淺析高中幾何題的解題方法與技巧

王麗云

[摘 要] 代數(shù)與幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中相互依存、密不可分的兩大組成部分，從某種意義上來(lái)說(shuō)，幾何的學(xué)習(xí)可以認(rèn)為是代數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要基礎(chǔ)，因此，學(xué)好高中幾何對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)其意義是重大的，也是必要的. 作為高中數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，加大對(duì)高中幾何題的研究與思考也是必然的.

[關(guān)鍵詞] 高中幾何；重要性；學(xué)習(xí)障礙；方法技巧

數(shù)學(xué)學(xué)科是學(xué)生日常生活中運(yùn)用最為頻繁的三門(mén)主要學(xué)科之一，因此，學(xué)好數(shù)學(xué)對(duì)于每位學(xué)生來(lái)說(shuō)都顯得尤為重要. 對(duì)于高中生來(lái)講，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)及其全面素養(yǎng)的發(fā)展都非常有意義，數(shù)學(xué)跟其他學(xué)科的學(xué)習(xí)相比而言，它是一門(mén)復(fù)雜、難懂、抽象并需要嚴(yán)密邏輯思維的學(xué)科. 高中幾何除擁有高中數(shù)學(xué)學(xué)科的這些特點(diǎn)之外，還需要學(xué)生具備超強(qiáng)的空間想象能力才能在解題中更加游刃有余，因此，高中幾何的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)的確是有難度的. 筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐結(jié)合高中幾何的重要地位、幾何學(xué)習(xí)的一般性障礙以及解決幾何題的方法和技巧進(jìn)行了粗淺的探究.

[?] 幾何學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要地位

首先，日常數(shù)字的運(yùn)用以及經(jīng)濟(jì)等各方面的需要都是與我們生活息息相關(guān)的數(shù)學(xué)的問(wèn)題，而生活中高聳的飛檐走壁以及美輪美奐的高樓大廈正是幾何學(xué)運(yùn)用得恰到好處給我們帶來(lái)的美感. 學(xué)生如果要將物理、化學(xué)、生物等學(xué)科學(xué)好，那么學(xué)好數(shù)學(xué)應(yīng)該是學(xué)生最應(yīng)該做到的，而世界萬(wàn)物的構(gòu)造又都離不開(kāi)能夠?yàn)槠湔宫F(xiàn)宏偉外觀的幾何學(xué)，所以，從某種意義上來(lái)講，高中數(shù)學(xué)中的幾何是具備生動(dòng)活潑的美麗特征的. 因此，高中教師在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中應(yīng)該關(guān)注與重視幾何學(xué)習(xí)這一關(guān)鍵點(diǎn). 其次，高中幾何的學(xué)習(xí)往往會(huì)給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)困擾，學(xué)生在幾何題目的解決上花費(fèi)的時(shí)間和精力往往能夠占到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總時(shí)間的三分之一，依據(jù)幾何在數(shù)學(xué)學(xué)科所有內(nèi)容中的比例來(lái)講，用這么多的時(shí)間和精力花費(fèi)在幾何題目的解決上顯然是不可取的. 因此，對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師來(lái)講，提高幾何題的教學(xué)效率與效果并幫助學(xué)生建立幾何學(xué)習(xí)的科學(xué)技巧與方法是教師必須慎重考慮和研究的.

[?] 學(xué)生在高中幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的一般性障礙

其一，學(xué)生對(duì)于空間感知能力和圖形的認(rèn)知能力不夠. 學(xué)生的空間感知能力和想象能力都是逐步發(fā)展的，對(duì)于欠缺很多生活實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，大部分學(xué)生在空間感知能力的發(fā)展上都是比較滯后的，而且男女性別的差異使得這一點(diǎn)在幾何學(xué)習(xí)的過(guò)程中造成的差距特別大，這也正是高中學(xué)生幾何學(xué)習(xí)中最基本的學(xué)習(xí)障礙.

