冪指函數(shù)求導(dǎo)法的探索

賀電鵬

摘 要 冪指函數(shù)是一種比較復(fù)雜的函數(shù)，傳統(tǒng)的求導(dǎo)方法雖然也能解決求導(dǎo)這一問題，但運(yùn)用起來比較繁瑣，學(xué)生難以掌握，這樣會(huì)造成學(xué)生在運(yùn)用上的錯(cuò)誤。本文在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合新的理論知識(shí)，通過對(duì)冪指函數(shù)的求導(dǎo)方法的進(jìn)一步探討，總結(jié)出了三種相對(duì)比較簡便的求導(dǎo)方法，并給出相應(yīng)的例題，同時(shí)針對(duì)同一例題，給出不同的解法，來比較不同方法解決同一問題的難易程度。最終可見，這三種方法運(yùn)用起來簡單、易懂，從而會(huì)使學(xué)生容易接受，同時(shí)也降低了老師的授課難度。

關(guān)鍵詞 冪指函數(shù) 求導(dǎo) 隱函數(shù)法 輔助函數(shù)法 多元函數(shù)求導(dǎo)法

中圖分類號(hào)：0172.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.07.019

The Explore of Power-exponential Function Derivative

HE Dianpeng

（Faculty of General Education， Zhengzhou Technology and Business University， Zhengzhou， Henan 451400）

Abstract The exponential function is a complex function， although the traditional derivation method can solve this problem by derivation， but is complicated， it is difficult to grasp， this will cause the students in the use of the error. This paper is based on the traditional method， combined with the new knowledge， through to further explore the function refers to the power， summed up the three kinds of relatively simple derivation method， and gives the corresponding examples， at the same time for the same example， give different solutions， the degree of difficulty to compare different solutions to the same a problem. Finally， it can be seen that the three methods are simple and easy to use， which will make students easy to accept and reduce the difficulty of teaching.

Keywords Power-exponential function； derivative； implicit function law； auxiliary function method； function of many variables derivation law

1 冪指函數(shù)的相關(guān)知識(shí)

形如 ①的函數(shù)稱作冪指函數(shù)，其中都是關(guān)于的函數(shù)。[6]

它是一類較為復(fù)雜的函數(shù)，從某種意義上說，式①可以看做復(fù)合函數(shù)的延伸。近年來，這類函數(shù)的求導(dǎo)問題得到了廣泛的研究，并總結(jié)出一系列的求導(dǎo)方法。比如，文獻(xiàn)[4]主要從一元冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和多元冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩方面研究了冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；文獻(xiàn)[5]主要從對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)指數(shù)恒等變形，即，和構(gòu)造輔助函數(shù)兩方面介紹了冪指函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法。冪指函數(shù)求導(dǎo)法的新探索主要是在已有冪指函數(shù)求導(dǎo)法的基礎(chǔ)上，為了解決更復(fù)雜的冪指函數(shù)求導(dǎo)問題，通過定理得形式，對(duì)冪指函數(shù)求導(dǎo)而進(jìn)行的探索。[4][5]

2 常見冪指函數(shù)求導(dǎo)法的列舉和應(yīng)用[1-4]

2.1 顯函數(shù)法

尋找冪指函數(shù)①與冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的互化是我們想要的，考慮將冪指函數(shù)化為指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的形式，然后進(jìn)行求導(dǎo)，從而解決問題。將①表示為指數(shù)函數(shù)顯然比表示為冪函數(shù)簡單。因?yàn)?，由式①及等式，指?shù)對(duì)數(shù)恒等變形可將①表示如下形式： ②

對(duì)②可利用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來求出，具體過程如下：

解對(duì)于（2）它是函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)。已知 ③

其中又是復(fù)合函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是，將其代入③，有 ④

于是

故 ⑤

2.2 隱函數(shù)法

顯函數(shù)法中主要技巧是通過對(duì)數(shù)指數(shù)恒等變形，把指數(shù)放到對(duì)數(shù)的真數(shù)上，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將真數(shù)取到前面做系數(shù)，從而使求導(dǎo)不再困難。在顯函數(shù)法中先取對(duì)數(shù)得

⑥

此時(shí)可利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出 同⑤。

2.3 常見冪指函數(shù)求導(dǎo)法在實(shí)際問題中的應(yīng)用

例1 計(jì)算冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

解（顯函數(shù)法）利用對(duì)數(shù)恒等式將變形為函數(shù)，然后再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算導(dǎo)數(shù)，得：

例2計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

解（隱函數(shù)法）兩邊取對(duì)數(shù)，，隱函數(shù)求導(dǎo)法，解得

以上兩種方法是傳統(tǒng)教材中講授的方法，接下來，以定理的形式給書冪指函數(shù)求導(dǎo)方法的新探索，并附以每個(gè)定理的證明及應(yīng)用，具體內(nèi)容見下面一部分。

