基于量子隨機行走的兩光子Bell態(tài)測量

李小曼，李大創(chuàng)，楊 名,曹卓良

(1.安徽大學 物理與材料科學學院， 安徽 合肥 230039； 2.合肥師范學院 電子信息工程學院，安徽 合肥 230601)

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基于量子隨機行走的兩光子Bell態(tài)測量

李小曼1,2，李大創(chuàng)1,2，楊 名1,曹卓良1,2

(1.安徽大學 物理與材料科學學院， 安徽 合肥 230039； 2.合肥師范學院 電子信息工程學院，安徽 合肥 230601)

量子糾纏態(tài)是量子信息和量子通訊領域中的核心資源，實現(xiàn)量子糾纏態(tài)中的完全Bell態(tài)測量，將對量子信息學的發(fā)展有重要的意義。本文，我們基于量子隨機行走提出了一種實現(xiàn)雙光子Bell態(tài)測量的物理方案?；谠摲桨傅牟僮鬟^程有明顯的簡化，本方案在實驗上具有一定的可行性和指導意義。

量子隨機行走；Bell態(tài)；量子信息；量子糾纏

在量子信息處理和量子通訊領域中，量子糾纏[1,2,3]具有很重要的地位。量子糾纏，尤其是糾纏光子由于其在傳輸過程中不易發(fā)生退相干，在實現(xiàn)諸如量子糾纏交換[4,5]、量子隱形傳態(tài)[6,7]和遠程態(tài)制備[8]之類量子信息處理方案中都起著至關重要的作用。

1995年，Kwiat[9]等人利用自發(fā)參數(shù)下轉換方法實驗上制備了兩光子偏振糾纏Bell態(tài)。Zeilinger[10]等人基于線性光學利用兩個糾纏光子對產生一個三光子Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)態(tài)的思想。如何區(qū)分正交的量子態(tài)在量子信息領域中愈來愈重要。目前為止，國內外的研究組提出了多種區(qū)分處于偏振糾纏的Bell態(tài)及三光子GHZ的方案[11]。例如，2005年Barrett[12]等提出的基于弱非線性實現(xiàn)非破壞性的Bell態(tài)分析方案。最近，林秀敏[13]等先后提出了基于腔場和法拉第旋轉的Bell態(tài)分析器及GHZ態(tài)分析器，成功地實現(xiàn)對兩光子Bell態(tài)及三光子GHZ態(tài)的非破壞性區(qū)分。

本文中，首先提出一個基于量子隨機行走實現(xiàn)非破壞性測量兩光子Bell態(tài)方案。在此方案中，通過對探測器進行測量就可以對四個處于偏振糾纏的Bell態(tài)進行完全且非破壞性的區(qū)分。先前的實驗方案中利用偏振分束器，該方案利用常見的光學器件，如：半波片(HWPs)、光束偏轉器(BDs)，在實驗上能夠很容易實現(xiàn)。

1 基于量子隨機行走的雙光子Bell態(tài)測量

在這一部分中，我們將設計一個量子隨機行走的物理方案來區(qū)分四個Bell態(tài)。在設計方案中，我們把四個Bell態(tài)作為量子隨機行走的硬幣態(tài)，經過三步行走之后，我們通過測量光子的位置就可以區(qū)分出部分Bell態(tài)。

我們簡單回顧一下一維分離量子隨機行走[14,15,16]概念，系統(tǒng)聯(lián)合希爾伯特空間可以用硬幣空間和位置空間來描述，即H≡HC?HP。其中硬幣空間由正交矢量{|n〉p,n∈Z}展開，表示該粒子處在直線上的位置；硬幣空間由正交矢量{|H〉C,|V〉C}來表示，表示的是硬幣的狀態(tài)。粒子的初態(tài)可以寫成|Ψ(0)〉=|Ψ(0)〉C?|Ψ(0)〉P，其中|Ψ(0)〉C為硬幣初始態(tài)，|Ψ(0)〉P為位置初始態(tài)。

不失一般性，我們通常假設粒子從x=0開始運動，并且硬幣初始態(tài)處于|H〉和|V〉的相干疊加態(tài)。如果粒子的初態(tài)是|Ψ(0)〉，經過t步行走，粒子的末態(tài)：|Ψ(t)〉=Ut|Ψ(0)〉。

現(xiàn)在，我們考慮兩個粒子的量子隨機行走，系統(tǒng)的聯(lián)合希爾伯特空間：

H12≡H1?H2≡(HC1?HP1)?(HC2?HP2)，

其中，H1表示粒子1的希爾伯特空間，H2表示粒子2的希爾伯特空間。

兩個粒子的量子隨機行走的演化算符：

U12=U1?U2，

其中，U1和U2的定義與單個粒子的U的定義類似。

假設兩個粒子的初始位置都在x=0，兩個粒子的硬幣初始態(tài)為任意糾纏態(tài)|Ψ(0)〉C12=α1|H〉1|H〉2+α2|H〉1|V〉2+α3|V〉1|H〉2+α4|V〉1|V〉2，系數(shù)滿足歸一化條件，那么系統(tǒng)的初態(tài)為：

雙光子偏振Bell態(tài)可以寫成：

我們將雙光子的偏振自由度和位置自由度作為量子隨機行走的硬幣自由度和位置自由度，初始硬幣態(tài)是四個Bell態(tài)中的其中一個，兩個光子初始位置都在x=0。那么，系統(tǒng)的初始態(tài)為：