其二，整體認(rèn)知度不夠或認(rèn)知策略不夠科學(xué)恰當(dāng). 在高中幾何的學(xué)習(xí)中，空間感知能力差的男生與大多數(shù)女生的理解認(rèn)知能力明顯落后，在幾何題的認(rèn)知與解決中往往不習(xí)慣從整體上把握題意，這部分學(xué)生在幾何題的分析與解決中往往依賴(lài)教師系統(tǒng)、有條理的認(rèn)知策略安排，學(xué)習(xí)上比較被動(dòng)，獨(dú)立思考也就更加欠缺了.

其三，對(duì)幾何題分析、加工的能力不足. 在立體幾何的學(xué)習(xí)中往往需要學(xué)生靈活思辨的整體思維以及立體圖形的重構(gòu)與演化能力，這對(duì)學(xué)生空間想象思維以及幾何題的分析與加工提出了更高的要求.

其四，情感、興趣等內(nèi)在動(dòng)力的缺乏. 排除以上可能造成學(xué)生幾何學(xué)習(xí)障礙的因素，學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的情感、興趣等的缺乏也是造成學(xué)生幾何學(xué)習(xí)產(chǎn)生障礙的重大因素.

[?] 解決幾何題的方法和技巧小結(jié)

1. 加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí)中的點(diǎn)、線、面、立體各層面的定理的熟練掌握訓(xùn)練

高中幾何的解題思路一般來(lái)源于平面定理與立體定理的靈活運(yùn)用中. 勾股定理是平面幾何中最為常見(jiàn)的：直角三角形中兩條直角邊平方的和（勾股的平方和）與第三邊即斜邊（定理中稱(chēng)之為弦）邊長(zhǎng)的平方相等. 對(duì)于任何一組勾股數(shù)（a，b，c）都可以作如下表達(dá)：a=k（m2-n2），b=2kmn，c=k（m2+n2）. 其中，k，m，n必須滿(mǎn)足都是正整數(shù)這一條件且m>n. 勾股定理還有逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為直角. 在某些幾何題的計(jì)算與求解中，運(yùn)用勾股定理可以求出三角形的邊長(zhǎng)，而三角形是否為直角三角形則可以運(yùn)用勾股定理的逆定理來(lái)檢驗(yàn).

2. 注重學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣與愛(ài)好的養(yǎng)成

幾何圖形是枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠?yàn)閷W(xué)生增添樂(lè)趣與美感的潤(rùn)滑劑. 比如說(shuō)，很多的解題思路與基礎(chǔ)便是幾何圖形所提供的，而且?guī)缀螆D案的設(shè)計(jì)在平面設(shè)計(jì)、室內(nèi)設(shè)計(jì)、建筑設(shè)計(jì)等多個(gè)領(lǐng)域也越來(lái)越流行，使得我們?cè)陔S處可見(jiàn)的幾何圖形的拼接中感受到令人震撼的美；很多圖形所具備的性質(zhì)也在生活中經(jīng)常被運(yùn)用，比如屋頂、自行車(chē)架、塔吊固定等都應(yīng)用了三角形穩(wěn)定性與牢固性這一特性. 在現(xiàn)實(shí)生活中，只要稍加觀察，我們就能發(fā)現(xiàn)幾何圖形、紋路的存在觸目可及、比比皆是. 因此，教師在幾何的教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何圖形進(jìn)行不斷地拼接和創(chuàng)作造型，使得學(xué)生在天馬行空的無(wú)限遐想中發(fā)揮自身的空間想象能力并對(duì)幾何的學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣.

3. 培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性及剖析題目的層次性

不管是平面幾何還是立體幾何的解題中，層層遞進(jìn)進(jìn)行解題是解決問(wèn)題特別是解決求證題時(shí)經(jīng)常應(yīng)用的技巧. 首先在已知條件與題中所需求證內(nèi)容的整合下對(duì)題目進(jìn)行逐層剖析，并在分析與思辨的過(guò)程中逐步獲得求證所需的條件，然后對(duì)照已知的條件分析解題的各個(gè)條件是否充足，在條件不夠充足的情況下充分運(yùn)用逆向思維的解題技巧分析出解題所需的但暫不具備的條件，最后在理清解題思路之后，將輔助線的運(yùn)用、定理及逆定理的運(yùn)用與已知條件進(jìn)行有機(jī)整合，找出“已知”與“求證”之間所需的橋梁并最終將題目解決.

