格林公式的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

李慶賓　孟曉玲

摘 要 格林公式是多元函數(shù)積分學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，其定理較為抽象，應(yīng)用又非常廣泛，學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)總是不得其法。文章嘗試采用探索式的教學(xué)方法，在教師的指導(dǎo)下，以學(xué)生為主體，引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)地學(xué)習(xí)、主動(dòng)地探究，著力培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的興趣和能力，有利于創(chuàng)新思維與創(chuàng)新能力的形成與發(fā)展。

關(guān)鍵詞 格林公式 探究式教學(xué) 認(rèn)知規(guī)律

0引言

格林公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的公式，它建立了二重積分與平面曲線積分之間的密切聯(lián)系，在多元積分學(xué)教學(xué)內(nèi)容體系中處于承上啟下、承前啟后的地位，同時(shí)，格林公式在數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)中都有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。

筆者通過(guò)多方面調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，在該課程的教學(xué)過(guò)程中，常常存在定理的內(nèi)容太抽象、證明過(guò)程理論性較強(qiáng)、定理的條件不好理解等問(wèn)題.基于這些問(wèn)題，為使教學(xué)效果更加突出，本文嘗試在格林公式的教學(xué)中，以啟發(fā)學(xué)生的思維為核心，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的興趣和能力，真正使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，并且合理組織例題、習(xí)題，提高學(xué)生舉一反三、隨機(jī)應(yīng)變的能力，使所學(xué)知識(shí)得到升華。

1格林公式及證明

無(wú)論是在教材中，還是大多數(shù)教師在教學(xué)時(shí)，往往是一開(kāi)始就直接給出格林公式，這無(wú)疑是超前指路，置學(xué)生的心理、思維狀態(tài)于不顧，讓學(xué)生覺(jué)得定理的出現(xiàn)太突然、抽象，從而一開(kāi)始就喪失了學(xué)習(xí)興趣.筆者認(rèn)為，可以適當(dāng)設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，逐步啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行探究，自然引出格林公式，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

1.1問(wèn)題的引入

接下來(lái)讓學(xué)生考慮，如果D為任意的復(fù)雜單連通區(qū)域，格林公式是否成立？引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)化繁為簡(jiǎn)、由難變易的思想，適當(dāng)添加輔助線分割區(qū)域，結(jié)合二重積分、曲線積分的性質(zhì)，容易得到（3）式仍然是成立的。

1.3定理的完善

在給出具體的定理之前，為培養(yǎng)學(xué)生的探究式學(xué)習(xí)能力，可以先讓學(xué)生思考三個(gè)問(wèn)題：（1）上述公式成立對(duì)被積函數(shù)有什么要求？（2）對(duì)積分區(qū)域和曲線有什么要求？（3）如果D是多連通區(qū)域，等式是否成立？引導(dǎo)學(xué)生逐一理解并解決這三個(gè)問(wèn)題，并補(bǔ)充區(qū)域邊界正向的規(guī)定之后，本節(jié)課的重要定理——格林公式便呼之欲出了：設(shè)平面有界閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍城，二元函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有

，

其中L是D的正向邊界曲線。

為避免錯(cuò)誤使用格林公式，應(yīng)對(duì)格林公式的條件做重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，并采用課堂提問(wèn)的方式讓學(xué)生解決下面問(wèn)題：（1）如果L取得是D的負(fù)向邊界，公式怎么調(diào)整？（2）假如在計(jì)算曲線積分時(shí)，積分路徑L不是封閉的，怎么辦？（3）如果被積函數(shù)在D內(nèi)某些點(diǎn)無(wú)定義、不可導(dǎo)或者導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，能不能直接使用格林公式？通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生回答上述三個(gè)問(wèn)題，一方面可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性，激發(fā)表現(xiàn)欲，另一方面又加深了學(xué)生對(duì)定理?xiàng)l件的理解和記憶，為以后靈活的使用格林公式提供了思路和方法.

