小學(xué)數(shù)學(xué)典型錯(cuò)例分析及矯正策略

小學(xué)數(shù)學(xué)典型錯(cuò)例分析及矯正策略

編者按：錯(cuò)例是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)后的第一反饋，是直接反映學(xué)生學(xué)習(xí)情況的生成性教學(xué)資源，能夠幫助教師很好地讀懂學(xué)生。以錯(cuò)例的整理與分析為讀懂學(xué)生的切入點(diǎn)，充分挖掘錯(cuò)例中的教學(xué)價(jià)值，才能科學(xué)合理地設(shè)計(jì)、實(shí)施和改進(jìn)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的有效學(xué)習(xí)和教師的專業(yè)發(fā)展。

數(shù)與代數(shù)

【錯(cuò)例】

【診斷】

1.學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的影響。學(xué)生從一步計(jì)算過渡到兩步計(jì)算，是計(jì)算技能的一次飛躍。學(xué)生對(duì)乘（除）加、乘（除）減的算理理解、遞等式的書寫等有一定困難。

2.思維定式的干擾。用原有的運(yùn)算法則與方法干擾新的運(yùn)算法則與方法的學(xué)習(xí)。另外，在日常生活中，看書、寫字等都是習(xí)慣于“從左向右”的順序，這種生活經(jīng)驗(yàn)干擾了學(xué)生對(duì)乘（除）加、乘（除）減運(yùn)算順序的正確深刻理解。

【對(duì)策】

1.深刻理解算理、及時(shí)鞏固練習(xí)。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)算理的理解程度決定了計(jì)算結(jié)果的對(duì)與錯(cuò)。學(xué)生對(duì)算理理解不透徹，掌握不牢固，就很容易造成計(jì)算出錯(cuò)。究其原因，主要是學(xué)生缺乏對(duì)程序性知識(shí)的掌握。因此，在計(jì)算之前，學(xué)生一定要牢固掌握運(yùn)算相關(guān)的程序性知識(shí)，為得出準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果提供保障。

2.打破思維定式，靈活掌握知識(shí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，有許多的計(jì)算是相互聯(lián)系又相互區(qū)別的。在學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)該將那些容易混淆、難以區(qū)分的計(jì)算整理到一起加以辨別，從中明確它們之間的本質(zhì)區(qū)別，掌握兩者間的內(nèi)在聯(lián)系。通過歸納、整理與練習(xí)等方式，來(lái)促進(jìn)思維定式帶來(lái)的正面影響，排除負(fù)面的干擾。提倡學(xué)生看到題目后，先確定運(yùn)算順序，用圈一圈、畫橫線的方法標(biāo)出先算的部分，提示自己按正確的運(yùn)算順序逐步計(jì)算。計(jì)算完成后要回望檢查，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

【錯(cuò)例】

【診斷】

1.抽象思維欠缺。學(xué)生通過操作或直接觀察圖形，解決“比較分?jǐn)?shù)大小”的問題，不會(huì)有太大的障礙，而學(xué)生一旦離開了直觀的圖形，再加上運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用，就顯得有些忙亂，極易混淆。

2.知識(shí)的負(fù)遷移。學(xué)生容易受整數(shù)、小數(shù)大小比較的影響，干擾了異分母分?jǐn)?shù)大小的比較。另外，由于受同分母分?jǐn)?shù)比較大小負(fù)遷移的影響，認(rèn)為分子相同，分母不同時(shí)，分母大的分?jǐn)?shù)就大。

【對(duì)策】

1.加強(qiáng)動(dòng)手操作，深入理解知識(shí)。在教學(xué)中，教師要摒棄“重結(jié)論，輕過程”的教學(xué)，依據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)開展活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生親自動(dòng)手折一折、分一分、畫一畫等實(shí)踐活動(dòng)，感知分?jǐn)?shù)大小比較的方法，讓學(xué)生在小組操作中充分地交換意見、總結(jié)方法，從而深層次理解和發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)大小比較的規(guī)律。

2.構(gòu)建知識(shí)聯(lián)系，促進(jìn)積極遷移。學(xué)習(xí)的積極遷移，需要有必要的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、技能做鋪墊。我們可以在教學(xué)分?jǐn)?shù)比較大小前復(fù)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、同分母分?jǐn)?shù)比較大小的方法，并從數(shù)學(xué)本質(zhì)上理清這些知識(shí)的異同，為學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)比較大小做好孕伏。

【錯(cuò)例】

【診斷】

1.思維定式影響。學(xué)生學(xué)了簡(jiǎn)便計(jì)算后，認(rèn)為所有的運(yùn)算就都可以進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，而當(dāng)碰到不能簡(jiǎn)便的運(yùn)算題時(shí)，就不知所措了。

2.算式結(jié)構(gòu)干擾?！皽愓蹦苁褂?jì)算簡(jiǎn)便，但“湊整”必須建立在正確運(yùn)用運(yùn)算定律的基礎(chǔ)上，不能盲目地追求“湊整”。如上題中，學(xué)生因看到“25×4=100”“23+7= 30”，就誤以為可以把后兩個(gè)數(shù)直接進(jìn)行計(jì)算，從而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的錯(cuò)誤。

【對(duì)策】

1.整體把握知識(shí)，促進(jìn)知識(shí)形成。教師要樹立大計(jì)算教學(xué)觀，簡(jiǎn)便計(jì)算的教學(xué)應(yīng)建立在真實(shí)的計(jì)算教學(xué)背景上，不應(yīng)該脫離計(jì)算教學(xué)來(lái)談簡(jiǎn)便計(jì)算。在教學(xué)簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)，最好把能簡(jiǎn)便與不能簡(jiǎn)便的習(xí)題同時(shí)呈現(xiàn)，讓學(xué)生知道有些習(xí)題通過運(yùn)用運(yùn)算定律能使計(jì)算簡(jiǎn)便，而有些則不能，甚至用了運(yùn)算定律反而使計(jì)算變得復(fù)雜。

2.深刻理解知識(shí)，發(fā)展學(xué)生思維。通過簡(jiǎn)便計(jì)算的學(xué)習(xí)，不僅要讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的簡(jiǎn)潔美，還要培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，切忌讓學(xué)生形成“簡(jiǎn)便計(jì)算就是湊整”的錯(cuò)誤思想。針對(duì)這類錯(cuò)誤，一方面，教師要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)運(yùn)算定律的認(rèn)識(shí)與理解，另一方面還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真負(fù)責(zé)的學(xué)習(xí)態(tài)度，讓他們從小養(yǎng)成用估算或按運(yùn)算順序再算一遍進(jìn)行驗(yàn)算的良好習(xí)慣。