例1：如圖1所示，∠DAC是△ABC的外角，AE是該外角的平分線，并且AE∥BC，請(qǐng)嘗試證明：AB=AC.

首先依據(jù)定理與已知條件對(duì)題目進(jìn)行分析：如果能夠證明△ABC是等腰三角形，那么AB=AC也就自然成立了. 若想證明△ABC是等腰三角形首先要有∠B=∠C. 通過(guò)AE是△ABC外角∠DAC的平分線以及AE∥BC，可得∠DAE=∠B，∠EAC=∠C=∠B，最終可以證明得到△ABC是等腰三角形，則有AB=AC.

4. 組織并引導(dǎo)學(xué)生揚(yáng)長(zhǎng)避短分組討論解決問(wèn)題

創(chuàng)造解題的條件是幾何解題思路中最為關(guān)鍵的一步. 實(shí)際解題中往往因?yàn)閭€(gè)人思維的定向性以及思路的狹隘從而在幾何解題中產(chǎn)生障礙. 小組多人探討交流的形式能夠使學(xué)生的解題靈感與思路得到有力激發(fā)和觸動(dòng)，往往能使學(xué)生產(chǎn)生茅塞頓開(kāi)的感覺(jué).

例2：AB，AC是△ABC的兩條邊且兩邊相等，AB上有一點(diǎn)記作D，AC延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)記作E，并有BD=CE，F(xiàn)是DE連線與BC的交點(diǎn)，請(qǐng)嘗試證明：DF=EF.

從題目的已知條件以及需要求證的內(nèi)容進(jìn)行分析，輔助線是必須創(chuàng)造出來(lái)用于證明的條件.

（2）通過(guò)D作一直線并使其與AE平行，與BC相交，交點(diǎn)記作G（如圖4），BD=DG這一條件很快可以得出.

（3）作BC的延長(zhǎng)線到G，令CG=BF，連接EG（如圖5），△BDF≌△CEG這一條件很快就能得出.

5. 引導(dǎo)學(xué)生多觀察并在觀察中發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)

生活中的一個(gè)墻角甚至一個(gè)紙盒都可以成為高中幾何學(xué)習(xí)中的素材，因此，教師要善于從生活中挖掘事物模型并為學(xué)生建立直觀形象的認(rèn)知. 比如，在兩直線異面垂直的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在教室的墻面上發(fā)現(xiàn)與知識(shí)點(diǎn)相符合的兩直線，使學(xué)生對(duì)于該知識(shí)點(diǎn)的印象尤為深刻，并在以后應(yīng)用中能聯(lián)想起教師這樣的引導(dǎo). 因此，觀察與發(fā)現(xiàn)是學(xué)生提高幾何學(xué)習(xí)與解題的一個(gè)有效方法.

總之，幾何圖形的引入對(duì)于事物周長(zhǎng)、面積、體積的研究都是相當(dāng)有意義的，幾何的學(xué)習(xí)與解題也是高中數(shù)學(xué)相當(dāng)重要的一部分，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的優(yōu)劣在很大程度上決定了高考的成敗，故高中幾何學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可忽略的一個(gè)重要組成部分. 因此，每位學(xué)生都應(yīng)重視幾何的有效學(xué)習(xí)并在教師引導(dǎo)下積極尋求適合自己的解題方法與技巧，從最基本的幾何知識(shí)點(diǎn)滴積累，使得每個(gè)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵“點(diǎn)”連貫成前后貫通的一條“線”，使得自身的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)在“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的點(diǎn)滴積累中持續(xù)螺旋形上升并發(fā)展，最終達(dá)到厚積薄發(fā)的優(yōu)良局面.