一種基于橢圓擬合的三相電壓不平衡條件下的鎖相環(huán)

史旺旺，嚴(yán)建鵬

（揚(yáng)州大學(xué)水利與能源動(dòng)力工程學(xué)院，揚(yáng)州225009）

一種基于橢圓擬合的三相電壓不平衡條件下的鎖相環(huán)

史旺旺，嚴(yán)建鵬

（揚(yáng)州大學(xué)水利與能源動(dòng)力工程學(xué)院，揚(yáng)州225009）

針對(duì)傳統(tǒng)的三相電網(wǎng)相角檢測(cè)方法在電網(wǎng)頻率波動(dòng)及故障情況下存在的不足，提出了一種新型數(shù)字鎖相環(huán)設(shè)計(jì)方法。所提出的鎖相環(huán)通過(guò)遞推最小二乘法橢圓擬合辨識(shí)出橢圓參數(shù)，利用鎖相環(huán)產(chǎn)生不對(duì)稱的正弦余弦輸出，消除了電網(wǎng)不平衡狀態(tài)下的鑒相二倍頻分量；在此基礎(chǔ)上對(duì)鎖相環(huán)輸出信號(hào)進(jìn)行移相和正序分量的提取，從而實(shí)現(xiàn)90°移相與電網(wǎng)頻率無(wú)關(guān)；推導(dǎo)了不對(duì)稱幅值和相位與橢圓參數(shù)的關(guān)系，設(shè)計(jì)了遞推最小二乘法，最后給出了仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本方案的有效性。

數(shù)字鎖相環(huán)；橢圓擬合；遞推最小二乘法；不平衡電壓

在光伏發(fā)電和風(fēng)力發(fā)電等新能源并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)、無(wú)功補(bǔ)償裝置 SVG（static var generator）、不間斷電源 UPS（uninterruptible power supply）等場(chǎng)合中需要利用電網(wǎng)正序電壓提供同步信號(hào)，數(shù)字鎖相環(huán)具有濾波和保持與電網(wǎng)電壓同步的能力，在上述方面得到了廣泛使用。

電網(wǎng)平衡時(shí)鎖相環(huán)的常用技術(shù)是基于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法，計(jì)算鎖相環(huán)輸入輸出信號(hào)相位差的正弦值，經(jīng)PI調(diào)節(jié)后實(shí)現(xiàn)相位跟蹤[1-2]。三相系統(tǒng)不平衡時(shí)乘法鑒相器除能生成相位差信號(hào)外，伴隨二倍頻信號(hào)。目前的研究主要表現(xiàn)在調(diào)節(jié)參數(shù)的設(shè)計(jì)和二倍頻信號(hào)的濾波算法上。三相系統(tǒng)中的鎖相環(huán)在考慮電網(wǎng)不平衡、畸變等不對(duì)稱情況下，通常采用其正序分量進(jìn)行鎖相控制[3-6]。針對(duì)提取的正、負(fù)序分量，需要設(shè)計(jì)專門濾除負(fù)序分量的濾波器或自適應(yīng)觀測(cè)器[7-8]。

文獻(xiàn)[9]研究了單相信號(hào)經(jīng)過(guò)DFT產(chǎn)生正交輸出因頻率變化而使得輸出幅值不相等問(wèn)題，采用橢圓擬合進(jìn)行了幅值補(bǔ)償；文獻(xiàn)[10]研究了頻率變化時(shí)單相鎖相環(huán)通過(guò)延時(shí)T/4周期產(chǎn)生正交輸出的相位誤差問(wèn)題，采用橢圓擬合進(jìn)行了相位補(bǔ)償。文獻(xiàn)[9-10]的研究工作僅適用于單相鎖相環(huán)，不適合考慮頻率變化的三相不平衡時(shí)三相鎖相環(huán)。

