大尺度有效引力的E(2)規(guī)范理論模型?

魏文葉 申佳音 吳奕暐 楊禮想 薛迅? 阮自強(qiáng)

1)(華東師范大學(xué)物理系,上海 200241)

2)(中央研究院物理研究所,臺(tái)北 11529)

大尺度有效引力的E(2)規(guī)范理論模型?

魏文葉1)申佳音1)吳奕暐1)楊禮想1)薛迅1)?阮自強(qiáng)2)

1)(華東師范大學(xué)物理系,上海 200241)

2)(中央研究院物理研究所,臺(tái)北 11529)

(2017年2月4日收到;2017年4月6日收到修改稿)

微波背景輻射的低l極矩的各向異性可能不能用微波背景輻射靜止系boost到本動(dòng)參考系來解釋,我們推斷boost對(duì)稱性在宇宙學(xué)尺度上缺失,又由于單純結(jié)合廣義相對(duì)論和物質(zhì)結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)模型不能解釋星系以上尺度的引力現(xiàn)象,需要引入暗物質(zhì)和暗能量.而迄今為止所有尋找暗物質(zhì)粒子的實(shí)驗(yàn)給出的都是否定結(jié)果,暗能量的本質(zhì)更是一個(gè)謎.因此,我們假設(shè)洛倫茲對(duì)稱性是從星系以上尺度開始部分破缺,以非常狹義相對(duì)論對(duì)稱群E(2)為例,用E(2)規(guī)范理論來構(gòu)造大尺度有效引力理論,并分析了此規(guī)范理論的自洽性.從這些討論中發(fā)現(xiàn),當(dāng)物質(zhì)源即使為普通標(biāo)量物質(zhì)時(shí),contortion也一般非零,非零contortion的存在會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè)等效能量動(dòng)量張量的分布,它可能對(duì)暗物質(zhì)效應(yīng)給出至少部分的貢獻(xiàn).我們從對(duì)稱性出發(fā)修改引力,有別于其他的修改引力理論.

E(2)群,非常狹義相對(duì)論,有效引力理論,洛倫茲破缺

1 引 言

廣義相對(duì)論從建立到現(xiàn)在的一百多年以來,一直經(jīng)歷著各種檢驗(yàn),在太陽系范圍內(nèi)弱場(chǎng)近似的檢驗(yàn)達(dá)到了10-5精度的量級(jí).但是在星系以上的尺度上,卻存在著一些明顯偏離廣義相對(duì)論的天文現(xiàn)象.例如,1933年Zw icky[1]按照后發(fā)座星系團(tuán)中的運(yùn)動(dòng)星系的可視質(zhì)量,推算了其運(yùn)動(dòng)速度,但是計(jì)算的結(jié)果要低于實(shí)際觀測(cè)的速度.他認(rèn)為造成這種現(xiàn)象的原因是可視質(zhì)量和實(shí)際質(zhì)量不符.另一個(gè)實(shí)例是1980年有關(guān)螺旋星云的旋轉(zhuǎn)星系的觀測(cè).美國天文學(xué)家Rubin[2]通過測(cè)量這個(gè)星系可見區(qū)域的旋轉(zhuǎn)速度得到了“星系旋轉(zhuǎn)曲線”.按照廣義相對(duì)論的預(yù)測(cè),足夠遠(yuǎn)的距離上環(huán)繞星系中心天體的平均軌道速度的平方與軌道距離是成反比的,但是曲線卻顯示隨著距離變大,旋轉(zhuǎn)速度趨向于一個(gè)定值.這明顯違背了理論預(yù)測(cè)的結(jié)果.在宇宙學(xué)尺度上,宇宙的加速膨脹也說明宇宙學(xué)常數(shù)具有很小的正值.

