基于多媒體輔助教學下的《正態(tài)分布》教學設計與思考

[摘 要] 正態(tài)分布是一種連續(xù)型隨機變量分布，其研究方法不同于離散型隨機變量分布.在建構主義理論的指導下，教師創(chuàng)設情境，學生研探問題、建構概念，借助多媒體輔助教學，明晰認識、突破難點，反思教學，提高教學水平.

[關鍵詞] 正態(tài)分布；多媒體輔助教學；建構主義；教學設計；教學反思

[?] 教學背景

前不久，蕪湖市數(shù)學名師工作室和安徽省骨干教師高端培訓班聯(lián)合開展了一次研修活動，筆者作為名師工作室成員上了一節(jié)研討課，內容為選修2-3《正態(tài)分布》. 本節(jié)課是新課程的新增內容，課程標準和考試說明對此教學要求明確但標準較低，教師如何理解、把握和實施教學具有一定的代表性，值得研究！

[?] 教學設計

1. 教材分析

（1）教學內容

《正態(tài)分布》是人教版高中數(shù)學選修2-3的第二章《隨機變量及其分布》的內容. 正態(tài)分布是描述隨機現(xiàn)象的一種最常見的分布，是統(tǒng)計學中最基本、最重要的一種分布，它在現(xiàn)實生活中有著非常廣泛的應用，值得學習，同時這也將非常有利于學生進一步學習概率統(tǒng)計的知識.

在學習了離散型隨機變量及其分布之后，正態(tài)分布作為連續(xù)型隨機變量的分布，是對隨機變量及其分布的一種補充和延展，是概率知識的重要組成部分.

教材曾經是開門見山，直接給出正態(tài)分布密度函數(shù)解析式，直接提出正態(tài)分布的概念，直接表明概率和定積分的關系，這些容易導致學生一時無法了解和理解正態(tài)分布的來源和生成，教材設計不佳. 現(xiàn)教材利用高爾頓板試驗逐步引入正態(tài)分布密度曲線，在此基礎上構建正態(tài)分布概念，借助直觀的試驗，透過試驗現(xiàn)象看數(shù)學本質，易于教師解釋正態(tài)分布密度曲線的來源，也利于學生理解正態(tài)分布的概念，符合學生的認知規(guī)律，設計較好.

正態(tài)分布曲線的特點及其所表示的意義是本節(jié)課核心概念和最主要的內容，是知識的樞紐，故將其設為教學重點.

自主建構、理解正態(tài)分布曲線所表示的意義，對學生而言是較為復雜和抽象的，富有挑戰(zhàn)性，容易陷入認知困境，故將其設為教學難點.

（2）教學目標

知識與技能：通過高爾頓板試驗，了解正態(tài)分布密度曲線的來源，了解正態(tài)密度函數(shù)和正態(tài)分布的概念；通過觀察、分析正態(tài)分布曲線圖形，歸納并掌握正態(tài)曲線的特點及其所表示的意義.

過程與方法：師生共同通過模擬高爾頓板試驗，畫出頻率分布直方圖，描出折線圖近似得到正態(tài)曲線，讓學生感受到從有限到無限的研究方法，引導學生運用函數(shù)觀點，從函數(shù)的角度理解和認識正態(tài)曲線，強化學生對函數(shù)思想方法的認識和理解.

在教師的指導下，學生通過觀察、分析正態(tài)曲線圖形，研究并總結出正態(tài)曲線的特點，并能夠應用其解決一些與正態(tài)分布有關的簡單問題. 在此探究過程中，使學生再次認識到運用數(shù)形結合能夠很好地解決一些問題，深深地感受到數(shù)形結合這個數(shù)學思想方法的強大威力，深刻體會到圖像對研究函數(shù)的重大意義，同時實現(xiàn)幫助學生增強其觀察、分析、歸納和應用能力的目的.

情感、態(tài)度與價值觀：通過設置演示試驗，介紹正態(tài)分布在生活中的應用，讓學生理解數(shù)學是來源于生活、服務于生活的，讓其感受到數(shù)學的價值，激發(fā)其學習數(shù)學的興趣.

通過教學中一系列的探究，指導學生自主學習，使其身在其中，體驗發(fā)現(xiàn)的快樂和喜悅，形成積極的情感，進而逐步培養(yǎng)進取意識、探究能力和科學精神.