3 冪指函數(shù)求導(dǎo)方法的新探索

3.1 主要定理及證明[2][3]

定理1[7] 冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之和：一個(gè)是把底數(shù)看作常數(shù)（指數(shù)看作中間變量）的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：另一個(gè)是把指數(shù)看作常數(shù)（底數(shù)看作中間變量）的冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。即

。

定理2設(shè)冪指函數(shù)，且均可導(dǎo)，則有

證明令，，則，當(dāng)取得增量時(shí)，也相應(yīng)地得到增量。此時(shí)，有

上式中，當(dāng)時(shí)，，這樣有

所以

推論1

（1） 指數(shù)函數(shù)是常數(shù)）與冪函數(shù) （是常數(shù)）均可認(rèn)為是冪指函數(shù)的特殊情況，定理2顯然成立。

（2）函數(shù)，、 可取基本初等函數(shù)也可以是六類基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算而得到的函數(shù)，還可以是函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。

（3）對(duì)于函數(shù)，由（2）和初等函數(shù)的定義[1]可以得到，當(dāng)、 都是初等函數(shù)時(shí)，定理2仍然成立。

定理3 設(shè)多元冪指函數(shù)

且均可導(dǎo)，則有

其中時(shí)，；時(shí)，

定理4 設(shè)階冪指函數(shù)

且

且均可導(dǎo)，則有

3.2 應(yīng)用舉例

有了3.1關(guān)于冪指函數(shù)的主要定理和結(jié)論，應(yīng)用相關(guān)定理可以很方便地解決冪指函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解問題，具體舉例如下。

例3 已知函數(shù)，求。

解 利用定理1有

例4 已知函數(shù) ，求。

解法一 利用定理1有

解法二 令，其中。

利用定理2有

例5已知，求。

解 令，其中，

利用定理3有

例6已知，求。

解 令 ，其中。

利用定理4有

在求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，還是應(yīng)該遵循由淺入深，由簡及難的原則。

觀察冪指函數(shù)導(dǎo)數(shù)的形式，我們提出了冪指函數(shù)的一種新的求導(dǎo)方法——輔助函數(shù)法[5]，這種方法根據(jù)冪指函數(shù)的形式特征，充分利用了冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，具體步驟如下：

（1）對(duì)冪指函數(shù)取輔助函數(shù)為常數(shù)；

（2）求對(duì)的導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果等于對(duì)的導(dǎo)數(shù)，

（3）把上式中的換成，換成得到

。

這種方法所用知識(shí)點(diǎn)主要涉及一般的初等函數(shù)求導(dǎo)法，學(xué)生此部分掌握熟練，易于上手，可以開闊學(xué)生思路。下面，舉例說明：

例7 已知 ，求。

解法一 上式兩邊取自然對(duì)數(shù)1n =cos 1n sin ，兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，解得 ，

。

解法二 對(duì)冪指函數(shù)取輔助函數(shù)

，求對(duì)的導(dǎo)數(shù)：

。把上式中的換成sin ，換成cos（）則有。

觀察上題的兩種解法，不難發(fā)現(xiàn)，第二種解法算起來簡便，不易出錯(cuò)，但這樣做有沒有道理呢？下面我們就一般情況給出證明。

命題1 如果函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)均可導(dǎo)且，則冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把它看作冪函數(shù)求得的導(dǎo)數(shù)與把它看做指數(shù)函數(shù)求得的導(dǎo)數(shù)的和。

證 由導(dǎo)數(shù)的定義，有

其中：

，

。 即為把冪指函數(shù)看作冪函數(shù)時(shí)求得的導(dǎo)數(shù)。

下面證明為把它看作指數(shù)函數(shù)時(shí)求得的導(dǎo)數(shù)，令，則有

由于

因此，命題得證。

4 小結(jié)

對(duì)于一般的冪指函數(shù)，我們采用以上幾種方法，算起來簡單易行，特別是公式法，直接套用公式，可以使思路變得簡單，有助于學(xué)生掌握.而通過其它幾種方法，如輔助函數(shù)法，在計(jì)算比較復(fù)雜的冪指函數(shù)時(shí)，可以使計(jì)算變得更加簡單，避免了學(xué)生在計(jì)算中的錯(cuò)誤，提高了學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確率，使教師在教學(xué)中也得以簡單易行。我們只有在以后的工作和學(xué)習(xí)中，善于利用自己已有的知識(shí)，并不斷探索，以求更新的方法，來解決冪指函數(shù)的求導(dǎo)問題，使冪指函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法更加簡單化。

參考文獻(xiàn)

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