廣義(3+1)維Zakharov-K uznetsov方程的對(duì)稱(chēng)約化、精確解和守恒律?

張麗香 劉漢澤 辛祥鵬

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,聊城252059)

廣義(3+1)維Zakharov-K uznetsov方程的對(duì)稱(chēng)約化、精確解和守恒律?

張麗香 劉漢澤?辛祥鵬

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,聊城252059)

(2016年1月1日收到;2017年1月2日收到修改稿)

運(yùn)用李群分析,得到了廣義(3+1)維Zakharov-Kuznetsov(ZK)方程的對(duì)稱(chēng)及約化方程,結(jié)合齊次平衡原理,試探函數(shù)法和指數(shù)函數(shù)法得到了該方程的群不變解和新精確解,包括沖擊波解、孤立波解等.進(jìn)一步給出了廣義(3+1)維ZK方程的伴隨方程和守恒律.

Zakharov-Kuznetsov方程,李群分析,精確解,守恒律

1 引言

非線性發(fā)展方程的求解一直是數(shù)學(xué)和物理工作者研究的熱點(diǎn)問(wèn)題,經(jīng)過(guò)多年研究,提出了許多有效的方法,如經(jīng)典李群方法[1?3],改進(jìn)的tanh函數(shù)方法[4],Hirota方法[5],Painlevé截?cái)嗾归_(kāi)法[6],Clarkson-K ruskal直接約化方法[7,8],(G′/G)展開(kāi)方法[9],Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法[10].其中李群方法是研究偏微分方程的有力工具之一,本文將采用李群分析研究廣義(3+1)維Zakharov-Kuznetsov(ZK)方程

其中u=u(x,y,z,t),a1,a2,a3,a4,a5,a6是任意非零常數(shù).方程(1)包含了許多著名的方程,例如當(dāng)a1=a3=a4=a6=0時(shí),該方程就是著名的Korteweg-de Vries方程[11];當(dāng)a1=a2=a3=a4=0時(shí),該方程就是正則長(zhǎng)波方程[12];當(dāng)a2=a4=a5=0時(shí),該方程就是(2+1)維ZK-MEW方程[13,14];當(dāng)a1=a4=a6=0時(shí),該方程就是(2+1)維ZK方程[15];當(dāng)a2=a3=a4=a5=0時(shí),該方程就是修正的(1+1)維MEW方程.

本文主要由以下幾部分組成:第2部分,求出方程(1)的李點(diǎn)對(duì)稱(chēng);第3部分,對(duì)方程(1)進(jìn)行約化;第4部分,利用試探函數(shù)法[16]、指數(shù)函數(shù)法[17]和齊次平衡原理[18?20],求約化方程的精確解,進(jìn)而得到方程(1)的精確解;第5部分,給出方程(1)的伴隨方程和守恒律[21?24];最后,對(duì)本文做簡(jiǎn)要總結(jié).

2 廣義(3+1)維ZK方程的對(duì)稱(chēng)

設(shè)方程(1)的單參數(shù)向量場(chǎng)為

其中,ξ1(x,y,z,t,u),ξ2(x,y,z,t,u),ξ3(x,y,z,t,u),ξ4(x,y,z,t,u),?(x,y,z,t,u)是待定函數(shù).若向量場(chǎng)(2)是方程(1)的李點(diǎn)對(duì)稱(chēng),那么V需要滿足以下李對(duì)稱(chēng)條件:

其中pr(3)V是V的三階延拓,并且?=ut+a1u2ux+a2uxxx+a3uxyy+a4uxzz+a5uux+a6uxxt.