在前述工作的基礎(chǔ)上，本文研究了基于橢圓擬合的三相不平衡時(shí)考慮頻率變化的三相數(shù)字鎖相環(huán)。三相不平衡時(shí)經(jīng)靜止坐標(biāo)變換后，兩相電壓信號(hào)既不正交、幅值也不相等，本文利用橢圓擬合方法同時(shí)辨識(shí)幅度和相位，利用鎖相環(huán)產(chǎn)生不對(duì)稱的正弦、余弦輸出，消除了電網(wǎng)不平衡狀態(tài)下的鑒相二倍頻分量；在提取正序分量時(shí)考慮了頻率變化，通過(guò)在鎖相環(huán)輸出端進(jìn)行90°移相，可以實(shí)現(xiàn)移相與電網(wǎng)頻率無(wú)關(guān)。本文推導(dǎo)了不對(duì)稱幅值和相位與橢圓參數(shù)的關(guān)系，設(shè)計(jì)了遞推最小二乘法，最后給出了仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

1 不平衡狀態(tài)下的橢圓方程

三相系統(tǒng)中首先將三相電壓轉(zhuǎn)換到兩相正交的靜止αβ坐標(biāo)系下，獲得電網(wǎng)平衡時(shí)電壓信號(hào)的正弦、余弦分量，其轉(zhuǎn)換方程為

式中：Ua、Ub、Uc分別為系統(tǒng)三相電壓；Uα、Uβ為 αβ坐標(biāo)系下的電壓分量；θ0、ω0、φ0分別為 αβ 坐標(biāo)系下電網(wǎng)電壓相位角、頻率和初相位；U1為電壓幅值。此時(shí)Uα、Uβ在平面內(nèi)的軌跡為圓。當(dāng)三相系統(tǒng)不平衡時(shí)Uα、Uβ在平面中的軌跡為橢圓，其經(jīng)過(guò)αβ變換后的電壓方程為

式中：x為α軸分量；y為β軸分量；Uc和Us分別為α、β軸分量的幅值，一般情況下不相等，它們反映了電壓幅值的不對(duì)稱程度；φ為相位不對(duì)稱程度。

將式（2）中的時(shí)間t消除后得到的橢圓方程為

令

則得到中心點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程為

當(dāng)通過(guò)辨識(shí)得到橢圓參數(shù) a1、b1、c1后，由式（4）得

由式（6）求得 φ 后，可由式（4）求得 Uc和 Us。

2 遞推最小二乘法橢圓擬合

最小二乘法是曲線擬合中的常用方法，本文中橢圓方程有3個(gè)未知數(shù)，因此測(cè)量點(diǎn)數(shù)n應(yīng)大于等于 3。設(shè) n 個(gè)測(cè)量點(diǎn)分別為 xi、yi，i=1，2，...，n,應(yīng)滿足式（5），用矩陣表示為

其中：Zn=[1，1，…，1]T；λ=[a1,b1,c1]T；

由經(jīng)典最小二乘法公式可求出λ為

為動(dòng)態(tài)跟蹤時(shí)變的橢圓參數(shù)并減少實(shí)時(shí)計(jì)算工作量，本文采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法。定義：

λn的初始值對(duì)收斂速度的影響較大，為提高λn的收斂速度，本文在初始的1/4周期內(nèi)，將該時(shí)間內(nèi)的采樣值利用式（8）求出λ，作為式（10）的初始值。遺忘因子γ對(duì)響應(yīng)速度和濾波性能影響較大，當(dāng)γ數(shù)值大時(shí)響應(yīng)速度慢，對(duì)電網(wǎng)電壓的諧波不敏感；當(dāng)γ數(shù)值小時(shí)，則響應(yīng)速度快，諧波對(duì)參數(shù)的影響較大[11]，具體計(jì)算時(shí)應(yīng)折中選擇。

3 非對(duì)稱輸出鎖相環(huán)

電網(wǎng)不平衡狀態(tài)下鎖相環(huán)鑒相輸出中存在的二倍頻分量對(duì)鎖相環(huán)性能影響大[1]，但如果能準(zhǔn)確辨識(shí)出靜止坐標(biāo)系下的不平衡電壓的幅值和相位差，則采用非對(duì)稱輸出鎖相環(huán)，可以消除二倍頻分量。設(shè)鎖相環(huán)α軸輸出分量為x1，β軸輸出分量為y1，即