2. 學情分析及教法學法

在前面的學習中，學生已經掌握了一些相關的統(tǒng)計概率的知識，這為學生理解并利用頻率分布直方圖來研究小球的分布規(guī)律、建立曲邊圖形面積和函數(shù)定積分與隨機變量概率關系等奠定了基礎. 但是正態(tài)分布的來源、產生和發(fā)展，特別是橫空出世的正態(tài)分布密度函數(shù)解析式，都是較為復雜和抽象的，學生理解起來還是比較困難的.

根據(jù)以上學情，筆者采取了如下的教學方法：

本節(jié)課是一節(jié)概念課，應該讓學生經歷一個“自主觀察—合作探究—發(fā)現(xiàn)新知—歸納總結—理解運用”的過程，為此筆者在教學中采用了以探究法為主、講授法為輔的教學方法. 對于新知的教學，按照“觀察—探究—總結—反饋—再觀察—再探究—總結提升”的程序組織教學，教師適時恰當?shù)剡M行講解、指導和引導，幫助學生突破難點，把握重點，充分發(fā)揮教師主導課堂教學的作用，學生全面、深入地參與課堂教學中，充分體現(xiàn)學生是課堂教學的主體. 同時適當?shù)厥褂媒虒W模型、實物投影儀和多媒體進行輔助教學，實現(xiàn)了教學素材的多樣化、直觀化、形象化和呈現(xiàn)的快速化，大大地提高了課堂教學的效率和有效性，有效地集中了學生的注意力和激發(fā)了學生的學習興趣.

縱觀整堂課的設計，筆者注重學生學法的指導：課堂上，給予學生深度參與教學過程的機會. 學生先自主觀察，之后在教師的指導和幫助下，學生自主觀察，獨立探究，自我歸納，相互交流，形成結論或獲得成果，在教師的指導下提煉結論，提升認識，應用知識解決實際問題. 這些都將非常有助于鍛煉和培養(yǎng)學生的觀察、分析能力，能夠較好地引導學生初步了解數(shù)學概念和結論的產生、發(fā)展的過程，使學生在知識的產生和應用中體會到數(shù)學來源于生活又服務于生活，讓其感受到數(shù)學的價值，進而培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學問題的意識和能力.

比如，要求學生觀看高爾頓板實驗，在此過程中教師設置一系列引導問題，教師主導思考方向，學生獨立觀察、仔細思考后回答，從而能夠較好地理解正態(tài)曲線的來源. 又如，要求學生觀察、分析正態(tài)分布曲線，歸納正態(tài)分布曲線的特點，學生自主利用在函數(shù)圖像所學的知識選擇從圖像大致形狀、對稱性、最高點、單調性等方面進行觀察，與同學交流，形成較為全面的探究成果. 學生再次利用圖像得到函數(shù)的性質，不但很好地運用了數(shù)形結合的思想方法，更是被數(shù)形結合的思想方法的魅力所折服. 再如，通過對幾何畫板動畫的觀察，學生完全能夠自主分析、歸納出參數(shù)μ，σ對正態(tài)分布曲線的影響，明白在正態(tài)分布曲線圖像上什么是概率，進而較好地理解3σ原則. 學生自主學習方法掌握了，自主學習能力培養(yǎng)了，授予學生以漁，達成教學目標就是水到渠成的了！

3. 教學輔助手段和環(huán)境

幾何畫板、函數(shù)圖像生成器、多媒體教室.

4. 教學過程的設計

（1）創(chuàng)設情境，引入課題

【師生活動】 師生上臺共同演示高爾頓板試驗. 請學生結合高爾頓板試驗思考并回答以下問題：

①小球在落下的過程中發(fā)生了什么？

②小球落下后，它的位置變化有規(guī)律嗎？

③在此試驗中，什么影響了小球落下的位置？

④什么對小球落下的位置結果影響大？

⑤前一個小球對下一個小球落下的位置有影響嗎？

⑥你能事先確定某個小球下落時會與哪些小木塊發(fā)生碰撞嗎？

⑦你能事先確定某個小球下落后的位置嗎？這些小球落下的位置有規(guī)律可循嗎？

設計意圖：創(chuàng)設情境，為導入新知做好準備. 教師問題指引，學生體驗感悟，對試驗的過程、結果、發(fā)生原因進行定向思考. 讓學生參與演示試驗，能提高學生的學習積極性，提高學習數(shù)學的興趣.