目前對(duì)于天文觀測(cè)與廣義相對(duì)論的偏離的解釋比較流行的有兩種.一種是直接修正愛因斯坦引力理論,比如2013年Shojai等[3]提出的f(R)理論; 2005年M off at[4]提出的標(biāo)量-張量-矢量引力理論, 2004年Bekenstein[5]提出的相對(duì)論性修正的牛頓動(dòng)力理論,以及二者的混合,都可以部分地解釋觀測(cè)數(shù)據(jù).另一種是用暗物質(zhì)來解釋缺失質(zhì)量[6-8],暗能量的存在來解釋加速膨脹.但是到目前為止所有直接尋找暗物質(zhì)的實(shí)驗(yàn)都給出否定結(jié)果,暗物質(zhì)的微觀起源還沒有得到證實(shí)[9,10],暗能量的本質(zhì)更是晦澀難明.暗物質(zhì)現(xiàn)象出現(xiàn)于星系以上一直到宇宙學(xué)尺度上,假設(shè)存在暗物質(zhì),則用帶正宇宙學(xué)常數(shù)的廣義相對(duì)論可以解釋大部分現(xiàn)象,但是暗物質(zhì)的候選者全部沒有找到,所以將暗物質(zhì)現(xiàn)象考慮成一種大尺度非局域效應(yīng)的有效表現(xiàn)也是理解暗物質(zhì)效應(yīng)的一種思路.本文中我們構(gòu)造修改引力的模型,試圖通過大尺度效應(yīng)解釋暗物質(zhì)、暗能量現(xiàn)象,而不是假設(shè)存在微觀起源的暗物質(zhì)、暗能量.

由宇宙學(xué)原理知道,相對(duì)于微波背景輻射靜止系,宇宙是均勻各向同性的.也就是說,對(duì)于宇宙中的任意一點(diǎn)的觀測(cè)者,向各個(gè)方向進(jìn)行觀測(cè),會(huì)發(fā)現(xiàn)在足夠遠(yuǎn)的地方(約30億光年的數(shù)量級(jí)),宇宙的形態(tài)大致相同.但是,宇宙學(xué)原理只是在微波背景輻射靜止系中成立.若一個(gè)觀測(cè)者相對(duì)于這個(gè)參考系沿著方向n高速運(yùn)動(dòng),那么他將明顯看到方向n上的微波背景輻射強(qiáng)度更大,星光也更明亮[11].這就出現(xiàn)了與各向同性的偏離.宇宙學(xué)原理說存在一個(gè)宇宙均勻各向同性的宇宙標(biāo)準(zhǔn)參考系,這個(gè)參考系就是微波背景輻射靜止系,在這個(gè)參照系中時(shí)空度規(guī)為Roberson-Walker度規(guī)的形式,從宇宙標(biāo)準(zhǔn)參照系到運(yùn)動(dòng)的本動(dòng)參照系的洛倫茲變換不是保度規(guī)變換,宇宙標(biāo)準(zhǔn)系有六個(gè)Killing矢量,即為宇宙時(shí)空中宇宙時(shí)為常數(shù)的三維子空間的K illing矢量,具有本動(dòng)的參考系中宇宙物質(zhì)分布能動(dòng)張量也不能保持均勻各向同性的形式,所以在本動(dòng)參考系看到的宇宙與宇宙標(biāo)準(zhǔn)系中看到得很不同,但宇宙的時(shí)空幾何是惟一的,不會(huì)因參考系的不同而改變,這就要求宇宙物質(zhì)分布能動(dòng)張量與度規(guī)張量和Ricci曲率張量一樣協(xié)變.