【錯(cuò)例】

【診斷】

運(yùn)算定律理解不透徹。由于乘法結(jié)合律與乘法分配律在表現(xiàn)形式上十分相近，致使一些學(xué)生容易造成知覺上的錯(cuò)誤，誤把乘法結(jié)合律當(dāng)乘法分配律運(yùn)用，這說明學(xué)生對(duì)這兩條運(yùn)算定律的理解還不夠透徹。乘法分配律是乘法對(duì)于兩個(gè)數(shù)的和或差的分配律。而乘法結(jié)合律是幾個(gè)數(shù)連乘時(shí)，可以交換運(yùn)算順序。像上題三個(gè)數(shù)連乘應(yīng)選用乘法交換律或乘法結(jié)合律，而不應(yīng)選用乘法分配律。

【對(duì)策】

1.結(jié)合生活情境，深刻理解知識(shí)。教師不能只是簡(jiǎn)單地從形式入手，告訴學(xué)生括號(hào)里是乘號(hào)時(shí)不能運(yùn)用乘法分配律，只能當(dāng)括號(hào)里是加法或減法時(shí)才能用乘法分配律。而應(yīng)從乘法結(jié)合律和乘法分配律的意義入手，并通過結(jié)合具體的情境讓學(xué)生加以理解，也可以讓學(xué)生對(duì)這兩條運(yùn)算定律進(jìn)行比較，深入地理解乘法結(jié)合律及乘法分配律的意義，自主建構(gòu)起知識(shí)體系。

2.對(duì)比相似知識(shí)，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)。為區(qū)別兩種運(yùn)算定律的不同之處及其運(yùn)用后所產(chǎn)生不同的簡(jiǎn)便程度，可以加深學(xué)生對(duì)這兩種運(yùn)算定律的理解，教師可引導(dǎo)學(xué)生用以下兩種不同的思路加以練習(xí)。

【錯(cuò)例】

【診斷】

1.知識(shí)本質(zhì)認(rèn)識(shí)不到位。判斷一個(gè)分?jǐn)?shù)能否化為有限小數(shù)，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：第一，要求這個(gè)分?jǐn)?shù)是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)；第二，要求這個(gè)分?jǐn)?shù)的分母中只含有因數(shù)2或5。學(xué)生容易把“只要有”代替了“只含有”，如的分母是30，它的因數(shù)中有2和5，學(xué)生就誤認(rèn)為該分?jǐn)?shù)能化為有限小數(shù)。另外，學(xué)生在判斷之前往往沒有先看該分?jǐn)?shù)是否已化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如中分母12的因數(shù)中除了2還有3，學(xué)生就誤認(rèn)為該分?jǐn)?shù)不能化為有限小數(shù)，但該分?jǐn)?shù)還不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

2.已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不豐富。“分?jǐn)?shù)能否化為有限小數(shù)的規(guī)律”的理解非常抽象，學(xué)生基本上沒有什么已有知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)得以借鑒，對(duì)抽象思維能力薄弱的小學(xué)生來(lái)說，容易判斷失誤。

【對(duì)策】

1.巧設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷自主探究。在教學(xué)中，要結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知水平，引導(dǎo)學(xué)生通過猜想、驗(yàn)證、交流、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從分類中進(jìn)行比較和探究，從中發(fā)現(xiàn)“分?jǐn)?shù)能化為有限小數(shù)”的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

2.鼓勵(lì)大膽設(shè)疑，深入理解知識(shí)。教師引導(dǎo)學(xué)生通過舉例驗(yàn)證，完善規(guī)律，讓學(xué)生自由舉出分?jǐn)?shù)，利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律檢驗(yàn)每一個(gè)分?jǐn)?shù)能否化為有限小數(shù)。這樣的教學(xué)，能讓學(xué)生在大膽設(shè)疑、合理猜想、合作討論中，積極參與探索數(shù)學(xué)知識(shí)的形成，從而深入理解一個(gè)分?jǐn)?shù)能否化為有限小數(shù)的規(guī)律，防止學(xué)習(xí)由于對(duì)規(guī)律的不完全理解而導(dǎo)致判斷的錯(cuò)誤。

【錯(cuò)例】

1.5.5中的兩個(gè)“5”表示的意義相同。 （√）

2.小數(shù)都比1小。 （√）

【診斷】

1.知識(shí)的負(fù)遷移。由于學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)是從已有的整數(shù)拓展到小數(shù)的，是數(shù)的認(rèn)識(shí)領(lǐng)域的一次拓展，許多學(xué)生因難以逾越這個(gè)“坎兒”而形成認(rèn)識(shí)盲點(diǎn)。另外，小學(xué)生在長(zhǎng)期學(xué)習(xí)中積累的整數(shù)經(jīng)驗(yàn)特別是大數(shù)的經(jīng)驗(yàn)定式，束縛了他們對(duì)小數(shù)意義的認(rèn)識(shí)，相對(duì)于整數(shù)的大數(shù)而言，有的學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為“小數(shù)比1小”。

2.缺少生活經(jīng)驗(yàn)。小學(xué)生在日常生活中積累的有關(guān)小數(shù)的生活模型較少，生活經(jīng)驗(yàn)的缺失也制約了他們對(duì)小數(shù)意義的理解與建構(gòu)。

【對(duì)策】

1.強(qiáng)調(diào)直觀教學(xué)，注意教學(xué)層次。教學(xué)小數(shù)的意義應(yīng)充分采用直觀教學(xué)的方法，并注意教學(xué)的層次性。第一層次:讓學(xué)生親手量一量課桌、課本、鉛筆、文具盒等身邊的物品，充分體驗(yàn)不能得到整數(shù)結(jié)果的情境，激發(fā)其學(xué)習(xí)小數(shù)知識(shí)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)。第二層次:應(yīng)用米尺通過實(shí)際度量課桌長(zhǎng)度，以“米”作單位，用分?jǐn)?shù)表示幾分米、幾厘米、幾毫米，進(jìn)而抽象為用小數(shù)表示結(jié)果。說明把一個(gè)整體平均分成10份、100份、1000份……這樣的幾份就分別是十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數(shù)表示。一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……第三層次:引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象、從特殊到一般，觀察、思考、分析、歸納，從中認(rèn)識(shí)小數(shù)的產(chǎn)生以及小數(shù)的意義，通過多種活動(dòng)使學(xué)生較好地理解小數(shù)的意義。

2.宏觀把握知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系。教師要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知背景，抓住整數(shù)與小數(shù)知識(shí)的連接點(diǎn)，精心創(chuàng)設(shè)為學(xué)生所熟知的情境，提供足夠的思考空間，改進(jìn)教學(xué)方式，讓學(xué)生親歷小數(shù)的“再創(chuàng)造”過程，發(fā)現(xiàn)、感悟小數(shù)的意義。小數(shù)是從整數(shù)擴(kuò)充來(lái)的，所以整數(shù)知識(shí)對(duì)小數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)會(huì)有兩種遷移作用。一種是正遷移，如整數(shù)的記數(shù)位值原則、十進(jìn)關(guān)系等對(duì)小數(shù)學(xué)習(xí)有促進(jìn)作用；二是負(fù)遷移作用，如小數(shù)大小的比較，數(shù)位名稱及讀法、寫法都會(huì)受整數(shù)知識(shí)思維定式的干擾，因此教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)比，充分利用已有的整數(shù)知識(shí)來(lái)學(xué)習(xí)小數(shù)。