鑒相器輸出定義為

式中，θ為鎖相環(huán)輸入信號(hào)相位，θ＝ω0t+φ0。由式（12）看出在橢圓擬合準(zhǔn)確時(shí)鑒相器無(wú)二倍頻分量，不平衡輸出僅影響鑒相器的幅值，此值可由PI調(diào)節(jié)補(bǔ)償。因此如果使鎖相環(huán)輸出的信號(hào)幅值和輸入信號(hào)相同，則由式（12）得到的鑒相器輸出為純粹的相位差信號(hào)，這樣應(yīng)將辨識(shí)參數(shù)加入到經(jīng)典的鎖相環(huán)中，形成所謂的不對(duì)稱輸出鎖相環(huán)。鎖相環(huán)框圖見圖1，圖中RLS為遞推最小二乘法橢圓擬合模塊，為初始角頻率，100 π。

這樣電網(wǎng)電壓不平衡，鎖相環(huán)輸出α、β軸分量與電網(wǎng)電壓的α、β軸分量相同。電網(wǎng)電壓可由正序分量、負(fù)序分量、零序分量3部分合成。三相不平衡電壓經(jīng)過(guò)αβ坐標(biāo)變換后，零序分量經(jīng)過(guò)αβ坐標(biāo)變換后為0，變換后將正序分量和負(fù)序分量分離，將分離出的正序分量輸入到常規(guī)平衡狀態(tài)下的鎖相環(huán)中，達(dá)到鎖相環(huán)輸出正序分量的目的。正、負(fù)序分量的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖1 基于橢圓擬合的鎖相環(huán)框圖Fig.1 Block diagram of DPLL based on ellipse fitting

式中：Up、Un為正、負(fù)序分量的幅值；θp、θn為正負(fù)序分量初相位。利用正、負(fù)序分量的相位特征，可得到正序分量的表達(dá)式為

其中：xp、yp為正序分量在αβ軸上的幅值。

T／4延時(shí)方法是一種比較簡(jiǎn)單且常用的方法，但該方法只能在頻率不變時(shí)才能得到精確的結(jié)果，考慮電網(wǎng)頻率變化時(shí)該方法存在誤差。正序分量提取的T/4延時(shí)方法的本質(zhì)是900移相，由于采樣時(shí)間序列中沒有明顯的相位信息，只能通過(guò)延時(shí)方法實(shí)現(xiàn)，延時(shí)移相與頻率有關(guān)。為此本文提出了改進(jìn)算法，不對(duì)稱輸出鎖相環(huán)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比除濾出諧波外，還與輸入的不對(duì)稱信號(hào)同相位，且鎖相環(huán)容易實(shí)現(xiàn)直接移相，這樣將式（14）的延時(shí)轉(zhuǎn)換為真正的900移相，實(shí)現(xiàn)了與頻率無(wú)關(guān)的任意相位的移相。式（14）將變?yōu)?/p>

4 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文使用Matlab對(duì)三相鎖相環(huán)進(jìn)行了仿真。為驗(yàn)證對(duì)諧波的濾波性能，在電網(wǎng)電壓中加入了50%的4次諧波，圖2為αβ坐標(biāo)系的輸入電壓軌跡，圖3為鎖相環(huán)輸入輸出波形，其中y為輸入電壓波形，y1為鎖相環(huán)輸出波形。由圖3可見在一個(gè)周期內(nèi)鎖相環(huán)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入的跟蹤鎖定，同時(shí)也可使得輸出圖形中的諧波被濾除。

圖2 不平衡時(shí)輸入電壓軌跡Fig.2 Path of input voltage under unbalance condition

圖3 輸入電壓包含諧波時(shí)的仿真波形Fig.3 Simulation waveforms of input voltage under the condition of voltage harmonics

