基于RASV模型和HMC算法的滬深300指數(shù)分析

李 荃，唐亞勇

(四川大學，四川 成都 610065)

基于RASV模型和HMC算法的滬深300指數(shù)分析

李 荃，唐亞勇

(四川大學，四川 成都 610065)

嘗試使用Takahashietal．在2009年提出的RASV模型[1]，對滬深300指數(shù)的波動率進行建模分析。在確定模型參數(shù)時，使用貝葉斯統(tǒng)計推斷，并創(chuàng)新性地使用結(jié)合了Gibbs抽樣思想的HMC算法來模擬生成參數(shù)樣本。使用的數(shù)據(jù)是2016年全年的滬深300指數(shù)一分鐘高頻數(shù)據(jù)，并對得到的模型參數(shù)進行了經(jīng)濟學意義分析。

RASV模型；貝葉斯統(tǒng)計推斷；Gibbs抽樣思想；HMC算法；滬深300指數(shù)波動率分析

一、引言

長期以來，對于波動率的估計一直都是眾多研究者所密切關(guān)注的問題。由于波動性是金融市場最主要的特征之一，因此對于波動率動態(tài)的建模與分析等一系列工作變得日益重要，是進行資產(chǎn)定價、風險管理等金融行為的核心工作。

對于波動率的研究可以追溯到三十多年前，在那些年代，對于波動率的研究主要基于日收益率，比如GARCH模型或者SV模型。近年來，由于計算機技術(shù)的發(fā)展，日內(nèi)高頻收益率數(shù)據(jù)的獲取變得很容易，因此研究者的目光逐漸轉(zhuǎn)向如何利用日內(nèi)高頻收益率來對波動率進行估計。已實現(xiàn)波動率(Realized Volatility)就是其中一類重要研究方法。然而，由于非交易時間、微觀市場噪聲等因素的存在，已實現(xiàn)波動率對于真實波動率的估計仍存在一定的偏差，如何糾正這種偏差成為國內(nèi)外研究者關(guān)注的熱點問題。Takahashi et al．提出的基于SV模型的RASV模型為解決該問題提供了一種思路，該模型將日收益率和已實現(xiàn)波動率統(tǒng)一在一個模型中進行估計，嘗試使用日收益率中蘊含的信息來糾正已實現(xiàn)波動率對真實波動率估計中的偏差。

如何對于SV類模型的參數(shù)進行有效的估計一直是一個難點問題，直到隨著MCMC方法的提出和不斷發(fā)展，Jacquier et al．(1994)將基于現(xiàn)代貝葉斯分析方法的MCMC方法引入了SV模型的參數(shù)估計中，從此MCMC方法成為研究者對于SV類模型的參數(shù)估計的主要方法[2]。此后，針對不同情況的參數(shù)估計，統(tǒng)計學家們開發(fā)了多類MCMC算法。其中Neal(2010)提出的HMC算法[3]利用了局部的幾何結(jié)構(gòu)采更快的生成建議值，對于高維分布的模擬效率有顯著提高。

考慮到RASV模型中形式復雜的待估計參數(shù)，本文嘗試在MH框架下結(jié)合Gibbs抽樣和HMC算法，得到了適用于模擬復雜高維分布的Gibbs-HMC算法。利用Gibbs-HMC算法，對RASV模型的參數(shù)進行了模擬抽樣。模擬次數(shù)為50000次，去掉10000次burn-in后，得到了40000個樣本。本文將模擬抽樣得到的樣本的平均值作為參數(shù)估計值，并對參數(shù)估計結(jié)果做出了分析。分析結(jié)果表明，RASV模型可以比較準確的描述中國股市的統(tǒng)計特征。

二、RASV模型

Takahashi et al．于2009年提出了RASV模型，其核心思想是同時利用包含日內(nèi)高頻收益率數(shù)據(jù)信息的已實現(xiàn)波動率和日收益率數(shù)據(jù)來建立模型。利用日收益率中受微觀市場噪音影響較小的真實波動率的潛在信息，校正己實現(xiàn)波動率的偏差，使得該模型對真實波動率的估計準確程度大大上升。同時，由于日收益率和已實現(xiàn)波動率在同一模型中的相互制約，使得研究者在使用該模型時無需額外地去計算最佳抽樣頻率。此外，該模型由于引進了日收益率的參數(shù)模型，最終除了得到一個真實波動率的估計之外，還可以得到日收益率的一個模擬分布，因此可以輕易地通過日收益率的模擬分布去計算VAR、預期短缺等常見金融風險測度量。

其統(tǒng)計結(jié)構(gòu)如下所示：

y1，t=exp(ht/2)t，

t=1，2，…，T，

y2，t=ξ+ht+ut，

t=1，2，…，T，

ht+1=μ+φ(ht-μ)+ηt，

t=1，2，…，T，

t=1，2，…，T.