3.聯(lián)系生活實(shí)際，建構(gòu)小數(shù)意義。在日常教學(xué)中應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生將小數(shù)知識(shí)與實(shí)際生活相聯(lián)系，深刻理解小數(shù)的意義，如，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)生活后寫一寫數(shù)學(xué)日記《生活中的小數(shù)》等。

【錯(cuò)例】

小麗m歲，媽媽（m+a）歲，b年后，媽媽比小麗大（A）歲。

A．a(chǎn)+b B.a-b C.a D.b

【診斷】

代數(shù)知識(shí)抽象。學(xué)生不能接受字母可以像數(shù)一樣參與運(yùn)算等特征，在用字母表示數(shù)的練習(xí)中，學(xué)生不容易分清每個(gè)代數(shù)式的意義，在理解題意時(shí)容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。

【對(duì)策】

1.重視學(xué)習(xí)過程，感受代數(shù)思想。怎樣讓學(xué)生理解“為什么要用字母表示數(shù)”“在什么情況下用字母表示數(shù)”呢？在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)重視利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，使學(xué)生經(jīng)歷由符號(hào)表示數(shù)過渡到用字母表示數(shù)。在這一過程中，可以讓學(xué)生先自己觀察，解決問題，然后同學(xué)之間再互相啟發(fā)、互相補(bǔ)充，在解決問題的過程中深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)。

2.聯(lián)系生活實(shí)際，加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。用字母表示數(shù)的教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，由符號(hào)表示數(shù)過渡到用字母表示具體的數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)、認(rèn)識(shí)到用字母表示數(shù)在實(shí)際生活和學(xué)習(xí)中的廣泛應(yīng)用。再讓學(xué)生列舉生活中見過的用字母表示數(shù)的例子，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊，同時(shí)增強(qiáng)對(duì)用字母表示的數(shù)的認(rèn)識(shí)。

【錯(cuò)例】

【診斷】

1.忽視算理理解。教師只重視計(jì)算操作技能的形成，卻忽視相關(guān)算理的理解，也就是片面地向?qū)W生強(qiáng)調(diào)“因數(shù)有幾位小數(shù)，積就有幾位小數(shù)”這一計(jì)算操作技能，而忽略了對(duì)積中小數(shù)點(diǎn)由來(lái)的探究。

2.數(shù)學(xué)體驗(yàn)不足。學(xué)生不能從小數(shù)乘法法則的“再創(chuàng)造”活動(dòng)中獲得豐富的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，導(dǎo)致學(xué)生給積點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)時(shí)盲目、隨意，缺乏準(zhǔn)確性。

【對(duì)策】

1.自主探究算理，鞏固基本技能。在教學(xué)中，教師要注意放手讓學(xué)生去探究小數(shù)乘法法則，引導(dǎo)學(xué)生充分交流、互相分享，讓學(xué)生深刻理解處理積中小數(shù)點(diǎn)的算理，形成自覺、正確地給積加上小數(shù)點(diǎn)的技能。

2.加強(qiáng)合作交流，提升計(jì)算能力。在小數(shù)乘法的教學(xué)中，教師可以從“合作交流”的教學(xué)方式入手，讓學(xué)生對(duì)小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法的策略充分交流、評(píng)價(jià)、質(zhì)疑，從而理解、內(nèi)化小數(shù)點(diǎn)的處理策略。這里需要注意的是，學(xué)生的交流并不能簡(jiǎn)單地停留于“說”的層面上，也就是說并非是將各種觀點(diǎn)進(jìn)行“堆砌”，而是要引導(dǎo)學(xué)生互相評(píng)析、質(zhì)疑、比較，讓學(xué)生在積極主動(dòng)的交流互動(dòng)中，實(shí)現(xiàn)思維的激活、碰撞，深刻理解小數(shù)乘法中積的變化規(guī)律，進(jìn)而正確處理好積中小數(shù)點(diǎn)的問題，提升學(xué)生的計(jì)算技能。

【錯(cuò)例】

一根繩子長(zhǎng)90%米。 （√）

【診斷】

1.概念理解不清。對(duì)百分?jǐn)?shù)的意義缺乏深度理解，即對(duì)“百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾”“指兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系”的實(shí)際內(nèi)涵理解不清。

2.知識(shí)關(guān)系模糊。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)，它與分?jǐn)?shù)既有聯(lián)系又有區(qū)別，不少學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系容易混淆，把分?jǐn)?shù)可以表示具體的數(shù)量的用途遷移到百分?jǐn)?shù)中，導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。

【對(duì)策】

1.創(chuàng)設(shè)生活情境，自主建構(gòu)概念。在日常教學(xué)中，教師要在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，聯(lián)系生活實(shí)際，留給學(xué)生充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在具體的生活素材中去積累對(duì)百分?jǐn)?shù)的感性認(rèn)識(shí)，從而自主構(gòu)建“百分?jǐn)?shù)”的概念。

2.加強(qiáng)知識(shí)對(duì)比，理清相互關(guān)系。組織學(xué)生通過小組合作學(xué)習(xí)，比較百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的異同，通過積極思考，與同伴的交流，進(jìn)一步理解百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的區(qū)別與聯(lián)系，獲得正確的認(rèn)識(shí)。

【診斷】

1.概念認(rèn)識(shí)不清。對(duì)倒數(shù)的定義缺乏本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，即對(duì)“積是1”“兩個(gè)數(shù)”“互為倒數(shù)”等知識(shí)的實(shí)際含義以及互相關(guān)系并沒有真正弄懂。

2.知識(shí)理解偏差。學(xué)生容易認(rèn)為倒數(shù)就是“倒過來(lái)”“顛倒一下”“上下對(duì)調(diào)”“結(jié)果是1”，理解錯(cuò)誤而出現(xiàn)概念偏差。倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)之間的一種特殊關(guān)系，即這兩個(gè)數(shù)的積是1。在此前提下，才有兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)的概念。

【錯(cuò)例】

【對(duì)策】

1.基于已有經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷知識(shí)形成。讓學(xué)生從自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，經(jīng)歷思考、概括或發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論的過程。針對(duì)學(xué)生在求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)時(shí)，認(rèn)為只要把這個(gè)數(shù)倒過來(lái)或兩個(gè)數(shù)的計(jì)算結(jié)果等于1，這兩個(gè)數(shù)就成互為倒數(shù)的錯(cuò)誤情形，教師可以讓學(xué)生從自學(xué)課本入手，以已有的經(jīng)驗(yàn)來(lái)解釋“積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”這句話；通過師生共同交流的方式，從初步剖析意義到深入探究倒數(shù)的意義，學(xué)生在活動(dòng)中經(jīng)歷獨(dú)立思考、探究問題、應(yīng)用知識(shí)的全過程，突出學(xué)生的主體地位，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的能動(dòng)性。