我們知道微波背景輻射的低l極距具有很多反常效應(yīng),二極矩反?，F(xiàn)象不僅僅是單極矩的多普勒效應(yīng),還包括像差效應(yīng)(其他方向的光子被擠壓,從而向本動(dòng)方向靠攏)和強(qiáng)度調(diào)制效應(yīng)(沿著本動(dòng)方向的正方向放大,在本動(dòng)方向的負(fù)方向上減小),這些效應(yīng)來自于我們所在的太陽本動(dòng)系相對(duì)微波背景系的運(yùn)動(dòng).但四極矩反常平面和八級(jí)矩反常平面的法矢與偶極方向互不重合,如果這些反常都是由于觀測(cè)者的本動(dòng)而引起,這就預(yù)示著,僅僅簡(jiǎn)單地通過對(duì)共動(dòng)參考系到本動(dòng)參考系做boost變換無法解釋這些反常.當(dāng)然,宇宙學(xué)原理是否嚴(yán)格成立也是可以討論的,所以我們?cè)谟懻撚钪鎸W(xué)物理時(shí),不妨放棄boost不變性來作為一種等效描述[12-14].局域平直區(qū)域的物理規(guī)律是個(gè)經(jīng)驗(yàn)歸納,大尺度局域的對(duì)稱性不一定與小尺度局域的對(duì)稱性相同,尤其是在有暗物質(zhì)、暗能量現(xiàn)象,僅依靠廣義相對(duì)論和粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的物質(zhì)結(jié)構(gòu)理論不能給予解釋的情況下,大尺度局域的對(duì)稱性應(yīng)該重新審視.而在宇宙尺度上boost對(duì)稱性可能缺失,一個(gè)合理的猜想就是在大尺度以上,比如星系尺度以上,局域洛倫茲對(duì)稱性開始破缺.

實(shí)際上,由于對(duì)量子引力理論的探索,使對(duì)洛倫茲對(duì)稱性破缺進(jìn)行研究的科學(xué)家不在少數(shù). 1997年以及1999年,Colem an和G lashow討論了用不變矢量描述由于微波背景輻射靜止系的存在導(dǎo)致的boost不變性的破缺[15].隨后Colladay和Kostelecky建立了標(biāo)準(zhǔn)模型拓展理論框架(SME),將可能的洛倫茲和CPT破缺效應(yīng)納入了這個(gè)理論框架[16].2013年,也有研究者將廣義相對(duì)論的黎曼時(shí)空用Finsler時(shí)空取代作為大尺度有效引力[17].我們之前已經(jīng)研究了大尺度上的洛倫茲對(duì)稱性的破缺[18,19],并且以非常狹義相對(duì)論的中的SIM(2)群為例,構(gòu)造了SIM(2)規(guī)范理論作為大尺度有效引力理論[20].

2006年,Cohen和Glashow[21]提出了非常狹義相對(duì)論的理論模型.他們發(fā)現(xiàn)如果將連續(xù)的局域時(shí)空對(duì)稱群取為洛倫茲正規(guī)子群與時(shí)空平移群的的半直積,只要這個(gè)真子群加入P或T或CP能擴(kuò)張成整個(gè)洛倫茲群,就可以描述已經(jīng)觀測(cè)到的物理現(xiàn)象.如果CP是破缺的,局域?qū)ΨQ群連同分立對(duì)稱群就不再是整個(gè)洛倫茲群,于是洛倫茲破缺與CP破缺就產(chǎn)生了關(guān)聯(lián).滿足上述條件的洛倫茲正規(guī)子群在同構(gòu)的意義下有四個(gè),分別是：T(2)群、E(2)群、HOM(2)群和SIM(2)群,如表1所列.洛倫茲群的李代數(shù)是6維線性空間,常用的一組基底是Jx,Jy,Jz,Kx,Ky,Kz,前三個(gè)表征轉(zhuǎn)動(dòng),后三個(gè)表征偽轉(zhuǎn)動(dòng).令T1=Kx+Jy,T2=Ky-Jx,非常狹義相對(duì)論的四個(gè)子群是由生成元T1,T2,Jz,Kz生成的.

表1 非常狹義相對(duì)論的四個(gè)子群Tab le 1.The fou r subgroups of very special relativity.