點評：以問題為指引，確定思考方向，抓住問題的核心，感性和理性并存.

采用獨立思考后再合作交流，加強學生的合作意識. 學生深度地參與教學過程，親身體驗“正態(tài)分布曲線“的發(fā)現(xiàn)和生成歷程.

（2）研探問題，建構概念

首先，用頻率分布直方圖從頻率角度研究小球的分布規(guī)律.

①將球槽編號，算出各個球槽內的小球個數(shù)，作出頻率分布表.

【師生活動】 師：頻率分布直方圖如何作出？它的橫、縱軸分別是什么？

師：這里每個長方形的面積的含義是什么？

設計意圖：通過教師設問，學生思考后回答，引導學生思考回顧，加深學生對頻率分布直方圖的理解，為后續(xù)學習做好知識鋪墊. 通過多媒體演示作圖過程，提高課堂的效率.

點評：教師將與新知有關的舊知提取出來，加以溫故，作為知識的“生長點”，進而引出、構建新知，這是符合學生認知的規(guī)律，幫助學生打好更新、發(fā)展認識的基礎.

②以球槽的編號為橫坐標，以小球落入各個球槽內的頻率與組距的比值為縱坐標，畫出頻率分布直方圖. 連接各個長方形上端的中點得到頻率分布折線圖（分組數(shù)n=10）.

[n=10.00][x][O][y]

圖1

③隨著試驗次數(shù)增多，折線圖就越來越接近于一條光滑的曲線.

[n=42.00][x][O][y]

圖2

[師生活動] 師：這是什么樣的曲線？（連續(xù)的）我們怎么研究它？研究它什么？（我們可以直接研究，也可以通過其他方式研究，現(xiàn)在不完全回答，后面再研究）它能成為某個函數(shù)的圖像嗎？若能，那它的擬合函數(shù)是怎樣的？為什么要擬合函數(shù)呢？（暫時不回答）

從描述曲線形狀的角度自然引入正態(tài)密度函數(shù)的表達式：φμ，σ（x）=e，x∈（-∞，+∞）.

【師生活動】 師：我們用函數(shù)圖像生成器來畫出正態(tài)密度函數(shù)的圖像，與上面的曲線對比一下，有什么發(fā)現(xiàn)？

設計意圖：以問題串引導學生認識、理解正態(tài)曲線，簡單、粗線條地研究圖像和與函數(shù)相對應解析式的關聯(lián)點，對比分析、多媒體輔助畫圖感受函數(shù)擬合的效果：圖像都在x軸上方和函數(shù)值都是正的；圖像有最高點和函數(shù)有最大值；圖像有對稱軸和函數(shù)有完全平方式，等等.

設計意圖：在教師的幫助下，讓學生體驗從有限到無限的數(shù)學研究方法，領悟到現(xiàn)在研究的是一個連續(xù)的問題，不同于先前研究的離散型的隨機變量問題.

點評：首先讓學生從形上直觀地認識正態(tài)曲線，再從函數(shù)的視角探究曲線，給出曲線擬合的函數(shù)解析式，最后分析圖像和解析式的對應特征，應用多媒體輔助教學手段驗證函數(shù)的擬合效果.教師如此處理，直觀形象、層層遞進、深入淺出，學生易理解正態(tài)曲線和正態(tài)密度函數(shù)的來源和生成，較好地突破了難點.

其次，繼續(xù)探究：當我們去掉高爾頓板試驗最下邊的球槽，并沿其底部建立一個水平坐標軸，其刻度單位為球槽的寬度，用X表示落下的小球第一次與高爾頓板底部接觸時的坐標.

【師生活動】 師：圖3中陰影部分的面積有什么意義？

[a][x][O][y][b]

圖3

然后，得到正態(tài)分布概念：一般地，如果對于任何實數(shù)a

【師生活動】 在教師的引導下，學生不難發(fā)現(xiàn)：頻率分布直方圖中面積對應頻率，圖中陰影部分的面積，就可以看成多個矩形面積的和，也就是X落在區(qū)間（a，b]的頻率. 進而得到：此時小球與底部接觸時的坐標X是一個連續(xù)型隨機變量.

設計意圖：通過設置啟發(fā)性問題，引發(fā)學生定向、深入思考. 若直接問X落在區(qū)間（a，b]上的概率，則學生不易反應過來，但設問面積的意義，學生易于聯(lián)想到定積分的幾何意義，故便于學生接受、理解. 另外，借助于坐標X實現(xiàn)了由離散型隨機變量到連續(xù)型隨機變量的轉變和跨越.

