淺談數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值

李元坤

【摘 要】 在數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)史能讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)，吸取知識(shí)的原汁，它還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、民族自豪感和愛國(guó)主義，提高毅力和學(xué)習(xí)興趣，形成辨證唯物主義世界觀。

【關(guān) 鍵 詞】 數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)教育

大學(xué)時(shí)，學(xué)校已經(jīng)開設(shè)過(guò)《數(shù)學(xué)史》這門課程，在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中，我又經(jīng)常結(jié)合教學(xué)實(shí)際，向同學(xué)們介紹數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識(shí)。多年的實(shí)踐使我感到數(shù)學(xué)史知識(shí)的適當(dāng)滲透不但沒(méi)給我的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)增加壓力，反而有力地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的掌握。

一、在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中必須開設(shè)《數(shù)學(xué)史》

若同學(xué)們大學(xué)畢業(yè)后面臨教育教學(xué)工作，自身不僅要透徹了解所教的那一部分?jǐn)?shù)學(xué)，更要從宏觀上知道數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展、內(nèi)在結(jié)構(gòu)的關(guān)系。當(dāng)所教的學(xué)生通過(guò)教師也能知道知識(shí)的前因后果時(shí)，他們將會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)更感興趣，能更好地掌握相關(guān)知識(shí)。因此，教師必須具備《數(shù)學(xué)史》的知識(shí)。

若同學(xué)們畢業(yè)后面臨數(shù)學(xué)教研工作，學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)史》后，更能把握數(shù)學(xué)這門學(xué)科的各分支學(xué)科的進(jìn)展情況及相互關(guān)系，這樣，易于把握研究方向，減少重復(fù)性、盲目性。例如：知道三大作圖問(wèn)題已不可能解決后，也就不會(huì)在這方面浪費(fèi)精力了。

二、通過(guò)學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)史》，充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐

在遠(yuǎn)古時(shí)代，因?yàn)楫a(chǎn)品交換和分配等需要，人們已認(rèn)識(shí)了自然數(shù)。自然數(shù)的形成經(jīng)歷了數(shù)覺(jué)階段、等數(shù)性的發(fā)現(xiàn)階段、屈指計(jì)數(shù)階段、數(shù)符與位置原則的發(fā)現(xiàn)階段，并由意大利數(shù)學(xué)家Peano于1901年闡述了自然數(shù)公理。

而在對(duì)自然數(shù)的運(yùn)算中人們發(fā)現(xiàn)加法的逆運(yùn)算減法運(yùn)算在自然數(shù)范圍內(nèi)不封閉，從而引入負(fù)數(shù)，把自然數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集。同樣，乘法的逆運(yùn)算除法運(yùn)算在整數(shù)集內(nèi)不封閉，又引入分?jǐn)?shù)，把整數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集。后來(lái)，人們因解決單位正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度、已知正方形的面積計(jì)算其邊長(zhǎng)等問(wèn)題，逐步認(rèn)識(shí)并引入無(wú)理數(shù)，把有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集，Dedekind于19世紀(jì)創(chuàng)立了完全嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，Cantor還認(rèn)為，實(shí)數(shù)系是完備的阿基米德全序域。

1545年，Cardano遇到負(fù)數(shù)不能開方，不得不面對(duì)新數(shù)，但又始終不為數(shù)學(xué)界接受，故一直被看作“虛數(shù)”、“想象的數(shù)”。直到19世紀(jì)，在Guass、Hamilton等人的努力下，創(chuàng)立了嚴(yán)密的復(fù)數(shù)理論后，數(shù)系才從實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集。

為了解決空間問(wèn)題，Hamilton于1843年提出了四元數(shù)，1847年，Cayley又提出了八元數(shù)，但八元數(shù)的乘法運(yùn)算既不滿足交換律，也不滿足結(jié)合律，在日常生活中難以遇到，于是數(shù)系的推廣，到八元數(shù)告終。

三、數(shù)學(xué)的美，其實(shí)質(zhì)在于思維的和諧性

從古至今，從內(nèi)到外，無(wú)數(shù)先輩們?yōu)閿?shù)學(xué)研究奉獻(xiàn)了畢生精力，有的甚至招來(lái)橫禍。究其原因，一方面，人們被數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的適用性所吸引；另一方面，更為數(shù)學(xué)的發(fā)展不斷追求完美性、思維的和諧性這種魅力所陶醉。從數(shù)學(xué)史中縱觀對(duì)曲線概念的研究，就是不斷追求這個(gè)概念的和諧性的過(guò)程。

Euclid在《幾何原本》中回答道“曲線是無(wú)寬的長(zhǎng)”、“曲線是表面的邊界”，這種回答雖然直觀，但犯了邏輯循環(huán)的錯(cuò)誤。

Rene Descartes又說(shuō)“曲線是滿足方程F（x，y）=0的點(diǎn)（x，y）運(yùn)動(dòng)所形成的圖像”，這個(gè)定義的實(shí)質(zhì)是一自由度的流形。但存在兩方面的缺陷：一是有些方程如x2+y2=-3并不表示“尋常曲線”；二是不少曲線找不到方程與之對(duì)應(yīng)。為此，Jordan又給曲線定義為：函數(shù)關(guān)系式x=f（t）y=g（t）（a≤t≤b，f（x），g（x）是連續(xù)函數(shù)）所形成的圖像叫做曲線，該定義強(qiáng)調(diào)連續(xù)性。

最后，烏利松用拓?fù)鋵W(xué)的觀點(diǎn)完美地對(duì)曲線解釋如下：

單位線段上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)同胚映射f所形成的圖形叫作曲線，其中同胚映射f滿足三個(gè)條件：（1）同胚映射f是一一映射；（2）同胚映射f的象在曲線上；（3）同胚映射f的原象及象都是連續(xù)的。