2.加強(qiáng)變式練習(xí)，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)。在“倒數(shù)”教學(xué)的練習(xí)環(huán)節(jié)應(yīng)該加強(qiáng)變式練習(xí)，如0.2的倒數(shù)是（ ），1的倒數(shù)是（ ）等。在學(xué)生思考“0.2×5=1”所以0.2的倒數(shù)是5,“1×1=1”所以1的倒數(shù)是它本身的過程中，引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)思考問題，而不僅僅從知識(shí)的表現(xiàn)形式出發(fā)思考問題，有助于學(xué)生形成對(duì)倒數(shù)這一概念正確而深刻的認(rèn)識(shí)。

（楊志宇）

圖形與幾何

【錯(cuò)例】

上海在北京南偏東約30°的方向上，北京在上海的西偏北約（ ）的方向上。

錯(cuò)解：30°

【診斷】

1.學(xué)習(xí)方式不當(dāng)。學(xué)生普遍存在著通過死記硬背的學(xué)習(xí)方式來(lái)解決此類問題。如：給出A在B的東（西）偏北（南）方向上，反過來(lái)B就在A的相反方向上，B在A西（東）偏南（北）上，但度數(shù)是不變的。這樣的學(xué)習(xí)方式并沒有達(dá)到對(duì)知識(shí)的真正理解，沒有真正掌握解決問題的方法。當(dāng)題目加以變化時(shí)（改變了方向的表述順序），學(xué)生就不能靈活加以解決。

2.推理能力不足。學(xué)生在學(xué)習(xí)“位置與方向”這一領(lǐng)域的內(nèi)容時(shí)，較多地經(jīng)歷了測(cè)量、描述物體的位置的活動(dòng)，但缺乏對(duì)方向標(biāo)中的角度進(jìn)行計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，思考缺乏方向。學(xué)生在解決此類問題時(shí)，不能在已知和未知之間建立橋梁，不能通過構(gòu)造三角形來(lái)溝通各個(gè)角之間的聯(lián)系，不能借助兩條直線的垂直關(guān)系、三角形的內(nèi)角和等知識(shí)綜合解決問題。

【對(duì)策】

1.優(yōu)化學(xué)習(xí)方式。在教學(xué)中，要避免死記硬背的學(xué)習(xí)方式，要設(shè)法激活學(xué)生的思維，把問題拋給學(xué)生，讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、猜想、測(cè)量、討論等活動(dòng)過程；要切實(shí)突出學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)，交流不同的想法，總結(jié)解題的方法，積累解題的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)到解決此類題有三個(gè)步驟：一是根據(jù)問題確定好觀測(cè)點(diǎn)，二是以觀測(cè)點(diǎn)為中心建立方向標(biāo)；三是想辦法求出方向角的度數(shù)。

2.滲透推理方法。在解決復(fù)雜問題之前，引導(dǎo)學(xué)生思考這樣三個(gè)問題：已知是什么（題目給了哪些信息）？未知是什么（要解決的問題是什么）？已知和未知之間如何建立聯(lián)系？在本題中，已知是∠1=30°，未知是∠2等于多少度，如何溝通∠1和∠2之間的聯(lián)系呢？將以北京為觀測(cè)點(diǎn)的向南方向直線延長(zhǎng)，將以上海為觀測(cè)點(diǎn)的向西方向直線延長(zhǎng)，兩條直線交于點(diǎn)O，根據(jù)方向標(biāo)中東西方向的直線和南北方向的直線互相垂直的特點(diǎn)，知道∠O=90°，在三角形ABO中，能夠求出∠2=180°－90°－30°=60°，從而成功解決問題。

【錯(cuò)例】

用一些小正方體搭成一個(gè)立體圖形，從三個(gè)不同方向看到的形狀如下。

搭成的立體圖形一共有多少個(gè)小正方體？

錯(cuò)解一：9個(gè)

錯(cuò)解二：10個(gè)

【診斷】

1.重觀察，輕想象。學(xué)生較多經(jīng)歷了從不同方向觀察實(shí)物或立體圖形得到平面圖形，這樣的由三維圖形到二維圖形的轉(zhuǎn)換活動(dòng)，卻很少經(jīng)歷由從不同方向看得到的平面圖形想象出實(shí)物或立體圖形，這樣的由二維圖形到三維圖形的轉(zhuǎn)換活動(dòng)，導(dǎo)致學(xué)生的空間想象力沒有得到有效地鍛煉，學(xué)生的空間觀念沒有得到很好地建立。

2.重操作，輕感悟。對(duì)于上面的問題，教師們普遍重視借助直觀教學(xué)具還原立體圖形，這樣處理，實(shí)現(xiàn)了問題的快速解決。但由于教師缺乏引領(lǐng)學(xué)生在頭腦中想象、感悟各個(gè)位置小正方體層數(shù)的確定方法，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于直觀教學(xué)具的過度依賴，出現(xiàn)離開直觀教學(xué)具就不能正確解答的現(xiàn)象。

【對(duì)策】

1.觀察和想象并重。三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的主要途徑。在學(xué)習(xí)“觀察物體”這部分內(nèi)容時(shí)，在開展從不同方向觀察實(shí)物或立體圖形得到的平面圖形活動(dòng)之后，還要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生由不同方向看得到的平面圖形，去想象實(shí)物或立體圖形。

如：教材中有很多與下面題目類似的問題：

（1）分別畫出從正面、左面、上面觀察下面的立體圖形得到的平面圖形。

教師在教學(xué)上面的題目之后，可以即時(shí)跟進(jìn)出示這樣的題目：

（2）用一些小正方體搭成一個(gè)立體圖形，從三個(gè)不同方向看到的形狀如下。

搭成的立體圖形一共有多少個(gè)小正方體？

問題（1）重在培養(yǎng)學(xué)生由三維圖形到二維圖形的觀察能力，學(xué)生在平時(shí)接觸較多，在問題（1）的基礎(chǔ)上，教師如果順勢(shì)提出問題（2），有利于促進(jìn)學(xué)生根據(jù)從某一方向看得到的平面圖形，想象立體圖形的可能情況，綜合根據(jù)三個(gè)方向看得到的平面圖形，還原出立體圖形，這樣通過由二維圖形到三維圖形的轉(zhuǎn)換，有利于發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和空間觀念。

2.操作和感悟并行。在學(xué)生借助小正方體學(xué)具進(jìn)行動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，教師要努力引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中進(jìn)行想象，通過比較、推理，尋找確定各個(gè)位置的小正方體的層數(shù)的方法，積累解決此類問題的經(jīng)驗(yàn)。