點評：教師引導學生利用定積分的意義認識到此陰影部分面積就是正態(tài)密度函數(shù)在該區(qū)間上的定積分，從而建立了定積分和概率的關系，即用正態(tài)密度函數(shù)在指定的區(qū)間上的定積分表示連續(xù)型隨機變量在區(qū)間上的概率. 學生此刻會幡然醒悟：我們?yōu)槭裁匆哉龖B(tài)曲線擬合一個正態(tài)密度函數(shù)！

【師生活動】 師：回顧在觀察高爾頓板試驗時已經回答的問題，你能感受到什么樣的隨機變量會服從或近似服從正態(tài)分布嗎？

【師生活動】 教師組織學生再次討論，反思共識，得出新的認識：在小球的下落過程中，小球受到多次隨機的不分主次的小木塊的碰撞，落下后它的位置無法預計，無規(guī)律可循，但顯示出中間多，兩邊逐漸少的結果.

服從或近似服從正態(tài)分布隨機變量的特征：是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和.

設計意圖：以舊引新，雖然概念較抽象，但這樣的處理學生不會覺得太突兀，易于接受新知識；同時，培養(yǎng)了學生將知識聯(lián)系起來進行思考的思維習慣.

設計意圖：“什么樣的隨機變量服從（或近似服從）正態(tài)分布？”是本節(jié)課的難點之一，學生沒有認識基礎，教師沒有教學載體，不太好處理，更難以突破了. 在此，嘗試采用回顧高爾頓板試驗，重新審視問題，從新的視角思考試驗結果產生的過程，究其影響因素和原因，揭示問題的本質，以期有效突破難點.

通過列舉實例，讓學生體會到生活中處處有正態(tài)分布，感受到正態(tài)分布和數(shù)學的應用廣泛性.

（3）自主探究，分析歸納

正態(tài)分布曲線的特點：①曲線在x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，圖像關于直線x=μ對稱；③曲線在x=μ處達峰值；④曲線與x軸之間的面積為1.

[師生活動] 教師要求學生自主觀察、分析正態(tài)分布曲線，結合正態(tài)密度函數(shù)解析式，歸納正態(tài)分布曲線的特點及相應理由；與小組同學交流、糾錯、補充；小組代表展示成果，師生共同評價、完善，形成較為全面的探究成果.

設計意圖：在教師的指導下，學生自主分析圖像和解析式，選擇從曲線對稱性、最高點、單調性等方面觀察得到曲線的特點，鍛煉了學生的觀察能力和歸納能力；很好地運用了數(shù)形結合的思想方法，學生更是被數(shù)形結合思想方法的魅力所折服；如何利用在函數(shù)所學的圖像知識.

點評：學生深入?yún)⑴c課堂教學，經歷知識形成的過程，自主在其“最臨近發(fā)展區(qū)”構建新的知識框架，既突出了重點，又能掌握較好.

（4）動畫演示，明晰認識

參數(shù)μ和σ對正態(tài)曲線的影響：教師通過計算機繪出兩組圖像（動畫），讓學生觀察.

第一組：固定σ的值，μ取三個不同的數(shù)；

第二組：固定μ的值，σ取三個不同的數(shù).

設計意圖：針對解析式中含有兩個參數(shù)，學生很難獨立自主地分析參數(shù)對曲線的影響，教師在此講授面對兩個參數(shù)時常用的處理方法是：先固定一個參數(shù)，再討論另一個參數(shù)對圖像的影響.應用多媒體動畫演示變化，形象直觀、一目了然，有效地降低了學習難度、較好地突出了重點. 此處不適宜讓學生自主探究，否則可能會遇到理解認識的瓶頸.

點評：教師借助計算機模擬呈現(xiàn)了教學中難以呈現(xiàn)的內容，將難點一擊而破，將重點凸顯而出，充分發(fā)揮了信息技術輔助教學的作用.

[?] 教學反思

在教學中，以問題為指引，明確學生的思考方向；以探究活動為平臺，促使學生深度參與教學；創(chuàng)建自主課堂，營造輕松、愉悅的學習氛圍；應用多媒體輔助教學，有效地突破難點，提高教學效率. 本節(jié)課，在多媒體輔助教學下，實現(xiàn)了高效課堂，達到了預設教學的目標.

