顧婷
[摘 要] 專題復(fù)習(xí)教學(xué)是對新知教學(xué)的有益補(bǔ)充,如何設(shè)計(jì)專題復(fù)習(xí)教學(xué)、梳理知識點(diǎn)進(jìn)行有效安排,是教師復(fù)習(xí)教學(xué)能力的體現(xiàn).
[關(guān)鍵詞] 專題;復(fù)習(xí);焦點(diǎn)三角形;數(shù)學(xué);圓錐曲線
眾所周知,復(fù)習(xí)教學(xué)是對新知教學(xué)有益的補(bǔ)充. 從復(fù)習(xí)教學(xué)的角度來說,如何演繹好復(fù)習(xí)教學(xué)并不是容易的事. 從常態(tài)復(fù)習(xí)教學(xué)來看,不少教師對復(fù)習(xí)教學(xué)采用了試題堆砌、反復(fù)訓(xùn)練沖刺的模式,這樣的復(fù)習(xí)教學(xué)缺少針對性、高效性、引導(dǎo)性.特級教師陳雷鳴對復(fù)習(xí)教學(xué)有獨(dú)到的見解:有效的復(fù)習(xí)教學(xué)首先必須對知識進(jìn)行合理的梳理,在梳理基礎(chǔ)上有針對性地整合才能使復(fù)習(xí)教學(xué)更為高效,這種針對性整合是建立在專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)之上的. 本文以提升復(fù)習(xí)教學(xué)有效性為設(shè)計(jì)視角,以圓錐曲線中橢圓的焦點(diǎn)三角形為載體進(jìn)行專題復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計(jì),不當(dāng)之處懇請批評指正.
[?] 知識背景
圓錐曲線是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn),以橢圓、雙曲線為背景的問題往往是學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的難點(diǎn). 在學(xué)習(xí)解析幾何初步的過程中,學(xué)生必須掌握一個(gè)經(jīng)典的基本知識:即焦點(diǎn)三角形的相關(guān)問題.從學(xué)生學(xué)習(xí)的新知來看,對于焦點(diǎn)三角形涉及的知識可以進(jìn)行專題復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計(jì). 焦點(diǎn)三角形指的是以橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)為三角形的兩頂點(diǎn),第三個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)在橢圓或雙曲線上,由這三個(gè)點(diǎn)組成的三角形稱之為焦點(diǎn)三角形.其重要的作用在于:其一圓錐曲線第一定義(感官定義)在焦點(diǎn)三角形中的體現(xiàn);其二余弦定理、三角形面積相關(guān)知識與解析幾何知識的交匯、整合;其三直線和圓錐曲線綜合問題的結(jié)合. 因此這是解析幾何初步交匯中比較重要的知識.
[?] 專題設(shè)計(jì)
1. 定義切入
焦點(diǎn)三角形因?yàn)樯婕皺E圓、雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn),所以勢必與圓錐曲線第一定義緊密相連. 專題復(fù)習(xí)教學(xué)必須從相關(guān)的基礎(chǔ)出發(fā),以定義為背景設(shè)計(jì)相關(guān)問題,這是專題設(shè)計(jì)的起點(diǎn).
問題1:如果橢圓+=1上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離是它到右焦點(diǎn)F2的距離的4倍,則P到左焦點(diǎn)的距離是______.
分析:(用橢圓第一定義)設(shè)點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為r1,到右焦點(diǎn)距離為r2,則由題意得:r1+r2=10,
r1=4r2,解得r1=8,
r2=2.
變式1:在上例中條件不變,求點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離及點(diǎn)P的坐標(biāo).
分析:由橢圓第二定義,設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d,則=e=,所以d=. 橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=. 設(shè)P(x,y),則-x=,解得x=,從而y=±. 所以P
,±
.
變式2:橢圓+=1上是否存在一點(diǎn)P,使PF1⊥PF2,若存在,求出P的坐標(biāo),并求
PF1
-
PF2
的值.
分析:假設(shè)存在點(diǎn)P(x,y)滿足題意,則
+
=1,
x2+y2=16,解得
x=±,
y=±.所以存在點(diǎn)P1
,
,P2
,-
,P3
-,
,P4
-,-
. 由三角形面積公式,得:
PF1
PF2
=×8×,即
PF1
PF2
=18,所以有
PF1
-
PF2
===2.