首先根據(jù)上面看得到的平面圖形，可以知道A、B、C、D、E、F六個(gè)位置至少有1層小正方體。（如下圖）

然后結(jié)合正面看得到的平面圖形，可以確定C、E、F三個(gè)位置各有1層小正方體。（如下圖）

最后結(jié)合左面看得到的平面圖形，可以確定另外A、B處各有2層小正方體，D處有1層小正方體。（如下圖）

所以，搭成的立體圖形一共有8個(gè)小正方體。如下圖所示。

【錯(cuò)例】

一根圓柱形的木料長(zhǎng)10米，截成長(zhǎng)度相等的25段，表面積增加了6平方米，原來(lái)的木料的體積是多少立方米？

錯(cuò)解一：6÷25=0.24（平方米）

0.24×10=2.4（立方米）

錯(cuò)解二：6÷50=0.12（平方米）

0.12×10=1.2（立方米）

錯(cuò)解三：6÷24=0.25（平方米）

0.25×10=2.5（立方米）

【診斷】

1.思維缺乏敏感性。錯(cuò)解一的學(xué)生認(rèn)為“增加的表面積÷截的段數(shù)=圓柱的底面積”，錯(cuò)解二的學(xué)生認(rèn)為“每段都多出兩個(gè)底面”，錯(cuò)解三的學(xué)生認(rèn)為“增加的表面積÷截的次數(shù)=圓柱的底面積”，這些學(xué)生的思維不夠敏感，并沒有意識(shí)到增加的表面積與截圓柱的段數(shù)、次數(shù)之間的關(guān)系的易錯(cuò)之處，在分析問題過程中沒有給予足夠的重視和深入的分析。

2.分析缺乏直觀性。學(xué)生分析和解決此類問題時(shí)，沒有養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，不能借助直觀圖形進(jìn)行分析、推理，而是憑空在頭腦中粗略地得出增加的表面積與截圓柱的段數(shù)、次數(shù)之間的關(guān)系，導(dǎo)致列式出錯(cuò)。

3.思考缺乏深刻性。部分學(xué)生對(duì)于段數(shù)較少的簡(jiǎn)單問題，可以直接數(shù)出增加的截面數(shù)。但面臨段數(shù)較多的復(fù)雜問題時(shí)，并沒有從中發(fā)現(xiàn)增加的截面數(shù)與段數(shù)之間的關(guān)系，思考不夠深刻，解題能力不足。

【對(duì)策】

1.積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在教學(xué)中，要避免將結(jié)論直接告訴學(xué)生的簡(jiǎn)單做法，而是要努力創(chuàng)造條件讓學(xué)生通過動(dòng)手操作活動(dòng)，從中體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。對(duì)于截圓柱增加的表面積問題，可以讓學(xué)生親自動(dòng)手切火腿腸段，從中體會(huì)截的段數(shù)與截的次數(shù)之間的關(guān)系，增加的截面數(shù)與截的次數(shù)之間的關(guān)系。

2.嘗試畫圖分析。在解答圖形與幾何部分的習(xí)題時(shí)，要注重對(duì)學(xué)生畫圖習(xí)慣的培養(yǎng)，通過畫圖將相對(duì)抽象的思考對(duì)象圖形化，借助圖形的直觀幫助分析、解決問題。對(duì)于上面的問題，通過畫圖，能夠得出一組截的段數(shù)、截的次數(shù)與增加的截面數(shù)的具體數(shù)據(jù)（下圖中，截的段數(shù)是3，截的次數(shù)是2，增加的截面數(shù)是4），這些數(shù)據(jù)為下一步發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系提供了素材。

3.逐步抽象歸納。結(jié)合直觀圖形，將截的段數(shù)、截的次數(shù)、增加的截面數(shù)的幾組數(shù)據(jù)整理到下表中：

2 4 6截的段數(shù)截的次數(shù)增加的截面數(shù)2 3 4 1 2 3

在些基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律：

（1）截的次數(shù)=截的段數(shù)－1；

（2）增加的截面數(shù)=截的次數(shù)×2。

有了這樣的發(fā)現(xiàn)，上面的問題很容易就解決了。截的段數(shù)是25段，截的次數(shù)是24次，增加的截面數(shù)是48。表面積增加了6平方米，每個(gè)截面的面積（圓柱的底面積）是6÷48=0.125（平方米）。原木料的體積為0.125×10= 1.25（立方米）。

【錯(cuò)例】

如圖，某公園有四塊圓心角是90°的扇形的草坪，它們的周長(zhǎng)都是285.6米，這四塊草坪的總面積是多少平方米？

錯(cuò)解：

285.6×4÷2÷3.14≈181.91（米）

3.14×181.912≈103906.52（平方米）

【診斷】

1.概念建構(gòu)模糊。由于受圓的周長(zhǎng)的概念的影響，圓的周長(zhǎng)是圓一周的長(zhǎng)度，部分學(xué)生在研究半圓的周長(zhǎng)和圓心角是90°的扇形的周長(zhǎng)時(shí)，只關(guān)注了曲邊的長(zhǎng)度與圓周長(zhǎng)之間的關(guān)系，而忽略了對(duì)圓的直徑和半徑的考慮，認(rèn)為半圓的周長(zhǎng)等于整個(gè)圓周長(zhǎng)的，圓心角是90°的扇形的周長(zhǎng)是整個(gè)圓周長(zhǎng)的，從而導(dǎo)致出錯(cuò)。

2.解題策略欠缺。一部分學(xué)生認(rèn)識(shí)到圓心角是90°的扇形的周長(zhǎng)等于整個(gè)圓周長(zhǎng)的加2條半徑的長(zhǎng)，但缺少進(jìn)一步求解的策略。也有一部分學(xué)生僅僅局限于從一個(gè)圓心角是90°的扇形的部分研究周長(zhǎng)和面積，缺乏將四個(gè)圓心角是90°的扇形拼成一個(gè)完整的圓的角度研究周長(zhǎng)和面積，導(dǎo)致解題過程繁瑣，容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。

【對(duì)策】

1.開展對(duì)比分析，準(zhǔn)確建構(gòu)概念。抽象的概念能否在具體問題中正確運(yùn)用，是檢驗(yàn)學(xué)生概念建構(gòu)是否準(zhǔn)確的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于“封閉圖形一周的長(zhǎng)度，是它的周長(zhǎng)?！边@一概念,可以抓住一組典型題進(jìn)行對(duì)比分析。

計(jì)算下面各圖形的周長(zhǎng)：

通過研究圓形、半圓形、圓心角是90°的扇形、半圓環(huán)的周長(zhǎng)，理清相近概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生準(zhǔn)確建構(gòu)周長(zhǎng)概念。