2 引力規(guī)范理論的建立

等效原理告訴我們,如果在每一點(diǎn)建立一個(gè)自由落體參考系,那么局域上物理規(guī)律遵從局域平直時(shí)空的物理規(guī)律.對(duì)于小尺度引力理論,這個(gè)局域時(shí)空的物理規(guī)律就是狹義相對(duì)論.這就是說,通過選取一個(gè)合適的標(biāo)架場(chǎng)ha=hμa?μ,可以在每一點(diǎn)上消除引力的作用,使得局域時(shí)空對(duì)稱群為洛倫茲群.在這樣的標(biāo)架下,度規(guī)的表現(xiàn)類似狹義相對(duì)論中的閔氏度規(guī),

其中,

ha=是標(biāo)架ha的對(duì)偶一形式.

一般而言,ha對(duì)應(yīng)非完整坐標(biāo)系,也就是說,不存在一個(gè)全局的坐標(biāo)ya使得ha=d ya.

對(duì)于規(guī)范勢(shì)Aμ,需要確定體系的一個(gè)規(guī)范不變作用量.首先考慮Yang-M ills作用量,其量綱為-4,耦合常數(shù)無量綱,所以不能給出牛頓引力的極限.而且,由于連續(xù)洛倫茲群本身是非緊李群, Yang-M ills作用量不能給出正定的哈密頓量,所以選取Einstein-Hilbert作用量,

3 E(2)群上的引力規(guī)范理論

如果大尺度局域?qū)ΨQ性是E(2)對(duì)稱性,上面的對(duì)稱變換就要限制在E(2)群上,這樣我們就可以得到局域E(2)不變的理論.洛倫茲生成元Sab滿足的對(duì)易關(guān)系為

當(dāng)協(xié)變導(dǎo)數(shù)作用在任意的洛倫茲矢量φ=φchc或一形式ψ=ψchc上,按生成元的矢量表示進(jìn)行變換：

將Sab表示為更加熟悉的符號(hào)：

規(guī)范勢(shì)Aμ的具體展開形式為

由于變換群限制到了E(2)上,所以必須有

對(duì)比(8)和(9)兩式,容易得到“約束條件”

E(2)時(shí)空規(guī)范理論的作用量是由洛倫茲時(shí)空規(guī)范理論的作用量加上約束項(xiàng)組成,即

現(xiàn)在將作用量對(duì)規(guī)范勢(shì)做變分,注意到δAh=0可以得到

去掉表面項(xiàng),可以得到關(guān)于規(guī)范勢(shì)的約束方程

同時(shí)對(duì)于a=1,b=2時(shí)得到一個(gè)約束方程

顯然規(guī)范勢(shì)可以分解為兩部分：Levi-Civita部分和contortion部分.令,那么

其中Levi-Civita部分僅由結(jié)構(gòu)系數(shù)組成,

contortion部分僅由撓率張量組成

將(18),(19),(20)式代入約束條件(10)式,可以得到：

現(xiàn)在將作用量對(duì)4-標(biāo)架場(chǎng)做變分,可以得到

借助規(guī)范勢(shì)的分解,曲率也可以做分解

由此,引力場(chǎng)方程可以寫為

其中,

由此可以看出,(32)式類似于一個(gè)能動(dòng)張量為TE(2)的物質(zhì)所提供的引力場(chǎng),所以TE(2)可以看作由洛倫茲破缺提供的等效能量動(dòng)量張量分布,這個(gè)等效能量動(dòng)量張量分布是由真實(shí)的物質(zhì)引發(fā)的,如果沒有真實(shí)的物質(zhì),也就沒有TE(2)項(xiàng),自然方程的解仍然包括了了閔氏時(shí)空解.TE(2)可能就是大尺度上暗物質(zhì)效應(yīng)的來源.