必須且只需

其中,系數(shù)函數(shù)

其中Dx,Dy,Dz,Dt為全導(dǎo)算子.把以上系數(shù)函數(shù)代入(5)式,得到關(guān)于ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,?的決定方程組,解之得

其中C1,C2,C3,C4,C5為任意常數(shù).同時(shí)也得到了方程(1)的相似對(duì)稱(chēng)

這樣就利用李群分析得到了方程(1)的所有向量場(chǎng)

與它們相對(duì)應(yīng)的單參數(shù)變換群為

根據(jù)上面的單參數(shù)不變?nèi)嚎芍?若u=f(x,y,z,t)是方程(1)的解,下列u1,u2,u3,u4,u5也是方程(1)的解:

其中ε是任意常數(shù).

3 廣義(3+1)維ZK方程的對(duì)稱(chēng)約化

可以得到下面的相似變換

在前面,已經(jīng)得到了方程(1)的對(duì)稱(chēng),在這部分,對(duì)方程(1)進(jìn)行約化.

情況1令C2=1,C1=C3=C4=C5=0,則

方程(1)的群不變解為w=f(ξ,η),即u=f(ξ,η),代入方程(1)中,可將方程(1)約化成(1+1)維偏微分方程

情況2令C2=C4=0,C1=C3=C5=1,則

可以得到下面的相似變換

方程(1)的群不變解為u=f(ξ),代入方程(1)中,得約化后的常微分方程為

其中f′=d f/dξ.

情況3令C1=1,C2=C3=C4=C5=0,則

可以得到下面的相似變換

方程(1)的群不變解為u=f(ξ),代入方程(1),可得到約化后的常微分方程為

其中f′=d f/dξ.

情況4令C1=C2=0,C3=C4=C5=1,則

可以得到下面的相似變換

方程(1)的群不變解為u=f(ξ),代入方程(1),可得到約化后的常微分方程為

其中f′=d f/dξ.約化后的方程(10)和方程(9)相同.

4 廣義(3+1)維ZK方程的精確解

在這一部分,結(jié)合齊次平衡原理、指數(shù)函數(shù)法和試探函數(shù)法,對(duì)約化后的方程(7)—方程(9)分別求其精確解,進(jìn)而得到方程(1)的精確解.

情況1為求方程(7)的解,我們應(yīng)用齊次平衡原理,假設(shè)方程(7)有如下形式的解

其中g(shù)=g(h),h=h(ξ,η).由齊次平衡原理,得到m=1,n=0,故方程(7)有如下形式的解

將(11)代入方程(7)中,合并h的各種偏導(dǎo)數(shù)同次項(xiàng),并令的系數(shù)為零,得到

把以上等量關(guān)系代入(11)式,得

解(12)式—(14)式得

把上式代入(12)式—(14)式得

故方程(7)的準(zhǔn)確孤立波解為

因此,方程(1)的精確解為

情況2為求方程(8)的解,我們利用試探函數(shù)法求其沖擊波解.對(duì)方程(8)積分一次得

其中

假設(shè)方程(15)有如下形式的解:

因此,方程(1)的解為

情況3為求方程(9)的解,我們結(jié)合指數(shù)函數(shù)法和齊次平衡原理求其精確解.為方便,把方程(9)寫(xiě)成以下形式:

假設(shè)方程(17)有如下形式的解:

其中c,d,p,q為正整數(shù),cn,bm為待定常數(shù).則

其中di為各項(xiàng)系數(shù).平衡最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(19)式和非線性項(xiàng)(20)式的次數(shù),得

同理,平衡最低階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)次數(shù)得q=d,為計(jì)算簡(jiǎn)便,令p=c=1,且q=d=1,故(18)式為

把(21)式代入方程(17)中,借助Maple軟件,得到關(guān)于eiξ的各項(xiàng)系數(shù),令每項(xiàng)系數(shù)為零,可以得到關(guān)于c?1,c0,c1,b0,b?1的超定方程組,解得

其中

c1,b0為任意常數(shù),故方程(17)的解為

因此,方程(1)的解為

其中

c1,b0為任意常數(shù).