2.滲透數(shù)學(xué)思想，豐富解題策略。有針對(duì)性地滲透數(shù)學(xué)思想對(duì)于豐富學(xué)生的解題策略，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新解決問題的能力意義重大。上面的問題中，由圓心角是90°的扇形的周長(zhǎng)求扇形的半徑不容易直接求解，而如果設(shè)圓心角是90°的扇形的半徑為r米，可以列出方程（2×3.14×r）÷4＋2r=285.6，進(jìn)而求出圓心角是90°的扇形的半徑。

運(yùn)用整體思想分析問題，容易獲得更簡(jiǎn)捷的求解路徑。上面的問題中，每個(gè)圓心角是90°的扇形的周長(zhǎng)是整個(gè)圓周長(zhǎng)的加2條半徑的長(zhǎng)，4個(gè)圓心角是90°的扇形的周長(zhǎng)就是整個(gè)圓的周長(zhǎng)加8條半徑的長(zhǎng)，容易列出方程2×3.14×r＋8r=285.6×4，求出圓心角是90°的扇形的半徑“r=80”后，求4個(gè)圓心角是90°的扇形的總面積，也就是求整個(gè)圓的面積3.14×802=20096（平方米）。

【錯(cuò)例】

如圖，一塊長(zhǎng)方體的木料（圖中單位：厘米）。把這塊木料加工成一個(gè)最大的圓柱。這個(gè)圓柱的體積是多少立方厘米？

錯(cuò)解：3.14×（4÷2）2×8=12.56×8=100.48（立方厘米）

【診斷】

1.原有認(rèn)識(shí)的負(fù)遷移。學(xué)生的原有知識(shí)對(duì)解決本題產(chǎn)生的負(fù)遷移主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是相似問題的負(fù)遷移。在三年級(jí)解決“在一張長(zhǎng)形紙上剪下最大的正方形”這一類的問題時(shí)，要以長(zhǎng)方形的短邊為正方形的邊長(zhǎng)。導(dǎo)致多數(shù)學(xué)生直接將其遷移到本題中，只要以長(zhǎng)方體的底面的短邊長(zhǎng)4厘米為圓柱的直徑，就可以得到最大的圓柱。在圓柱和圓錐這一單元的習(xí)題中，涉及到把正方體木料加工成最大的圓柱的問題，由于正方體的各個(gè)面的形狀和大小相同，掩蓋了把長(zhǎng)方體木料加工成最大的圓柱問題的復(fù)雜性；二是生活經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移。學(xué)生通過見到的圓柱都是正立的，底面朝下，導(dǎo)致多數(shù)學(xué)生認(rèn)為本題的最大的圓柱也是正立的，底面在長(zhǎng)方體木料的底面上。

2.知識(shí)建構(gòu)的片面性。在教學(xué)中，教師沒有引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形形成多角度的認(rèn)識(shí)：一是缺乏多角度觀察。“橫看成嶺側(cè)成峰”，以觀察圓柱為例，可以將圓柱的底面上下放置，也可以將圓柱的底面左右放置，還可以將圓柱的底面前后放置，學(xué)生尤其缺乏將圓柱的底面前后放置的觀察經(jīng)驗(yàn)。二是忽視多角度計(jì)算。把長(zhǎng)方體木料加工成最大的圓柱，需要根據(jù)圓柱的底面在長(zhǎng)方體的上（下）、左（右）、前（后）面進(jìn)行多角度計(jì)算。由于學(xué)生缺乏對(duì)圖形的多角度觀察和計(jì)算，導(dǎo)致學(xué)生解決上面的問題角度單一，因考慮不全面而出錯(cuò)。

【對(duì)策】

1.開展專題研究，促進(jìn)知識(shí)正遷移。對(duì)于圓柱體積最大問題，可以開展一次專題研究，將以下問題集中歸類研究：

（1）一張長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)是20厘米，寬是10厘米。以這個(gè)長(zhǎng)方形紙一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的最大圓柱的體積是多少？

（2）一張長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)是9.42厘米，寬是12.56厘米。將這個(gè)長(zhǎng)方形紙卷成圓柱，得到的最大圓柱的體積是多少？

通過此類問題的研究，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到最大圓柱問題的多種情況，尋找多樣化的思考角度，從而深化學(xué)生對(duì)于此類問題的認(rèn)識(shí)。

2.發(fā)展求異思維，優(yōu)化思維品質(zhì)。學(xué)生解決問題之后，要注重引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)問題：一是本題還有沒有其他解法?二是本題還有沒有其他情況？從而促進(jìn)學(xué)生形成反思性學(xué)習(xí)的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的求異思維，提高學(xué)生思維的靈活性和深刻性。如，本題學(xué)生列出3.14×（4÷ 2）2×8這個(gè)算式后，引導(dǎo)學(xué)生思考，本題還有沒有其他情況，從而將學(xué)生認(rèn)為圓柱的底面在長(zhǎng)方體木料的上、下面的片面認(rèn)識(shí)，擴(kuò)展到圓柱的底面還可以在長(zhǎng)方體木料的左、右面和前、后面的全面認(rèn)識(shí)。進(jìn)而分別求出各種情況時(shí)圓柱的體積：

圓柱的底面在長(zhǎng)方體的上、下面時(shí)，圓柱的體積= 3.14×（4÷2）2×8=12.56×8=100.48（立方厘米）；

圓柱的底面在長(zhǎng)方體的左、右面時(shí)，圓柱的體積= 3.14×（4÷2）2×6=12.56×6=75.36（立方厘米）；

圓柱的底面在長(zhǎng)方體的前、后面時(shí)（如右圖），圓柱的體積=3.14×（6÷2）2×4=28.26× 4=113.04（立方厘米）。

通過比較發(fā)現(xiàn)，在本題中，圓柱的底面在長(zhǎng)方體的前、后面時(shí)，圓柱的體積最大，圓柱的最大體積是113.04立方厘米。

（孫立革）

統(tǒng)計(jì)與概率

【錯(cuò)例】

投擲3次硬幣，有2次正面朝上，有1次反面朝上，那么，第4次投擲硬幣正面朝上的可能性是（ ）。

錯(cuò)解：D

【診斷】

1.忽略了客觀事實(shí)。一枚硬幣只有正、反兩個(gè)面，拋硬幣的結(jié)果一共有2種情況，正面朝上或者反面朝上，這是最客觀、最自然的事實(shí)。

2.經(jīng)驗(yàn)不恰當(dāng)遷移。生活中如果某一件事情經(jīng)常發(fā)生，我們往往會(huì)把它與別的事情聯(lián)系起來(lái)。上例中因?yàn)榍?次投擲硬幣，有2次正面朝上，正面朝上的次數(shù)占總次數(shù)的，所以就誤以為后面投擲硬幣正面朝上的可能性也是。而實(shí)際上，每次投擲硬幣都是獨(dú)立事件，硬幣正面朝上的概率不受前面所投的次數(shù)的影響，不管前面發(fā)生什么，再次擲硬幣正面朝上的可能性還是。

