守住數(shù)學(xué)素養(yǎng)的質(zhì)把握課堂練習(xí)的度

高麗

【摘要】課堂練習(xí)是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，依靠自覺的控制和矯正，反復(fù)地完成一定量的習(xí)題，借以鞏固、復(fù)習(xí)所學(xué)知識，形成技能、技巧，發(fā)展智力、體力的課堂活動行為.而數(shù)學(xué)素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)知識和技能、數(shù)學(xué)意識和思維、數(shù)學(xué)態(tài)度和價值觀三個方面，所以，課堂練習(xí)安排得好自然會有助于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

【關(guān)鍵詞】課堂練習(xí)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；教材例題

俗話說：“老師靠度，學(xué)生靠悟.”數(shù)學(xué)課堂練習(xí)是師生互動的重要環(huán)節(jié)，教師要細(xì)心準(zhǔn)備、審題，把握好題量度、難易度、綜合度、階梯度、時間長度.優(yōu)秀的課堂練習(xí)必當(dāng)蘊(yùn)含優(yōu)秀的教學(xué)理念、有效的課堂效率和新穎的形式.而相對來說，適量適度是要狠下功夫的，具體做法有：

一、改編教材例題，把階梯搭出來——以“直線與圓的位置關(guān)系”為例

教材例1：求直線4x+3y=40和圓x2+y2=100的公共點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷它們的位置關(guān)系.教材例2：自點(diǎn)A（-1，4）作圓（x-2）2+（y-3）2=1的切線l，求切線l的方程.教材例3：求直線x-3y+23=0被圓x2+y2=4截得的弦長.

三個例題一層一層遞進(jìn)，從代數(shù)方法到幾何方法，自然地使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想.但是例1一個題目的訓(xùn)練對于學(xué)生來說有點(diǎn)偏少，一方面，并不能訓(xùn)練學(xué)生對例題掌握的熟練度，另一方面，對于判斷直線與圓位置關(guān)系的第二種常規(guī)幾何方法即利用圓心到直線的距離與半徑進(jìn)行比較沒有強(qiáng)調(diào)，因此，將例1進(jìn)行擴(kuò)充.例2和例3單獨(dú)練習(xí)，學(xué)生只是思考了一個個點(diǎn)，不能把問題串起來，要在深度和廣度上進(jìn)行拓展，因此，將例2作為一個變式題源進(jìn)行拓展，并把例3（求直線被圓截得的弦長）融入例2的變式中，增強(qiáng)了問題的連貫性.改編如下：

練習(xí)1：判斷下列各直線l與圓C的位置關(guān)系：

（1）l：4x+3y=0，C：x2+y2=36；

（2）l：y=-x+1，C：x2+y2=25；

（3）l：4x-3y-8=0，C：x2+y2+2y=0；

（4）l：x-y-5=0，C：x2+y2-2x+4y+4=0.

練習(xí)2：自點(diǎn)A（-1，4）作圓（x-2）2+（y-3）2=1的切線l，求切線l的方程.

變式一：若點(diǎn)A為（1，5）呢？

變式二：自點(diǎn)A（-1，4）發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓（x-2）2+（y-3）2=1相切，求光線l所在直線的方程.

變式三：在變式二中，若反射光線所在直線被圓（x-2）2+（y-3）2=1截得的弦長為2515，求光線l所在直線的方程.

對于本題，點(diǎn)A在圓外，應(yīng)該有兩條切線，在教材中，不論利用哪種解法，都強(qiáng)調(diào)說明了當(dāng)l⊥x軸時的直線與圓不相切，接著再求出的結(jié)果是兩條切線的斜率都存在.在變式一中，點(diǎn)A（1，5）也在圓外，當(dāng)l⊥x軸時的直線為x=1與圓相切，接下來再利用兩種解法去解，得到的切線只有一條，為3x+4y-23=0.可見，如果不去考慮斜率不存在的情況，就會出現(xiàn)漏解，通過實(shí)例使學(xué)生更加明確為什么要進(jìn)行分析討論，確保完善性.變式二對直線l進(jìn)行了變化，增加了對稱的元素，這時可以作點(diǎn)A（-1，4）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)（-1，-4）轉(zhuǎn)化為求過點(diǎn)（-1，-4）的切線方程，但需要回過來求光線l的方程，因此，可以把圓對稱，而把圓對稱的過程只需要把圓心對稱，即（2，-3），半徑不變，求過A（-1，4）與對稱后的圓相切的切線方程即可，馬上把題目提高了一個層次，并且在變化的基礎(chǔ)上增加點(diǎn)訓(xùn)練量.變式三也就是把教材的例3進(jìn)行了融合.

評析：對教材例題作適當(dāng)變式處理成為課堂練習(xí)，既達(dá)到了及時鞏固的目的，又增強(qiáng)了問題之間的連貫性，使教學(xué)過程過渡自然，層層深入.

二、先易后難排序，把知識點(diǎn)鞏固住——以“輔助角公式”為例

在講解輔助角公式后，安排練習(xí)：請把下列各式化為y=Asin（α+φ）（A>0）的形式.

（1）y=22sinα+22cosα；

（2）y=32sinα-12cosα；

（3）y=sinα-3cosα；

（4）y=sinα+cosα；

（5）y=3sinα+4cosα；

（6）y=2sinα-3cosα；

（7）y=asinα+bcosα（a，b都不0）.