對(duì)物質(zhì)場(chǎng)分布部分SM,

其中,TM是物質(zhì)的能量動(dòng)量張量,CM=δASM.得到完整的引力場(chǎng)方程為

約束方程變?yōu)?/p>

4 自洽性分析

驗(yàn)證E(2)群規(guī)范理論的自洽性是必要的.對(duì)E(2)規(guī)范引力理論需要檢驗(yàn)Maurer-Cartan方程在E(2)代數(shù)上是封閉的：

另外還需要驗(yàn)證Bianchi恒等式

4.1 Mau rer-Cartan方程

這樣可以達(dá)到一個(gè)局域E(2)不變的引力理論.首先考慮曲率的貢獻(xiàn).的定義是

具體計(jì)算所有的曲率分量：

將上述結(jié)果全部代入曲率形式

我們可以清晰地看到,曲率形式的取值自動(dòng)限制到了E(2)上,這代表了曲率對(duì)于E(2)群是封閉的.

其次考慮撓率.

由于E(2)群完整的保留了時(shí)空平移的作用,所以撓率在E(2)上自然是封閉的,不會(huì)發(fā)生任何改變.現(xiàn)在就來驗(yàn)證M aurer-Cartan方程.

再利用協(xié)變導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算(44)式第三個(gè)等號(hào)右邊第三項(xiàng),

綜合起來,我們就得到了M aurer-Cartan方程：

正如之前所證明的,隨著將規(guī)范勢(shì)以及協(xié)變導(dǎo)數(shù)限制到E(2)群上,曲率形式和撓率形式都自動(dòng)限制到了E(2)群,從而Maurer-Cartan方程對(duì)于E(2)群同樣成立.

4.2 Bianchi恒等式

由撓率的定義出發(fā),反復(fù)利用上面的輪換求和的性質(zhì),

這樣我們就證明了Bianchi第一恒等式在E(2)群上成立.由上面的結(jié)果容易發(fā)現(xiàn),的取值也是在E(2)群中的.注意到上面的式子完全是時(shí)空指標(biāo),我們需要將其轉(zhuǎn)換為內(nèi)部指標(biāo)的Bianchi恒等式.

設(shè){bcd}代表對(duì)內(nèi)部指標(biāo)b,c,d的輪換求和,即

容易得到

現(xiàn)在來計(jì)算內(nèi)部指標(biāo)下?lián)下实膮f(xié)變導(dǎo)數(shù).

展開上面的式子,我們就得到了

重寫曲率的定義式,

注意到(53)式最后一個(gè)等號(hào)Dν代表只對(duì)的上指標(biāo)起作用的協(xié)變微分,這里相當(dāng)于把看作一個(gè)矢量.

這就證明了Bianchi第二恒等式在E(2)群上同樣成立.

綜合上面的計(jì)算,我們就證明了E(2)群作為時(shí)空對(duì)稱群是自封閉的,從而E(2)引力理論是自洽的.

5 總結(jié)與展望

為了解釋一些與廣義相對(duì)論出現(xiàn)偏離的天文觀測(cè),提出了兩種方法：一種是用暗物質(zhì)和暗能量來解釋,另一種是修正愛因斯坦引力理論.本文是從洛倫茲對(duì)稱性破缺的角度來修正引力理論.

假設(shè)洛倫茲對(duì)稱性是從星系尺度開始部分破缺,以非常狹義相對(duì)論中的一個(gè)對(duì)稱群E(2)群為例,構(gòu)造了E(2)引力規(guī)范理論.可以發(fā)現(xiàn),E(2)規(guī)范理論模型中,與廣義相對(duì)論不同的是,即使物質(zhì)場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)的情況下,非零的時(shí)空contortion會(huì)給愛因斯坦方程提供一個(gè)非零的與物質(zhì)能量動(dòng)量張量伴隨的“有效能量動(dòng)量張量分布”,這個(gè)“有效能量動(dòng)量張量分布”的存在可能至少部分地貢獻(xiàn)了暗物質(zhì)效應(yīng),定量的結(jié)果將是我們后繼研究的內(nèi)容.最后對(duì)E(2)規(guī)范理論的自洽性進(jìn)行了分析.