說明:PF1,PF2能否垂直,取決于以F1F2為直徑的圓與橢圓有無公共點(diǎn). b>c時(shí),無公共點(diǎn),不存在滿足題意的點(diǎn)P;b=c時(shí),有兩個(gè)公共點(diǎn)(為短軸端點(diǎn)),即點(diǎn)P的位置;b 2. 鏈接面積 焦點(diǎn)三角形是圓錐曲線中一種特殊的三角形,受到其幾何圖形的影響,與三角形面積相關(guān)的考點(diǎn)往往出現(xiàn)在焦點(diǎn)三角形中.這里的復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了知識的整合性. 問題2:已知AB是橢圓+=1過中心的弦,則△ABF2面積的最大值為__________. 分析:由橢圓的性質(zhì)知道,A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,S△AF1O=S△BF2O. 設(shè)A(x,y),則S△ABF2=S△AF1F2=×8×y≤×8×3=12. 變式3:設(shè)P是橢圓+=1上一點(diǎn),作△F1PF2. (1)若∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積;(2)若∠PF1F2=60°,求△F1PF2的面積. 分析:①∠F1PF2=60°,由余弦定理 PF1 2+ PF2 2- PF1 PF2 = F1F2 2,即 100-3 PF1 PF2 =64,所以 PF1 PF2 =12,S△PF1F2=×12×=3. ②若∠PF1F2=60°,由余弦定理 PF1 2+ F1F2 2- PF1 F1F2 = PF2 2, 即 PF1 2+64-8 PF1 = PF2 2,即10·( PF1 - PF2 )-8 PF1 +64=0,
PF1
-5
PF2
+32=0.
又
PF1
=3,
PF2
=7,所以S△PF1F2=×3×8×=6.
說明:求焦點(diǎn)三角形面積時(shí),先觀察△F1PF2是否為特殊三角形(如直角三角形),若不然,或用余弦定理結(jié)合橢圓第一定義求出PF1·PF2,或求出PF1,PF2的具體值,進(jìn)而得解.
3. 最值求解
因?yàn)榻裹c(diǎn)三角形只有一個(gè)頂點(diǎn)為動點(diǎn),因此與其相關(guān)的最值問題層出不窮. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究的單動點(diǎn)恰如其分地體現(xiàn)在了焦點(diǎn)三角形中,其各種相關(guān)焦半徑問題、面積問題成為復(fù)習(xí)需要總結(jié)的.
問題3:橢圓+=1中,作△F1PF2,(1)求cos∠F1PF2的最小值;(2)求
PF1
·
PF2
的最大值與最小值.
分析:(1)由余弦定理,有cos∠F1PF2==-1,而
PF1
PF2
≤
=25,所以cos∠F1PF2≥ -. 故cos∠F1PF2的最小值為-.
(2)設(shè)P(x,y),由焦半徑公式,有
PF1
PF2
=(a+ex0)(a-ex0)=a2-e2x=25-x,而0≤x≤25,所以9≤25-x≤25,即9≤
PF1
PF2
≤25.
說明:涉及焦點(diǎn)三角形求角的取值范圍時(shí),往往用正余弦定理;涉及求線段和、差、積的(最)值時(shí),往往用橢圓焦半徑公式.
4. 核心思考
焦點(diǎn)三角形最核心的問題與圓錐曲線中的離心率休戚相關(guān),教師在專題復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)中若能將離心率相關(guān)問題融合到焦點(diǎn)三角形中,則能讓學(xué)生對知識最核心的考查點(diǎn)有更深的理解.
問題4:設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若在橢圓上存在一點(diǎn)P,·=0,求橢圓離心率的取值范圍.
分析:設(shè)P(acosθ,bsinθ)(0<θ<2π且θ≠π),因?yàn)椤?0,所以⊥. 又O為F1F2中點(diǎn),所以PO=
F1F2
=c. 于是a2cos2θ+b2sin2θ=c2,即a2=c2(1+sin2θ),所以e==,而θ∈(0,2π),且θ≠π,0 ,1 . 說明:通過對以上問題的探求,讓學(xué)生對橢圓焦點(diǎn)三角形問題及應(yīng)對策略有了一個(gè)大體的認(rèn)識,從而為類比雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題的解決起到較好的借鑒作用. 總之,專題復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計(jì)需要有層次性,本例較好地體現(xiàn)了這種螺旋式上升的層次性.既關(guān)注了知識的基礎(chǔ)層面,又從更高的知識整合性角度、考查熱點(diǎn)離心率角度做出了復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計(jì),對于學(xué)生而言這種專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)是有效的.