至此，一個(gè)全新的、完美的、和諧的曲線定義展現(xiàn)在我們眼前。

四、數(shù)學(xué)史的教育功能

（一）開闊學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

事實(shí)證明，課堂授課時(shí)那些知識(shí)豐富、循循善誘的老師遠(yuǎn)較那些授課時(shí)簡(jiǎn)單乏味、就事論事的教師受學(xué)生歡迎。如果教師在教授數(shù)一些常見的數(shù)學(xué)概念、理論和方法時(shí)，能夠指出它們的來(lái)源、典故及歷史演變過(guò)程，將會(huì)使學(xué)生興趣盎然。比如，教師在講授“勾股定理”時(shí)，如果僅僅給出推導(dǎo)證明，學(xué)生也能夠掌握。但是，如果教師給出中國(guó)古代的證明思路，或者提及古希臘畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理的經(jīng)過(guò)，課堂氣氛就會(huì)活躍起來(lái)。

在教授數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，教師如果能不失時(shí)機(jī)地、適當(dāng)向?qū)W生滲透一些相關(guān)典故、背景或名人趣事，學(xué)生開闊了視野，知道了數(shù)學(xué)知識(shí)的取得是如此曲折動(dòng)人，就會(huì)對(duì)知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生更深刻的認(rèn)識(shí)。知道了知識(shí)的來(lái)龍去脈，學(xué)生的知識(shí)面會(huì)得到不同層次擴(kuò)展。如果他們知道，從古至今，“勾股定理”的證法已經(jīng)超過(guò)300多種，甚至還曾經(jīng)有一位美國(guó)總統(tǒng)醉心于這個(gè)定理的證明，學(xué)生們一定會(huì)產(chǎn)生旺盛的求知欲，努力從各方面去思考證明思路。

（二）感受前人嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，增強(qiáng)自我探索精神

數(shù)學(xué)是人類文明的重要組成部分，是人類智慧的結(jié)晶，數(shù)學(xué)的歷史像一條大河幾乎貫穿了人類的整個(gè)文明史，它時(shí)而波濤洶涌，時(shí)而風(fēng)平浪靜。數(shù)學(xué)今天的繁榮昌盛是千百年來(lái)無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)先驅(qū)前仆后繼，辛勤耕耘的結(jié)果。數(shù)學(xué)先賢們的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度值得我們學(xué)習(xí)，他們的獻(xiàn)身精神值得我們景仰，他們的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)值得我們?nèi)ソ梃b，許多數(shù)學(xué)家孜孜不倦、鍥而不舍地追求真理的精神值得我們?nèi)ジ袆?dòng)。

以繼牛頓之后最偉大的數(shù)學(xué)家之一、18世紀(jì)數(shù)學(xué)界的靈魂人物歐拉（L. Euler，1707—1783）為例，他在年近花甲時(shí)雙目失明，不久，除了其本人和一些手稿幸免于難外，他的住所和財(cái)產(chǎn)全都在一場(chǎng)大火后蕩然無(wú)存，正所謂禍不單行。盡管遭受一系列的不幸和沉重打擊，歐拉仍然沒(méi)有倒下，他的科學(xué)活動(dòng)絲毫沒(méi)有減少。歐拉的記憶力和心算能力是罕見的。心算不僅限于簡(jiǎn)單的運(yùn)算，高等數(shù)學(xué)同樣可以心算。歐拉在完全失明前，還能朦朧地看到一些東西，他抓緊這最后的時(shí)刻，在一塊大黑板上寫下他發(fā)現(xiàn)的公式，然后口述其內(nèi)容，由他的學(xué)生筆錄。

在數(shù)學(xué)史上，這樣的數(shù)學(xué)先賢不勝枚舉，他們崇高的理想、頑強(qiáng)的意志、為真理獻(xiàn)身的精神及高尚的道德情操，無(wú)不是后人應(yīng)該繼承的寶貴遺產(chǎn)。

（三）了解祖國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生愛國(guó)情懷

就數(shù)學(xué)而言，中華民族有著光輝燦爛的過(guò)去，在元代以前，中國(guó)的許多成果處于世界領(lǐng)先位置?？梢哉f(shuō)，數(shù)學(xué)是中國(guó)古代最發(fā)達(dá)的基礎(chǔ)科學(xué)之一。僅以現(xiàn)在的初中數(shù)學(xué)知識(shí)為例，十進(jìn)位值制、線性方程組的解法，正負(fù)數(shù)運(yùn)算、開平方開立方法則，圓周率的計(jì)算都是古代取得的輝煌成就，有些成就領(lǐng)先世界千年以上。

數(shù)學(xué)是璀璨奪目的中國(guó)古代文化的重要組成部分，古代偉大的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)不僅是當(dāng)今進(jìn)行愛國(guó)主義教育的絕佳材料，古代數(shù)學(xué)家實(shí)事求是，敢于堅(jiān)持真理、勇于攀登高峰的高尚品德，也可以激勵(lì)后人振興中華，為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的而奮斗的自強(qiáng)精神。

總體來(lái)說(shuō)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史知識(shí)的終極目的就是提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，增長(zhǎng)知識(shí)面，擴(kuò)大視野。作為挑起21世紀(jì)數(shù)學(xué)教育重?fù)?dān)的數(shù)學(xué)教師們應(yīng)深切理解這一點(diǎn)，盡早學(xué)習(xí)、研究一些數(shù)學(xué)史，提高自身數(shù)學(xué)史素養(yǎng)，將數(shù)學(xué)史與教育結(jié)合起來(lái)。讓我們的學(xué)生能真正了解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)。

【參考文獻(xiàn)】

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