1. 多媒體輔助教學與板書

在教學中，筆者根據(jù)學情和教學內容的需要選擇性地適度使用多媒體進行輔助教學，節(jié)省了教學時間，降低了教與學的難度，使教學進程更加連貫，使教學素材實時生成、形象直觀，效率高、效果好、成效明顯！但筆者認為，數(shù)學教師的板書演示還是不可或缺的！精心設計的板書，合理演示的板書，將會很好地展示師生數(shù)學思維發(fā)展的過程性和多樣性，清楚呈現(xiàn)教學成果，直接示范數(shù)學語言的規(guī)范表述. 多媒體輔助教學是需要的，也是重要的，但數(shù)學教師的板書是更重要，是多媒體不可替代的.

2. 學法指導

建構主義學習理論告訴我們：學生的學習是在教師的指導下，以學生為中心的學習，教師是意義建構的幫助者和促進者. 因此，教師有效的學法指導將大大增強學生學習的目的性和實效性.

（1）使學生被課堂教學所吸引. 設置問題情境，抓住注意力和思維，保持好奇心和求知欲，讓其樂學. 如課題引入時，師生上臺共同演示高爾頓板試驗，在問題任務的驅動下，學生觀察、感受、思考、分析試驗現(xiàn)象，情緒高漲、注意力集中、思維敏捷.

（2）讓學生親身經歷探究過程. 開展探究活動，讓學生經歷新知產生、形成和發(fā)展的過程，學生實踐了學習新知的方法，授之以漁，讓其會學.如面對正態(tài)曲線的特點問題，在教師的指導下，學生類比運用研究函數(shù)圖像的數(shù)形結合方法來探究，這既讓學生踐行了此研究方法，又加深了學生對此法的理解和掌握，更重要的是，表明了學生會思考、會解決問題、會學習了.

（3）讓學生應用知識解決問題.應用知識解決實際問題，讓學生經歷歸納、總結、應用的過程，使其體會到數(shù)學來源于生活又服務于生活，使其感受數(shù)學的價值，讓其學會、讓其會用. 如在學生構建正態(tài)分布的概念后，教師列舉眾多與學生生活、學習相關的服從或近似地服從正態(tài)分布的具體例子和例題，說明了正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要的地位和應用價值.

3. 教學評價

正態(tài)分布雖是一個應用范圍廣泛的知識，但對學生而言，它仍是一個較為陌生的概念，學生沒有多少相應的知識、方法、思維的儲備作為基礎，尤其是由離散型跳躍到連續(xù)型，由有限質變到無限，對學生的挑戰(zhàn)較大.我們如何對教學對象、教學過程、教學結果、教學實施等進行評價，這是值得深思和研究的.

筆者認為，課堂上教師和學生都是教學評價的主體，學習過程與結果的評價同等重要，我們可以通過觀察學生能否積極參與課堂教學過程、能否積極思考問題、能否理解掌握新知并運用其分析解決問題來評判好壞、優(yōu)劣、適合與否.教學中，教師要讓學生全面、深入地參與教學過程，親身體驗、獨立思考、交流質疑、歸納總結、構建新知；教師要時刻關注學生的表現(xiàn)，準確定位學生的需求，適時調整和補充；教師要鼓勵、促使學生思考、總結、自省、提高，采用自評、互評、及時和延時點評等評價形式，考查學生在知識、思想、能力等方面的發(fā)展情況，在平等、寬容的氛圍中，實現(xiàn)多元化評價，落實過程和結果評價. 這樣，我們及時、有效的反饋和肯定將會極大地調動學生學習的積極性，良好的情感體驗將對學生學習的有效性、持續(xù)性和發(fā)展性起至關重要的作用！

[?] 結束語

課堂上，學生的“學”是關鍵，學生是中心、主角；教師是教學的設計者、活動的組織者與指導者、評價的參與者與鼓勵者，教師幕前當好“配角”，幕后運籌帷幄，只有這樣才能充分發(fā)揮教師的主導作用，充分體現(xiàn)學生的主體地位！

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2] 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準實驗教科書A版選修2-3[M]. 北京：人民教育出版社.2007.

[3] 溫彭年 賈國英. 建構主義理論與教學改革——建構主義學習理論綜述[J]. 教育理論與實踐. 2002，（5）： 17—22.