為驗(yàn)證頻率變化時(shí)的相位跟蹤能力，在0.05 s時(shí)輸入信號(hào)的頻率從40 Hz突變到60 Hz，得到頻率突變時(shí)的鎖相環(huán)輸出曲線，如圖4所示。由圖可以看出40～60 Hz的頻率變化，鎖相環(huán)可以實(shí)現(xiàn)鎖定相位。

圖4 頻率突變時(shí)的電壓波形Fig.4 Voltage waveforms with frequency mutation

當(dāng)三相電網(wǎng)電壓相位突變時(shí)刻，電壓相位提前了π/2，該鎖相環(huán)輸出電壓如圖5所示，由圖可見，鎖相環(huán)可以在0.5個(gè)周期內(nèi)鎖定相位。

為驗(yàn)證不平衡下的控制效果，進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)采用TI公司F28335DSP芯片，當(dāng)輸入電壓不平衡時(shí) （AB相線電壓是BC相線電壓的2倍），實(shí)測(cè)的電壓波形見圖6，可見實(shí)測(cè)波形不光滑且存在干擾脈沖。鎖相環(huán)輸出電壓波形見圖7。鎖相環(huán)能輸出三相對(duì)稱信號(hào)，同時(shí)消除了實(shí)際采樣時(shí)產(chǎn)生的干擾。

圖5 相位突變時(shí)的電壓波形Fig.5 Voltage woreforms with phase mutation

圖6 三相不平衡時(shí)的輸入電壓曲線Fig.6 Input curves under unbalance condition

圖7 三相不平衡時(shí)的鎖相環(huán)輸出電壓曲線Fig.7 Output Voltage curves under unbalance condition

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)三相電網(wǎng)電壓尤其是畸變電壓條件下鎖相精確難度增加的問(wèn)題，本文提出了基于橢圓擬合的非對(duì)稱輸出鎖相環(huán)，在電網(wǎng)不平衡狀態(tài)下表現(xiàn)出較好的性能，尤其是在電網(wǎng)頻率變化大的場(chǎng)合。本文采用鎖相環(huán)的不對(duì)稱輸出，消除了不平衡時(shí)的鑒相器輸出中含有的二倍頻分量，因而對(duì)低通濾波的要求較低；實(shí)現(xiàn)正、負(fù)序分量分離時(shí)用相位延時(shí)取代T／4延時(shí)，頻率變化大實(shí)現(xiàn)無(wú)誤差的正、負(fù)序分量分離；采用遞推最小二乘法雖減少了部分工作量，但該方法仍然具有較大的工作量。

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A Novel Digital Phase-locked Loop Under Three-phase Unbalance Voltages Based on Ellipse Fitting Method

SHI Wangwang,YAN Jianpeng
（School of Hydraulic Energy and Power Engineering,Yangzhou University,Yangzhou 225009,China）

Considering when the grid voltage is distorted and unbalanced,the dynamic behavior of classical phaselocked loop system becomes dissatisfactory,a novel digital phase-locked loop（DPLL） is put forward.In the new DPLL presented,the ellipse parameters are identified by recursive least square method and asymmetric output of DPLL produced by identified parameters,which makes the second harmonic eliminated in unbalanced voltage condition,and then 90 degree phase shift and positive sequence are produced from DPLL output signals and are not influenced by grid frequency variation.The relationship between ellipse parameters and unbalanced voltage is derived and RLS method is designed in the paper,simulation and experiment results validate the theoretical analysis.

digital phase-locked loop;ellipse fitting;recursive least square method;unbalanced voltage

史旺旺

史旺旺 （1969-），男，通信作者，博士，副教授，研究方向：光伏發(fā)電與直驅(qū)風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)，E-mail：yzdxsww@163.com。

10.13234/j.issn.2095-2805.2017.4.60

TM933

A

2015-11-16

江蘇省高校自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目（14KJB4700 10）

Project Supported by Natural Science in Colleges and Universities in Jiangsu Province（14KJB470010）

嚴(yán)建鵬（1992-），男，碩士，研究方向：電力電子與電力傳動(dòng)，E-mail：1541787 151@qq.com。