5 廣義(3+1)維ZK方程的伴隨方程和守恒律

在這部分,我們將給出方程(1)的伴隨方程和守恒律.方程(1)的伴隨方程為

并且Largrangian記作

利用Ibragimov的結(jié)論,守恒向量的公式為

根據(jù)Ibragimov給出的結(jié)論,我們給出向量場(chǎng)的通式:

那么方程(1)的守恒律由下式?jīng)Q定:

則向量場(chǎng)C=(C1,C2,C3,C4)由下面的式子決定:

以上守恒向量(C1,C2,C3,C4)包含了伴隨方程(21)的任意解,因此以上守恒向量給出了方程(1)的無(wú)窮多個(gè)守恒律.

6 結(jié)論

本文利用李群分析求得了廣義(3+1)維ZK方程的李點(diǎn)對(duì)稱(chēng),將(3+1)維方程直接約化成常微分方程和(1+1)維偏微分方程,并結(jié)合齊次平衡原理,試探函數(shù)法和指數(shù)函數(shù)法對(duì)約化方程求其精確解,從而得到原方程的精確解.豐富了廣義(3+1)維ZK方程的顯示解.可見(jiàn),李群分析對(duì)偏微分方程的求解問(wèn)題有重要的作用,李群分析在其他領(lǐng)域的應(yīng)用,有待進(jìn)一步研究.

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(Received 1 January 2016;revised Manuscrip t received 2 January 2017)

PACS:02.20.–a,04.20.Jb,02.30.Jr,11.30.–jDOI:10.7498/aps.66.080201

*Pro ject supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant Nos.11171041,11505090).

?Corresponding author.E-Mail:hnz_liu@aliyun.com

SymMetry reductions,exact equations and the conservation law s of the generalized(3+1)d iMensional Zakharov-K uznetsov equation?

Zhang Li-Xiang Liu Han-Ze?Xin Xiang-Peng

(School ofMatheMatical Sciences,Liaocheng University,Liaocheng 252059,China)

Because the nonlinear evolution equations can describe the coMp lex phenomena of physical,cheMical and biological field,Many Methods have been p roposed for investigating such types of equations,and the Lie symMetry analysis Method is one of the powerful tools for studying the non linear evolution equations.By using the Lie symMetry analysis method,we can obtain the symmetries,reduced equations,group invariant solutions,conservation laws,etc.In the reduction process,we can reduce the order and diMension of the equations,and a coMp lex partial diff erential equations(PDE)can be reduced to ordinary diff erential equations directly,which siMp lifies the solving p rocess.Meanwhile,the symmetries,conservation laws and exact solutions to the nonlinear partial diff erential equations p lay a significant role in non linear science and MatheMatical physics.For exaMp le,we can obtain a lot of new exact solutions by the known symMetries of the original equation;through the analysis of the special forMof solution we can better exp lain soMe physical phenomena.In addition,the studying of conservation laws and symmetry groups is also the central topic of physical sciencein both classicalMechanics and quantuMMechanics.Lie symMetry analysisMethod is suitab le for not on ly constant coeffi cient equations,but also variab le coeffi cient equations and PDE systeMs.By using Lie symmetry analysismethod,the symmetriesand corresponding symmetry reductionsof the(3+1)dimensionalgeneralized Zakharov-Kuzetsov(ZK)equation are obtained.Combining the hoMogeneous balance princip le,the trial function Method and exponential functionmethod,the group invariant solutions and some new exact exp licit solutions are obtained,including the shock wave solutions,solitary wave solutions,etc.Then,we give the conservation law s of the generalized(3+1)diMensional ZK equation in terMs of the Lagrangian and ad joint equation Method.

Zakharov-Kuznetsov equation,Lie symmetry analysis,exact solution,conservation law

10.7498/aps.66.080201

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11171041,11505090)資助的課題.

?通信作者.E-Mail:hnz_liu@aliyun.com

?2017中國(guó)物理學(xué)會(huì)C h inese P hysica l Society

http://w u lixb.iphy.ac.cn