其中y1，t是日收益率時間序列，y2，t則是已實現(xiàn)波動率序列。ht是潛在的真實波動率，參數(shù)μ表示其均值，可以衡量整個系統(tǒng)波動率的平均水平。參數(shù)φ則表示其一階自相關(guān)性，用以刻畫波動率的持續(xù)性效應。參數(shù)ξ是偏差校正項，用以校正已實現(xiàn)波動率對真實波動率估計的偏差。t、ut和ηt則是波動項，而參數(shù)ρ代表了y1，t與ht+1之間的波動相關(guān)性，用以刻畫市場中可能存在的非對稱效應。

三、對RASV模型的貝葉斯統(tǒng)計推斷

貝葉斯統(tǒng)計推斷是用以估計參數(shù)的常用方法。其基本思路是，假定要估計的模型參數(shù)是服從某一分布的隨機變量，首先根據(jù)經(jīng)驗或者主觀判斷給出待估計參數(shù)的一個先驗密度函數(shù)π(θ)，關(guān)于該先驗分布的信息被稱作先驗信息：然后根據(jù)已知的樣本信息給出的似然函數(shù)L(X|θ)，應用貝葉斯定理，得到待估計參數(shù)的后驗密度函數(shù)P(θ|X)，進而得到后驗分布。然后利用得到的后驗分布的統(tǒng)計性質(zhì)來估計參數(shù)。貝葉斯統(tǒng)計推斷通常結(jié)合MCMC方法使用，使用MCMC方法可以由后驗密度函數(shù)直接模擬得到一個符合后驗分布的參數(shù)樣本，然后利用模擬得到的樣本的性質(zhì)來估計模型參數(shù)。

為了貝葉斯統(tǒng)計推斷時的便利性，本文首先對RASV模型進行等價變形，主要是對真實波動率做一個中心化的處理，然后將波動項標準化。

令σ=exp(μ/2),αt=ht-μ,c=ξ+μ，則 RASV模型的等價形式為：

y1，t=σexp(αt/2)t，

t=1，2，…，T，

y2，t=c+αt+σuut，

t=1，2，…，T，

αt+1=φαt+σηηt，

t=1，2，…，T，

t=1，2，…，T.

接下來對上述形式的RASC模型進行貝葉斯統(tǒng)計推斷。

首先憑經(jīng)驗給出參數(shù)θ1=(c,σu,σ,φ,ση,ρ)的先驗分布：

由此可以得到θ1的先驗密度函數(shù)：

而α=(α1，α2，α3，…，αT)的先驗密度函數(shù)

接下來計算θ1和α的似然函數(shù)L(θ1,α|y1，y2)

由上可以計算θ1和α的后驗密度函數(shù)，本文給出的是其對數(shù)形式：lnP(θ1,α|y1,y2) =lnp(θ1,α)+lnL(θ1,α|y1,t,y2,t)

四、Gibbs-HMC算法

在t時刻，θ(t)=θ，設θ=(θd1,θd2,…θdk)，結(jié)合Gibbs抽樣的HMC算法(Gibbs-HMC)生成θ(t+1)時依次更新θd1,θd2,…θdk，同時每步更新都引入一個隨機變量p，其中更新θdi的步驟為：

·生成隨機數(shù)p～N(0,Indi)，V～π(θdi|θ-di),r=1,其中ndi是θdi的維數(shù)，且

θ-d1=(θd2,θd3,…θdk)

θ-di=(θd1,…θdi-1,θdi+1…θdk),i=2,3…k

·依據(jù)以下映射生成建議值：

Τdi:[θ，V，p，r]→[ξ，W，p′，r′]

其中由于HMC中每一步Metropolis更新包含L步廣義leapfrog迭代，設映射Τdi表示包含一步廣文leapfrog迭代的更新：

Tdi:[θ，V，p，r]→[ξ，W，p′，r′]

ξ-di=θ-di

W=θdi

r′=-r

·計算接受概率：

其中|JTdi(θdi,V)|是映射Tdi的雅可比行列式在(θdi,V)點處的取值。由于Gibbs抽樣和HMC算法中的映射都是自逆的，因此映射Tdi作為這兩者的復合映射也是自逆的，所以|JTdi(θ，V，p，r)|=1。

同時有

π(ξ,W,p′) =π(ξdi,p′|ξ-di,W)π(ξ-di,W)

=π(ξdi,p′|θ-di,θdi)π(θ-di,θdi)

=π(ξdi,p′|θ)π(θ)

=π(ξdi,p′|π(θ)

π(θ,V,p) =π(V,p|θ)π(θ)

=π(V,p)π(θ)

于是有接受概率

=min{1,exp[H(V,p)-H(ξdi,p′)]}

五、實證分析

(一)數(shù)據(jù)處理

(二)應用Gibbs-HMC算法

設θ1=(c,σu,σ,φ,ση,ρ)，為了應用Gibbs-HMC算法對θ=(θ1,α)的聯(lián)合后驗分布進行模擬抽樣，我們首先把隨機向量θ分為5部分，即θ=(α,φ,(σ,ση,ρ),σu,c)，設θ(1)=α，θ(2)=φ，θ(3)=(σ,ση,ρ)，θ(4)=σu,θ(5)=c，然后依次更新θ(1)，θ(2)，…θ(5)。