這種用對(duì)稱性破缺修改引力的嘗試在不同的尺度上contortion貢獻(xiàn)的有效能量動(dòng)量張量分布的特征不同,在考察星系等尺度上的缺失質(zhì)量問題時(shí),它可能對(duì)缺失質(zhì)量分布做出貢獻(xiàn),在考慮宇宙尺度上的宇宙膨脹問題時(shí),它有可能給出暗能量的貢獻(xiàn),這暗示一個(gè)暗物質(zhì)暗能量?jī)?nèi)在聯(lián)系的可能機(jī)制,如果這個(gè)猜測(cè)成立,將是對(duì)已有的暗能量與暗物質(zhì)相互作用的唯象研究的一個(gè)支持.有關(guān)暗物質(zhì)暗能量相互作用的進(jìn)一步研究參見文獻(xiàn)[22,23].具體可以在滿足宇宙學(xué)原理的Robertson-Walker類型的度規(guī)的基礎(chǔ)上來求解.選擇這種類型的度規(guī)之后,與宇宙介質(zhì)伴隨的contortion貢獻(xiàn)的有效能動(dòng)張量場(chǎng)的效應(yīng),也就是TE(2),也可能就與暗能量效應(yīng)有關(guān),這將是我們后繼研究的內(nèi)容.天文觀測(cè)與廣義相對(duì)論的偏離是否全部是來自于大尺度上洛倫茲對(duì)稱性的破缺?大尺度上的洛倫茲對(duì)稱性的喪失與微觀尺度上可能的洛倫茲破缺有何聯(lián)系,如何給出一個(gè)從宏觀局域洛倫茲對(duì)稱的廣義相對(duì)論過渡到宇觀尺度上的局域洛倫茲破缺的有效引力理論的機(jī)制都是需要進(jìn)一步研究的課題.

[1]Zw icky F 1937 Astrophys.J.86 217

[2]Rubin V C,Ford Jr W K,Thonnard N 1980 Astrophys. J.238 471

[3]Sho jai F,Sho jai A 2014 Genera l Relat.Gravit.46 1704

[4]M off at JW 2006 J.Cosm ol.Astropart.Phys.03 004

[5]Bekenstein J D 2004 Phys.Rev.D 70 083509

[6]Agnese R,Anderson A J,AsaiM,et al.2014 Phys.Rev. Lett.112 241302

[7]K im S C,Bhang H,Choi J H,et al.2012 Phys.Rev. Lett.108 181301

[8]Geringer-Sam eth A,Koushiappas SM 2011 Phys.Rev. Lett.107 241303

[9]Ji X D 2017 Nature 542 172

[10]Akerib D S,Akerlof CW,Akim ov D Y,et al.2017 Phys. Rev.Lett.118 021303

[11]W einberg S 2008 Cosm ology(New York:Oxford University Press)pp1-6

[12]Aghanim N,A rm itage-Cap lan C,A rnaud M,et al.2014 Astron.Astrophys.571 A 27

[13]Ade P A R,Aghanim N,A rm itage-Cap lan C,et a l.2014 Astron.Astrophys.571 A 20

[14]Ade P A R,Aghanim N,Ak ram i Y,et al.2016 Astron. Astrophys.594 A 16

[15]Colem an SR,G lashow S L 1999 Phys.Rev.D 59 116008

[16]Colladay D,Kostelecky V A 1998 Phys.Rev.D 58 116002

[17]Li X,Chang Z 2013 Chin.Phys.C 37 123103

[18]W u Y W,Xue X,Yang L X,Yuan T 2016 Chin.Sci. Bu ll.10 1360

[19]W u Y W,Xue X,Yang L X,Yuan T 2015 arX iv: 151000814v3

[20]W u Y W,Xue X 2016 J.East China Norm al Univ.10 3969

[21]Cohen A G,G lashow S L 2006 Phys.Rev.Lett.97 021601

[22]M icheletti S,Abdalla E,W ang B 2009 Phys.Rev.D 79 123506

[23]He J H,Wang B 2011 Phys.Rev.D 83 063515

(Received 4 February 2017;revised manuscript received 6 April 2017)

E(2)gauge theory model of effective gravitational theory at large scale?

