保人在保險(xiǎn)前后所面臨的風(fēng)險(xiǎn)得到了顯著的控制。通過F（g1）可知，雖然投保人面臨的可能損失高達(dá)5000，但是他所面臨的風(fēng)險(xiǎn)的不足最高損失的1/5。如果我們預(yù)期g1的狀況會(huì)發(fā)生，我們需要預(yù)留的最低資本為970.4元。當(dāng)損失發(fā)生時(shí)預(yù)留資本并不能彌補(bǔ)所有的風(fēng)險(xiǎn)暴露，也就是說F不能成為經(jīng)濟(jì)資本的一個(gè)衡量值。

通過F（g2），當(dāng)保險(xiǎn)公司全額賠付時(shí)，投保人在投保后所面臨的風(fēng)險(xiǎn)等于保費(fèi)。如果保險(xiǎn)公司沒有全額賠付，而是賠付損失的大部分。那么，投保人在投保后所面臨的風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)該略大于保費(fèi)。

情況4：損失100的概率是0.99，損失600的概率是0.01；g4說明保險(xiǎn)公司在損失發(fā)生時(shí)只賠付損失額的90%的損失額，即4500元。F（g4）=141，風(fēng)險(xiǎn)增加了，但增加的絕對(duì)數(shù)額并不大。對(duì)于投保人來說，他愿意承擔(dān)的最高的保險(xiǎn)額度基本上就是由他的風(fēng)險(xiǎn)承受能力所決定。并且，保費(fèi)額度略低于他所愿意承擔(dān)的最大風(fēng)險(xiǎn)值。

F（g1）和F（g3），兩者的數(shù)額差異不大。通過保險(xiǎn)，投保人將風(fēng)險(xiǎn)幾乎完全轉(zhuǎn)嫁給了保險(xiǎn)公司。

三、結(jié)束語

隨著金融危機(jī)的發(fā)生發(fā)展，人們?cè)絹碓秸J(rèn)識(shí)到風(fēng)險(xiǎn)度量和控制的重要性，它已經(jīng)是也將永遠(yuǎn)是金融數(shù)學(xué)研究的主題。非線性數(shù)學(xué)期望能夠幫助解決不確定的現(xiàn)象和問題，能夠幫助我們有效的規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，保持金融經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定發(fā)展，在金融風(fēng)險(xiǎn)的度量與控制中被廣泛應(yīng)用。本文分析了g期望和F-期望的性質(zhì)以及其在金融風(fēng)險(xiǎn)中的動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)度量和靜態(tài)風(fēng)險(xiǎn)度量，希望能夠?yàn)槲覈鹑陲L(fēng)險(xiǎn)的度量與控制提供一些指導(dǎo)，更好的促進(jìn)我國金融經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

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