【對(duì)策】

1.發(fā)揮生活經(jīng)驗(yàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的積極作用，防止生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)理解的干擾。在“可能性”教學(xué)中，要注意選取學(xué)生熟悉的生活情境及感興趣的游戲活動(dòng)作為教學(xué)素材，但要防止學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)理解造成干擾，從而影響了數(shù)學(xué)判斷。

2.重視活動(dòng)與反思，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)與交流過程中，體驗(yàn)可能性的大小，發(fā)展統(tǒng)計(jì)觀念。描述可能性的大小通常有兩種辦法，一是直接用數(shù)據(jù)來(lái)刻畫，如“從一個(gè)裝有4個(gè)黃球、1個(gè)白球的盒子里摸一個(gè)球”，可以說“摸到黃球的可能性為80%”；二是通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)描述，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)提出猜想，并嘗試解釋“摸到黃球可能性大”的含義。

【錯(cuò)例】

有7個(gè)球，上面分別寫著1、2、3、4、5、6、7?，F(xiàn)在把這7個(gè)球裝入一個(gè)不透明的袋中，每次任意摸出一個(gè)再放回。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)公平的游戲規(guī)則。

錯(cuò)解：任意摸出一個(gè)，摸到奇數(shù)的算甲贏，摸到偶數(shù)的算乙贏。

【診斷】

1.原理理解不透徹。雖然“可能性”是生活中的常見現(xiàn)象，但將其從生活中抽象出來(lái)，學(xué)生仍然會(huì)感到有些陌生。學(xué)生沒有在活動(dòng)操作中體驗(yàn)可能性大小和游戲規(guī)則的公平性的聯(lián)系，就不能理解怎樣的游戲規(guī)則是公平的規(guī)則。

2.情況列舉不全面。學(xué)生沒有根據(jù)“游戲各方贏的可能性相等——游戲規(guī)則公平”這一數(shù)學(xué)模型來(lái)設(shè)計(jì)公平的游戲規(guī)則，對(duì)甲乙雙方贏的可能性沒有充分列舉。在1到7這7個(gè)數(shù)中，奇數(shù)偶數(shù)的個(gè)數(shù)不同，游戲各方贏的可能性自然不會(huì)相等。

【對(duì)策】

1.在活動(dòng)中體驗(yàn)。要通過“摸球”“玩轉(zhuǎn)盤”等游戲活動(dòng)，討論游戲規(guī)則是否公平，并通過動(dòng)手實(shí)踐，初步感受游戲規(guī)則公平的原理；能自己嘗試設(shè)計(jì)使雙方都公平的游戲。通過“提出問題——開展辯論——得出結(jié)論——試驗(yàn)驗(yàn)證——分析數(shù)據(jù)——修改規(guī)則——自己設(shè)計(jì)新游戲規(guī)則”這一系列的活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中獲得直觀感受，從而體會(huì)事件發(fā)生的可能性和游戲規(guī)則的公平性之間的聯(lián)系。

2.經(jīng)歷建模過程。建模的過程就是數(shù)學(xué)化的過程，從生活情境抽象為數(shù)學(xué)問題，在這個(gè)過程中培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合、抽象等能力。我們應(yīng)該從學(xué)生熟悉的“摸球”游戲出發(fā)，將事件發(fā)生的可能性和游戲規(guī)則的公平性建立聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“創(chuàng)設(shè)情境、初次建模——體驗(yàn)驗(yàn)證、抽象模型——鞏固深化、應(yīng)用模型”的全過程。

3.加強(qiáng)對(duì)比辨析。在教學(xué)中合理地運(yùn)用比較的方法，不僅可以幫助學(xué)生建立概念、理解概念，而且有利于學(xué)生在頭腦中建立起事物或概念間的內(nèi)在聯(lián)系。無(wú)論是摸球游戲活動(dòng)，還是練習(xí)應(yīng)用，都把公平的和不公平的游戲放在一起，讓學(xué)生在辨析游戲規(guī)則是否公平中，多次感受游戲規(guī)則公平的原理，深化對(duì)游戲規(guī)則公平性的體驗(yàn)。

【錯(cuò)例】

小明和爸爸到離家60千米的野外春游，去時(shí)每小時(shí)行10千米，返回時(shí)每小時(shí)行15千米，他們往返的平均速度是每小時(shí)幾千米？

錯(cuò)解：（10+15）÷2=12.5（千米）

【診斷】

1.平均數(shù)意義理解錯(cuò)誤。產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是對(duì)“平均速度”與“速度的平均值”這兩個(gè)概念混淆，錯(cuò)誤地認(rèn)為速度的平均值就是平均速度。

2.數(shù)量關(guān)系模型沒有建立。求一段路程的平均速度，先要知道這段路程的總距離及行完這段路程所用的總時(shí)間，然后根據(jù)“距離÷時(shí)間=速度”的關(guān)系求出平均速度。

【對(duì)策】

1.實(shí)際引入平均數(shù)概念。結(jié)合實(shí)際問題，例如男女生套圈比賽，問學(xué)生哪個(gè)隊(duì)會(huì)獲勝，引導(dǎo)學(xué)生交流、思考。學(xué)生認(rèn)識(shí)到在人數(shù)不同的情況下，比總數(shù)顯然不公平；而平均數(shù)能代表他們的整體情況，因此感受平均數(shù)是實(shí)際生活的需要，也產(chǎn)生了學(xué)習(xí)“平均數(shù)”的需求。教學(xué)只有組織了這個(gè)過程，學(xué)生對(duì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義以及作用才有比較深刻的理解，也才能在面臨相類似問題時(shí)，能自主地想到用平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，去進(jìn)行比較和分析。

2.有效理解平均數(shù)意義?！捌骄鶖?shù)”是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是能刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。教學(xué)中我們不能單純地進(jìn)行求平均數(shù)的練習(xí)，而應(yīng)該將學(xué)習(xí)平均數(shù)放在完整的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)中，在描述數(shù)據(jù)、進(jìn)行整體水平對(duì)比的過程中，深化“平均數(shù)是一種統(tǒng)計(jì)量”的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度學(xué)習(xí)平均數(shù)。

3.自主探索平均數(shù)算法。教學(xué)中應(yīng)采用自主探究的方式讓學(xué)生自己探索出求平均數(shù)的方法：先合再分或移多補(bǔ)少。然后引導(dǎo)學(xué)生感受到這兩種方法的本質(zhì)都是讓原來(lái)不相同的數(shù)變得相同，從中引出求平均數(shù)的方法。同時(shí)可以適時(shí)滲透平均數(shù)處于一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之間，能反映整體水平，但不能代表每個(gè)個(gè)體的情況，幫助學(xué)生對(duì)平均數(shù)這一概念獲得更為深刻和全面的認(rèn)識(shí)。