WeiWen-Ye1)Shen Jia-Yin1)Wu Yi-Wei1)Yang Li-Xiang1)Xue Xun1)?Yuan Tzu-Chiang2)

1)(Departm ent of Physics,East China Norm al University,Shanghai 200241,China)
2)(Institu te of Physics,Academ ia Sinica,Taipei 11529,China)

At the cosmological scale,there exist many anisotropic anomalies in the low-l multipoles of the CMB angular power spectrum.Especially,the norm als to the octopole and quad rupole p lanes are aligned with the direction of the cosm ological dipole at a level inconsistent with Gaussian random.The inconsistency indicates that the anom aliesm ay not be boost effect from the CMB rest frame to the peculiar frame.It hintsus that the boost invariancem ight be violated on a cosm ological scale.There are som e discrepancies between the astronom ical and cosm ological observations,and the predictions are solely based on general relativity and the standard model for elem entary particle physics.The solutions are the introduction of dark matter and dark energy.However,all the experiments aim ing at finding dark matter particles give negative result and it is stillam ystery:what the dark energy is com prised of.We suppose that the Lorentz symmetry begins to be violated partly from the scale of galaxy and utilize the very special relativity symmetry group E(2)as an exam p le to illustrate the Lorentz violation effect on the large-scale effective gravity.Alocal E(2)but Lorentz invariant gauge theory can be constructed based on the equivalence princip le and the gauge princip le.To realize the E(2)symmetry,the closure requirement of Maurer-Cartan eqnarray on E(2)algebra needs to be satisfied by postu lating constraint conditions am ong the com ponents of the Lorentz connection.The local Lorentz invariant gauge theory with a Hilbert-Einstein action is a theory with torsion in general case.However in the case of scalar m atter source,the theory is exactly the theory of general relativity with Levi-Civita connection and zero torsion.In the E(2)gauge theory case,the closure requirem ent of M aurer-Cartan eqnarray for E(2)algebra postulates 12 constraint eqnarrays am ong the com ponents of the Lorentz connection and the eqnarrays of m otion for connection reduce the number of independent com ponentsof connection to 12.The eqnarraysofmotion for the tetrad field do not contain only the involved tetrad field com ponents nor these relevant independent com ponents.So thewhole number of variables needed to be solved is 12more than that in general relativity while there are 12more eqnarrays in themeantime.The torsion or the contortion field of the E(2)gauge theory is non-trivial even in the case of scalarm atter source distribution.Decom pose the connection into Levi-Civita one and the contortion part and rew rite the eqnarrays for tetrad field in the form alism of general relativity, then there w ill appear an effective energy-momentum tensor contributed by the contortion distribution,in addition to the ordinary m atter source distribution even for the case of scalar m atter source.We expect it to contribute at least part of the dark m atter effect.We also exam ine the holding of the fi rst and second Bianchi identities induced by Jacobi identity of the E(2)gauge theory.The approach of our modified gravity is different from other approach ofmodified gravity in the sense that we construct them odified gravity by m odifying the spacetime symm etry on a large scale and the em ergence of effective energy-m om entum tensor caused by Lorentz violation effect is due to a purely large scale effect.

E(2)group,very special relativity,the effective gravitation theory,Lorentz violationPACS:03.30.+p,04.20.Cv,11.15.-q,11.30.Cp DO I:10.7498/aps.66.130301

PACS:03.30.+p,04.20.Cv,11.15.-q,11.30.Cp DO I:10.7498/aps.66.130301

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11435005)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:xxue@phy.ecnu.edu.cn

*Pro ject supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant Nos.11435005).

?Corresponding author.E-m ail:xxue@phy.ecnu.edu.cn