這個練習(xí)的要求非常明確，在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的兩角和與差的基礎(chǔ)上，把y=asinα+bcosα（a，b都不0）化為y=Asin（α+φ）（A>0）的形式，得到輔助角公式，關(guān)鍵是如何找到A和φ角.（1）（2）中的數(shù)字是比較特殊的，同學(xué)們看到22，32，12就會想到特殊角π4，π6，這個φ很容易找到，逆向運(yùn)用兩角和與差的正弦公式，從而得到結(jié)論.

（3）（4）在（1）（2）的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)同學(xué)們往特殊角靠攏，（3）中提取一個2即可，（4）中提取一個2即可，這個φ也能找到，逆向運(yùn)用兩角和與差的正弦公式，從而得到結(jié)論.

（5）中部分學(xué)生會出現(xiàn)思維困惑，引導(dǎo)學(xué)生分析（3）（4）中的A，φ，而因?yàn)?，4，5是常見的勾股數(shù)，同學(xué)們可以理解應(yīng)提取5，其中的cosα=35，sinα=45，即

y=3sinα+4cosα=535sinα+45cosα=5sin（α+φ）（其中tanφ=43）.

（6）中雖然不存在勾股數(shù)，但在學(xué)生已經(jīng)對三角函數(shù)定義理解的基礎(chǔ)上，也就自然能理解提取22+32即13，從而得到y(tǒng)=2sinα-3cosα=13213sinα-313cosα=13sin（α-φ）tanφ=32.

在上面的練習(xí)的一步步鋪墊下，輔助角公式就成了順理成章的結(jié)論，同學(xué)們就能自然地理解A和φ的含義，從而得到

y=asinα+bcosα=a2+b2sin（α+φ）（其中tanφ=ba）.

評析：這道練習(xí)不僅培養(yǎng)了學(xué)生逆向思維的能力，也滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，成功地通過一個個臺階，把學(xué)生的思維帶到了知識的最高點(diǎn).

三、窮盡變式類型，把規(guī)律找出來——以“解分式不等式”為例

練習(xí)：解分式不等式x+2x-1<0.

變式一：x+2x-1≤0；

變式二：x+2x-1<2；

變式三：x+2x-1≥2；

變式四：x+5x-1>x-1.

在學(xué)習(xí)完一元二次不等式后，緊接著就要學(xué)習(xí)分式不等式的解法，解分式不等式的關(guān)鍵是要將其轉(zhuǎn)化為整式不等式，題目本身很容易理解，只要轉(zhuǎn)化為（x+2）（x-1）<0即可.

對于變式一，學(xué)生很容易認(rèn)為是（x+2）（x-1）≤0，而忽略分母不能為0的要求，這時要及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：x=1成立嗎？那么它的等價條件又是什么呢？從而得到（x+2）（x-1）≤0，x-1≠0.

對于變式二，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行移項，得到結(jié)論.

對于變式三，是變式1與變式2的綜合，不僅考查了移項，也考差了分母不為0的充要條件.

接下來進(jìn)行總結(jié)：f（x）g（x）>0f（x）·g（x）>0，f（x）g（x）≥0f（x）·g（x）≥0，g（x）≠0.

對于變式四，在變式二的基礎(chǔ)上，學(xué)生很快就知道要移項，通分，轉(zhuǎn)化為整式不等式，但在這里增加了高次不等式的元素，為下面學(xué)習(xí)高次不等式埋下伏筆，起到承上啟下的作用，也對分式不等式進(jìn)行了擴(kuò)充.

評析：通過變式，對分式不等式有了全面的認(rèn)識.

四、騰出足夠時間，解透一類問題——以“解絕對值不等式”為例

練習(xí)：解絕對值不等式：x2-|x|-6<0.這道題目學(xué)生一上手就會想到分類討論：

解法1：當(dāng)x≥0時，原不等式化為x2-x-6<0，解得-2

這樣做是不是有點(diǎn)煩瑣？有沒有其他的辦法？引導(dǎo)學(xué)生將x2轉(zhuǎn)化為|x|2，得到了以下解法：

解法2：將原不等式轉(zhuǎn)化為|x|2-|x|-6<0，解得-2<|x|<3，因?yàn)閨x|≥0，所以即為解不等式|x|<3，得到原不等式的解集為（-3，3）.

這時有同學(xué)又提出了新的思路，說為什么不畫圖像呢？

解法3：畫出函數(shù)y=x2-|x|-6的圖像，由圖像得到原不等式的解集為（-3，3）.

評析：這道題目解法1是最常規(guī)的思路，但是在解這道題目時明顯比較煩瑣，而第2種解法直接把x2轉(zhuǎn)化為|x|2，只需解一個一元二次不等式后，就轉(zhuǎn)化為一個簡單的絕對值不等式，第3種解法是有創(chuàng)造性的，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，對這個解法要大力鼓勵，在畫圖像時要引導(dǎo)學(xué)生利用分段函數(shù)的方法來畫圖像，也可以是利用f（x）與f（|x|）圖像的關(guān)系來畫.通過多種解法，把學(xué)生的思路打開，充分培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性.本題設(shè)計的主要特點(diǎn)是，通過簡單的一題帶領(lǐng)學(xué)生悟出解題規(guī)律，消除學(xué)生的壓力感，并培養(yǎng)深入思考的習(xí)慣.整個解析過程用時二十分鐘，在注意力集中的時效之內(nèi)，讓學(xué)生得到了愉快的數(shù)學(xué)體驗(yàn).