分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱(chēng)性及其守恒量

王 璐，張 毅

(1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011)

分?jǐn)?shù)階微積分的歷史可追溯到Newton 和Leibniz 創(chuàng)立微積分的時(shí)代，但第1 部關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的專(zhuān)著直到1974 年才問(wèn)世，作者是Oldham 和Spanier[1].由于在描述自然現(xiàn)象時(shí)所體現(xiàn)出的歷史依賴(lài)性和空間全域性特征，分?jǐn)?shù)階微積分為描述具有能量耗散的、涉及記憶性和全局相關(guān)性的、復(fù)雜物理和力學(xué)過(guò)程提供了新穎的數(shù)學(xué)工具.自20 世紀(jì)90 年代以來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分已被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、力學(xué)和工程等諸多領(lǐng)域[2-6].Riewe[7-8]將分?jǐn)?shù)階微積分引入非保守耗散問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)建模.隨后Agrawal[9]、Baleanu[10-11]、Atanackovi?[12-13]和Cresson[14]等從不同角度研究了分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題及其N(xiāo)oether 對(duì)稱(chēng)性.張毅等[15-18]提出并研究了分?jǐn)?shù)階Pfaff 變分問(wèn)題和分?jǐn)?shù)階Birkhoff 系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱(chēng)性和Lie 對(duì)稱(chēng)性.廣義Birkhoff 方程是一類(lèi)帶有附加項(xiàng)的Birkhoff 方程[19].由于附加項(xiàng)的調(diào)節(jié)作用，廣義Birkhoff 系統(tǒng)更易于建構(gòu).例如，著名的Van der Pol 方程的Birkhoff 化比較困難，但將其化成廣義Birkhoff 方程就很容易[20].近年來(lái)，廣義Birkhoff 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究已取得新的進(jìn)展，如：梯度系統(tǒng)與運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性[21-23]、變分積分子[24]、分?jǐn)?shù)階Noether 定理[25-26]、時(shí)間尺度情形[27-28]等.本文將進(jìn)一步研究分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱(chēng)性與Mei 守恒量.Mei 對(duì)稱(chēng)性是指動(dòng)力學(xué)函數(shù)在經(jīng)歷群的無(wú)限小變換后仍然滿(mǎn)足原方程的不變性[29]，它可直接導(dǎo)致與經(jīng)典N(xiāo)oether 守恒量以及Hojman 守恒量不同的Mei 守恒量[30-36].文中依據(jù)分?jǐn)?shù)階廣義Pfaff-Birkhoff 原理建立分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 方程，給出分?jǐn)?shù)階Mei 對(duì)稱(chēng)性的判據(jù)，證明分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱(chēng)性定理并給出其若干特例.

1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)及其基本性質(zhì)

Caputo 型、Riemann-Liouville 型和Rieze 型是常見(jiàn)的分?jǐn)?shù)階微積分類(lèi)型[37].為方便讀者，這里對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)做一些簡(jiǎn)單介紹.

式中：Γ(?)是 Euler-Gamma 函數(shù)，α是導(dǎo)數(shù)的階，且 0 ≤α<1.

設(shè)f(t)和g(t) 是區(qū)間 [a,b]上的光滑函數(shù)，且f(a)=f(b)=0，則分?jǐn)?shù)階分部積分公式為

當(dāng) α →1時(shí)，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)則退化為經(jīng)典導(dǎo)數(shù)，即

0 ≤α<1f′(a)=0

如果，且，則有

2 分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

下面研究由 2n個(gè)變量aμ=aμ(t)構(gòu)成的分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng).設(shè)Birkhoff 函數(shù)為B=B(t,av)，Birkhoff 函數(shù)組為Rμ=Rμ(t,av)，附加項(xiàng)為 Λμ=Λμ(t,aν)，其中 μ,ν=1,2,···,2n.

設(shè)分?jǐn)?shù)階Pfaff 作用量為

分?jǐn)?shù)階Pfaff-Birkhoff 原理可表示為

原理(8)可推廣到以下形式

且滿(mǎn)足交換關(guān)系和邊界條件

由原理(9)及交換關(guān)系(11)和邊界條件(12)，易得

注意到積分區(qū)間 [t1,t2]的任意性以及 δaμ(μ=1,2,···,2n)的獨(dú)立性，得

稱(chēng)方程(14)為Caputo 導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 方程，當(dāng) α →1時(shí)，方程(14)退化為整數(shù)階廣義Birkhoff方程

3 分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱(chēng)性

引入時(shí)間t和變量aμ的無(wú)限小變換

其展開(kāi)式為

由式(16)和式(17)得到

式中：

定義1對(duì)于分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)(14)，若

成立，則變換(16)稱(chēng)為Mei 對(duì)稱(chēng)性的.于是有：

判據(jù)1如果變換(16)滿(mǎn)足如下判據(jù)方程

則變換(16)相應(yīng)于分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)(14)的Mei 對(duì)稱(chēng)性.

4 分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱(chēng)性定理

下面給出Caputo 導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱(chēng)性定理.