4.激活學(xué)生內(nèi)在的發(fā)展?jié)撃?。在求平均?shù)應(yīng)用題中，經(jīng)常有學(xué)生將兩個(gè)平均數(shù)相加除以2，這是平均數(shù)應(yīng)用題中極易出錯(cuò)的典型問題。例如，三年級(jí)一班男生平均身高是147厘米，女生平均身高是143厘米。我們可以對(duì)這個(gè)素材進(jìn)行深度挖掘，引導(dǎo)討論：什么樣的情況下，全班身高的平均數(shù)是（147+143）÷2=145厘米？假如男生人數(shù)多一些，全班身高的平均數(shù)比145大還是小？為什么？假如女生人數(shù)多一些呢？進(jìn)行多次討論，讓學(xué)生享受數(shù)學(xué)思維帶來(lái)的樂趣。

【錯(cuò)例】

下面的統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表記錄了小林家五月份部分費(fèi)用的支出情況。請(qǐng)把表格填寫完整。

支出金額/元所占百分比——支出項(xiàng)目合計(jì)水電、通訊等費(fèi)用伙食費(fèi)其他費(fèi)用600 35%

錯(cuò)解：

支出項(xiàng)目合計(jì)水電、通訊等費(fèi)用伙食費(fèi)其他費(fèi)用所占百分比——40% 35% 25%支出金額/元2400 960 840 600

【診斷】

1.對(duì)扇形認(rèn)識(shí)有缺陷。扇形統(tǒng)計(jì)圖能反映部分與整體的關(guān)系，是通過扇形圓心角的度數(shù)占整個(gè)圓周角度數(shù)的百分?jǐn)?shù)來(lái)表示的，缺少了對(duì)扇形認(rèn)知的支撐，就很難把握扇形統(tǒng)計(jì)圖部分與整體的關(guān)系。

2.圖表綜合能力薄弱。學(xué)生雖然對(duì)扇形統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表具備了一定的感性認(rèn)識(shí)，但是對(duì)圖表所呈現(xiàn)信息進(jìn)行綜合加工的能力不強(qiáng)，導(dǎo)致扇形統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表提供的信息匹配失誤。

3.知識(shí)體系構(gòu)建不牢。上例圖表中問題涉及百分?jǐn)?shù)意義以及應(yīng)用、扇形與圓的關(guān)系等知識(shí)，尤其是根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，實(shí)際上就是不同類型的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的計(jì)算，應(yīng)按照百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題思路和解題方法進(jìn)行計(jì)算。

【對(duì)策】

1.充分感知材料。扇形統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)是基于折線統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖以及圓的知識(shí)。由于教材編排對(duì)于扇形比較簡(jiǎn)略，因此，教學(xué)時(shí)要充分考慮學(xué)生的知識(shí)現(xiàn)狀，從扇形的感性認(rèn)識(shí)入手組織教學(xué)，由淺入深地認(rèn)識(shí)扇形統(tǒng)計(jì)圖的特征和用途。

2.系統(tǒng)建構(gòu)認(rèn)知。要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)例認(rèn)識(shí)扇形統(tǒng)計(jì)圖，并聯(lián)系百分?jǐn)?shù)的意義，對(duì)扇形統(tǒng)計(jì)圖提供的信息進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析。根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，應(yīng)按照百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題思路和解題方法進(jìn)行計(jì)算，例如已知總數(shù)量和部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)量的百分?jǐn)?shù)，求部分?jǐn)?shù)量實(shí)質(zhì)上就是求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，用乘法計(jì)算。

3.提升信息獲取能力。要培養(yǎng)學(xué)生從相關(guān)聯(lián)的圖表中獲取信息的能力。既要從整體上觀察統(tǒng)計(jì)圖中的項(xiàng)目信息，看出各部分占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)，又要進(jìn)行對(duì)比觀察，尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，獲得解題思路，解決實(shí)際問題。

【錯(cuò)例】

有一個(gè)裝有進(jìn)、出水管的容器，每分鐘進(jìn)、出水量都是一定的。如果從某時(shí)刻開始的4分鐘內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的6分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水，得到的水量與時(shí)間之間的關(guān)系如圖。10分鐘后，如果只出水不進(jìn)水，容器中的水多少分鐘可以放完？

錯(cuò)解1：

32÷（20÷4）

=32÷5

=6.4（分鐘）

錯(cuò)解2：

32÷[（32-12）÷（10-4）]

=32÷2

=16（分鐘）

【診斷】

1.對(duì)數(shù)量的增減變化理解有誤。圖中反映水量變化的折線依次表示“4分鐘水量增加20升”“6分鐘水量增加12升”，要同時(shí)關(guān)注時(shí)間與水量的變化。

2.對(duì)引起變化的原因分析不透。前4分鐘，每分鐘水量增加20÷4=5（升）；隨后的6分鐘，平均每分鐘只增加（32-12）÷6=2（升）。導(dǎo)致每分鐘增加水量下降的原因是既進(jìn)水又出水，那么我們可以知道每分鐘的出水量是5-2=3（升）。因此，如果只出水不進(jìn)水，放完容器中的水所需要的時(shí)間是32÷3=（分鐘）。

【對(duì)策】

1.樹立正確的統(tǒng)計(jì)觀念。統(tǒng)計(jì)圖選取的數(shù)據(jù)應(yīng)該注重生活實(shí)際，聯(lián)系身邊事例，引導(dǎo)學(xué)生從統(tǒng)計(jì)的角度思考與數(shù)據(jù)信息有關(guān)的問題。教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些數(shù)據(jù)經(jīng)過適當(dāng)整理和分析，通過圖表現(xiàn)象，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行相應(yīng)的推斷。

2.注重?cái)?shù)據(jù)的收集與整理。統(tǒng)計(jì)是一個(gè)包括數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析的完整過程。折線統(tǒng)計(jì)圖選用的數(shù)據(jù)應(yīng)該是連續(xù)性的數(shù)據(jù)，都是有實(shí)際背景或含義的，教學(xué)中盡可能為這些數(shù)據(jù)賦予實(shí)際背景，讓他們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中了解折線統(tǒng)計(jì)圖的使用條件和使用價(jià)值。

3.體會(huì)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用。折線統(tǒng)計(jì)圖既可以反映數(shù)量的多少，更能反映數(shù)量的增減變化。比如氣象臺(tái)為了分析氣溫的變化情況，使用折線統(tǒng)計(jì)圖來(lái)記錄氣溫。我們不僅從折線統(tǒng)計(jì)圖上看出數(shù)量增減變化，還要根據(jù)曲線變化趨勢(shì)分析產(chǎn)生的原因，推測(cè)下一階段的數(shù)量變化情況。所以折線統(tǒng)計(jì)圖學(xué)習(xí)的首要目標(biāo)是能認(rèn)識(shí)到折線統(tǒng)計(jì)圖對(duì)決策的作用，有意識(shí)地從統(tǒng)計(jì)的角度思考有關(guān)問題。

（朱宇）