(三)參數(shù)估計結(jié)果

將處理過的滬深300指數(shù)數(shù)據(jù)代入RASV模型，然后對其參數(shù)的后驗密度函數(shù)應用Gibbs-HMC算法。對參數(shù)進行了50000次模擬，去掉10000次burn-in，每個參數(shù)均得到40000個樣本。

參數(shù)c，σu,σ,φ,ση,ρ的樣本頻數(shù)直方圖見圖(1)

圖1

取得到的參數(shù)樣本的均值作為估計值，如(表1)所示。

表1

(四)參數(shù)樣本的生成效率檢驗

首先，還是計算生成的參數(shù)樣本的自相關(guān)系數(shù)，考察其收斂性。

α，c，σu，σ，φ，ση，ρ的1000階自相關(guān)系數(shù)如下圖所示(2)：

從下圖中可以看出，生成的樣本，自相關(guān)系數(shù)下降同樣非常迅速，表明Markov鏈收斂到目標分布的收斂速度比較快。

圖2

同樣的，我們繼續(xù)計算樣本的無效因子IP值，IP取值越小樣本的有效性越強。

計算α，c，σu，σ，φ，ση，ρ的10000階無效因子IF，結(jié)果如圖(3)所示。

圖3

可以看出，φ和ση的無效因子IF值開始較高，但最終在接近10000階時都穩(wěn)定在了0附近，說明生成的樣本的有效性比較高。

(五)參數(shù)估計結(jié)果分析

參數(shù)的估計值θ′，如下表所示(表2)。

表2

由σ=exp(μ/2)，c=ξ+μ，可以反解出μ和ξ。

μ=2lnσ，

ξ=c-μ.

計算可得μ的估計值為-0.921，ξ的估計值為0.953。因此，可以得到變形前的RASV模型的參數(shù)估計值，如下表所示(表3)：

表3

其中，參數(shù)ξ的估計值反映的是滬深300指數(shù)數(shù)據(jù)中，微觀市場噪聲和非交易時間對已實現(xiàn)波動估計真實波動率時的影響。由于ξ的估計值0.953>0，說明日內(nèi)1分鐘高頻數(shù)據(jù)得到的已實現(xiàn)波動率對真實波動率來說是一個偏高估計。這表明在2016年的滬深300股票市場中，已實現(xiàn)波動率對真實波動率估計的偏差主要來源于微觀市場噪聲的影響，而非非交易時間的影響，而參數(shù)ση的估計值表明了已實現(xiàn)波動率對真實波動率估計的擾動水平，其值為0.57。

參數(shù)μ的估計值為-0.921，反映的是滬深300指數(shù)波動率的波動水平。參數(shù)φ的估計值反映的則是波動率的持續(xù)性參數(shù)，由于其估計值0.369較高，可以看出我國2016年的股市具有較強的波動持續(xù)性。參數(shù)σu的估計值表明了滬深300指數(shù)波動率的擾動水平，其值為0.894。

參數(shù)ρ的估計值則反映了y1，t與ht+1之間的相關(guān)性。其估計值-0.052<0，說明t日收益率與t+1日的波動率之間是負相關(guān)的，因此證明我國2016年股票市場上存在非對稱效應。

六、結(jié)論

本文使用了2016年1月1日至2016年12月31日的滬深300指數(shù)數(shù)據(jù)，利用RASV模型對我國股市的收益率特征進行建模模擬，其中已實現(xiàn)波動率數(shù)據(jù)使用了該時段的1分鐘高頻數(shù)據(jù)。隨后使用Gibbs-HMC算法對RASV模型的參數(shù)進行了模擬抽樣，模擬次數(shù)為50000次，去掉10000次burn-in后，得到了40000個樣本。最后，將模擬抽樣得到的樣本的平均值作為參數(shù)估計值，并對參數(shù)估計結(jié)果做出了分析。分析結(jié)果表明，RASV模型可以比較準確的描述中國股市的統(tǒng)計特征。

[1]Takahashi M，Omori Y，Watanabe T，(2009)．Estimating stochastic volatility models using daily returns and realized volatility simultaneously．Comput Stat Data Anal 53：2404-2426.

[2]Jacquier，E.，Polson，N．G.，Rossi，P．E．(1994)．Bayesianan alysis of stochastic volatility models(with discussion)．J．Business Econom．Statist．12，371-417．

[3]Neal，R．M．(2010)．MCMC using Hamiltonian dynamics．In Handbook of Markov Chain Monte Carlo(eds S．Brooks，A．Gelman，G．Jones and X．-L．Meng)．BocaRaton：Chapman and Hall-CRC Press．

2017-05-20

李荃(1993-)，男，山東濱州人，四川大學數(shù)學碩士，從事MCMC算法及其應用研究。 唐亞勇(1974-)，男，四川成都人，博士，副教授，碩士研究生導師，主要研究方向為金融數(shù)學及應用統(tǒng)計學。

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1008—3340(2017)03—0084—05