定理1對(duì)于分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)（14），如果存在規(guī)范函數(shù)G=G(t,av)使無(wú)限小生成元ξ0,ξμ滿(mǎn)足如下結(jié)構(gòu)方程

則該系統(tǒng)存在如下形式的Mei 守恒量

證明

根據(jù)判據(jù)方程(22)和結(jié)構(gòu)方程(23)得到

證畢.

式(24)可稱(chēng)為分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)(14)的Mei 守恒量，它是由Mei 對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)致的.

5 討論

由判據(jù)1 和定理1 可分別得到整數(shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階Birkhoff 系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Hamilton 系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱(chēng)性的判據(jù)和Mei 對(duì)稱(chēng)性定理.

5.1 整數(shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)當(dāng) α →1時(shí)，判據(jù)1 和定理1 成為

判據(jù)2對(duì)于整數(shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)(15)，假設(shè)變換(16)滿(mǎn)足判據(jù)方程

則變換(16)相應(yīng)于該系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱(chēng)性.

定理2對(duì)于整數(shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)(15)，假設(shè)變換(16)滿(mǎn)足判據(jù)方程(27)，則該系統(tǒng)存在如下形式的Mei 守恒量

式中：規(guī)范函數(shù)G=G(t,aν)滿(mǎn)足如下結(jié)構(gòu)方程

判據(jù)2 和定理2 是整數(shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)(15)的Mei 對(duì)稱(chēng)性的判據(jù)和Mei 對(duì)稱(chēng)性定理.

5.2 分?jǐn)?shù)階Birkhoff 系統(tǒng)當(dāng)附加項(xiàng) Λμ不存在時(shí)，方程(14)退化為

這是分?jǐn)?shù)階Birkhoff 方程.此時(shí)判據(jù)1 和定理1 成為

判據(jù)3對(duì)于分?jǐn)?shù)階Birkhoff 系統(tǒng)(30)，若變換(16)滿(mǎn)足以下判據(jù)方程

則變換(16)相應(yīng)于該系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱(chēng)性.

定理3對(duì)于分?jǐn)?shù)階Birkhoff 系統(tǒng)(30)，若變換(16)滿(mǎn)足判據(jù)方程(31)，則該系統(tǒng)存在如下形式的Mei 守恒量

5.3 分?jǐn)?shù)階Hamilton 系統(tǒng)Hamilton 系統(tǒng)可看作Birkhoff 系統(tǒng)的特殊情形.設(shè)廣義坐標(biāo)為qk，廣義動(dòng)量為pk，Hamilton 函數(shù)為H=H(t,qk,pk).

令

同時(shí)Birkhoff 函數(shù)組也分為相應(yīng)的兩組,

則分?jǐn)?shù)階Hamilton 原理為

因此，分?jǐn)?shù)階Birkhoff 系統(tǒng)(30)可退化為

式(38)為分?jǐn)?shù)階Hamilton 正則方程.

引入無(wú)限小變換

其中 ξ0，ξk，ηk為無(wú)限小生成元.

由判據(jù)1 和定理1，可得到

判據(jù)4對(duì)于分?jǐn)?shù)階Hamilton 系統(tǒng)(38)，若變換(39)滿(mǎn)足判據(jù)方程

式中：

則變換(39)相應(yīng)于該系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱(chēng)性.

定理4若變換(39)滿(mǎn)足判據(jù)方程(40)，則分?jǐn)?shù)階Hamilton 系統(tǒng)(38)存在如下形式的Mei 守恒量

定理4 是Caputo 導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階Hamilton 系統(tǒng)(38)的Mei 對(duì)稱(chēng)性定理.式(43)可稱(chēng)為分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)(38)的Mei 守恒量.

6 算例

例1設(shè)分?jǐn)?shù)階Birkhoff 系統(tǒng)的Birkhoff 函數(shù)和Birkhoff 函數(shù)組分別為

求解該系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱(chēng)性及相應(yīng)的Mei 守恒量.

首先，將式(44)和式(45)代入分?jǐn)?shù)階廣義Birkhoff 方程(14)中，得到方程

將式(46)和式(47)代入判據(jù)方程(22)得到

方程(48)有解

將生成元(49)代入結(jié)構(gòu)方程(23)，得

從而可以得到相應(yīng)的守恒量

將 α →1時(shí)，式(51)寫(xiě)成

7 結(jié)論

文章將Mei 對(duì)稱(chēng)性方法推廣到分?jǐn)?shù)階廣義Birkohff 系統(tǒng)，給出了分?jǐn)?shù)階廣義Birkohff 系統(tǒng)的Mei 守恒量.主要貢獻(xiàn)在于：一是依據(jù)Mei 對(duì)稱(chēng)性的定義，得到了分?jǐn)?shù)階廣義Birkohff 系統(tǒng)Mei 對(duì)稱(chēng)性的判據(jù)方程(22).二是建立并證明了Mei 對(duì)稱(chēng)性定理(定理1)，得到了Mei 守恒量(24).三是討論了3 種特殊情形:整數(shù)階廣義Birkhoff 系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階Birkhoff 系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Hamilton 系統(tǒng).文章結(jié)果可進(jìn)一步推廣至其它類(lèi)型的分?jǐn)?shù)階模型，如廣義分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子[38-39]等.