2例題的設(shè)計(jì)

課堂上講解必要的例題，是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，既可以幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，又能夠拓寬學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力。筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在本節(jié)課中從三個(gè)方面設(shè)計(jì)例題。

2.1較為基礎(chǔ)的情形

由格林公式不難看出，在計(jì)算曲線積分或者二重積分時(shí)，為使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，節(jié)省計(jì)算時(shí)間，可將二者相互轉(zhuǎn)化，下面給出兩個(gè)簡(jiǎn)單例子加以說(shuō)明。

例1計(jì)算二重積分，其中D為由直線y=x，y=1和y軸所圍成的三角型區(qū)域。

分析：在二重積分原始的計(jì)算方法中，將其轉(zhuǎn)化為二次積分時(shí)，需要選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序才可行，而利用格林公式可以直接轉(zhuǎn)化為I=xdy==1cos1，L是逆時(shí)針?lè)较虻恼麄€(gè)三角形邊界。

例2計(jì)算I=（x2ycosx+2xysinx）dx+（x2sinx+x）dy，其中L為橢圓周x2+2y2=4，取逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

分析：如果利用橢圓的參數(shù)方程把該積分轉(zhuǎn)化為定積分，計(jì)算過(guò)程將非常復(fù)雜，采用格林公式將其轉(zhuǎn)化為二重積分，D為橢圓域。

2.2非閉區(qū)域的情形

例3計(jì)算I=，其中L為從點(diǎn)（2，0）沿上半橢圓周x2+2y2=4到點(diǎn)（2，0）。

分析：該題的設(shè)計(jì)是被積函數(shù)與例2相同，而積分路徑變?yōu)樯习霗E圓周，不再封閉，受例2的影響，學(xué)生容易想到使用格林公式來(lái)求解，那么，取什么樣的輔助線？方向如何？計(jì)算步驟是什么？可逐步引導(dǎo)學(xué)生自行解決。

例4計(jì)算I=，其中L為從點(diǎn)沿上半橢圓周x2+2y2=4到（2，0）點(diǎn)。

分析：例4的積分路徑與例3完全一樣，仍需要添加輔助線，但例4的被積函數(shù)又含有奇點(diǎn)（0，0），是否能取與例3相同的輔助線？作什么樣的輔助線既能避開(kāi)原點(diǎn)又使計(jì)算可行？讓學(xué)生帶著這些問(wèn)題去思考、去探究，不斷發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題。事實(shí)上，為了避開(kāi)原點(diǎn)，第一次取輔助圓周L1：x2+y2=4，≤x≤2應(yīng)用格林公式得，通過(guò)代入技巧去掉奇點(diǎn)后，與例3相似，第二次做輔助線y=0，≤x≤2，再次使用格林公式即得。

2.3存在奇點(diǎn)的情形

例5計(jì)算I=，其中L為橢圓周x2+2y2=4，取逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

分析：該例題的被積函數(shù)與例4一樣，積分路徑為閉曲線，內(nèi)部有奇點(diǎn)（0，0），受例4的啟發(fā)，可以做輔助圓周L1：x2+y2=1避開(kāi)原點(diǎn)，方向仍為逆時(shí)針，不難得到，去掉奇點(diǎn)后，再次直接使用格林公式計(jì)算出I=2€%i。值得注意的是，由于例4的鋪墊，例5可以嘗試讓學(xué)生獨(dú)立完成，因?yàn)檫@兩道題的基本思路和步驟都是一樣的；并且結(jié)果與輔助圓周的半徑?jīng)]有關(guān)系。

這里設(shè)計(jì)的五個(gè)例題，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，比較典型，能使學(xué)生更好的掌握格林公式的使用條件和應(yīng)用技巧，體會(huì)格林公式的靈活應(yīng)用之美。

3結(jié)束語(yǔ)

以上是格林公式這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，從定理的引入到例題的解答，既充分體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的主體地位，又發(fā)揮了教師在教學(xué)過(guò)程中的主導(dǎo)作用，教師適時(shí)的引導(dǎo)和總結(jié)可以使學(xué)生的思維迅速活躍起來(lái)，這樣的教學(xué)既有啟發(fā)性，又有誘惑力和幽默感，深入淺出，使學(xué)生感到格林公式可望又可及。

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