雙光子量子隨機行走的3步演化過程如圖1所示。在我們所設計物理方案中，硬幣算符可以用半波片(HWPs)來實現(xiàn)，位置移動算符可以用光束偏轉器(BDs)來實現(xiàn)。

圖1 實現(xiàn)Bell態(tài)測量光路圖

第一步，硬幣算符為：

其余的為單位算符I。其中，硬幣算符為Ci,j，下標i=1,2,3表示第幾步操作，j=1,2代表對從第幾個分支出來光子的操作。每一個位置移動算符都為S。

第二步，硬幣算符僅僅是NOT門操作，即：

第三步，硬幣算符是Hadamard門操作，即：

經過第一步行走，系統(tǒng)的狀態(tài)為：

經過了一步行走，我們交換兩光子在x=-1的線路，這是我們所設計的物理方案的重要組成部分，可以在兩光子之間產生線路糾纏，并且在實驗上很容易實現(xiàn)。經過了線路交換，兩光子演化為：

兩步量子隨機行走之后，由于兩光子的空間波函數(shù)完全疊加，根據(jù)全同性原理可得：

(|H〉|0〉)1(|V〉|0〉)1+(|H〉|0〉)2(|V〉|0〉2)+(|V〉|0〉)2(|H〉|0〉2)],

(|H〉|0〉)1(|V〉|0〉)1-(|H〉|0〉)2(|V〉|0〉2)

-(|V〉|0〉)2(|H〉|0〉2)], 經過了第三步演化，系統(tǒng)的末態(tài)為：

(|V〉|-1〉)1(|V〉|-1〉)1+

(|H〉|1〉)2(|H〉|1〉)2-

(|V〉|-1〉)2(|V〉|-1〉)2],

(|V〉|-1〉)1(|V〉|-1〉)1

-(|H〉|1〉)2(|H〉|1〉)2+

(|V〉|-1〉)2(|V〉|-1〉)2],

(|V〉|-1〉)1(|V〉|-1〉)2)],

(|V〉|-1〉)1(|H〉|1〉)2)].

2 討論和結論

經過三步量子隨機行走，我們對兩個光子進行探測，如果兩光子從同一分支出來，那么無法區(qū)分初始硬幣態(tài)，如果兩光子從不同分支出來，那么就可以成功區(qū)分初始硬幣態(tài)。我們通過探測并分析，初始硬幣態(tài)與相應探測器響應的結果如下表：

表1 初始硬幣態(tài)與探測器響應結果的對應關系表

經過分析，我們可以區(qū)分出兩個光子Bell態(tài)，再對相應的硬幣態(tài)進行量子門操作即可得到兩個Bell態(tài)。

本文中我們利用量子隨機行走實現(xiàn)雙光子Bell態(tài)測量。在物理方案中，通過對光子不同位置的探測，即實現(xiàn)區(qū)分出其中兩個Bell態(tài)，利用現(xiàn)有的實驗技術是可行的，與利用偏振分束器(PBS)區(qū)分Bell態(tài)測量，操作過程有明顯的簡化，從而極大提高了實驗效果。

[1] Dodd P.J.,et al. Disentanglement and decoherence by open system dynamics [J].Phys. Rev. A, 2004, 69：052105.

[2] Cubitt T.S., Verstraete F., Cirac J.I., Entanglement flow in multipartite system [J]. Phys. Rev. A, 2005, 71: 052308.

[3] Ficek Z., Tanas R., Dark periods and revivals of entanglement in a two-qubit system [J]. Phys. Rev. A, 2006, 74: 024304.

[4] Zukowski M., Zeilinger A., Horne M. A., Event-ready-detectors Bell experiment via entanglement Swapping [J]. Phys. Rev. Lett. 1993, 71(26): 4287-4290.

[5] Pan J. W.,Bouwmeester D.,Weinfurter H., andZeilinger A.,Experimental Entanglement Swapping: Entangling Photons That Never Interacted [J]. Phys. Rev. Lett. 1998, 80(28): 3891-3894.

[6] Bouwmeester D.,Pan J. W.,Mattle K.,Eibl M.,Weinfurter H.,Zeilinger A., Experimental quantum teleportation [J]. Nature, 1997, 390:575-579.

[7] Zheng X. J.,Fang M. F.,Cai J. W.,Liao X. P., Teleportation of atomic entangled states with a thermal cavity [J]. Chin. Phys, 2006, 15:492.

[8] Zeng B.,Zhou D.L.,Xu Z.,Sun C.P.,You Encoding a logical qubit into physical qubits [J]. Phys. Rev. A. 2005, 71: 022309.

[9] Kwiat P.G., Klaus Mattle, et al. New High-Intensity Source of Polarization-Entangled Photon Pairs [J]. Phys. Rev. Lett. 1995, 75: 4337.

[10] Zeilinger A., et al. Three-particle entanglements from two entangled pairs [J]. Phys. Rev. Lett. 1997, 78:3031

[11] Klaus Mattle, Harald Weinfurter, et al. Dense Coding in Experimental Quantum Communication [J]. Phys. Rev. Lett. 1996, 76:4656.

[12] Barrett S.D.,Kok P., Nemoto K., et al. Symmetry analyzer for nondestructive Bell-state detection using weak nonlinearities [J]. Phys. Rev. A. 2005, 71:060302.

[13] 陳曉東,肖邵軍,顧永建,林秀敏,基于法拉第旋轉構造光子Bell態(tài)分析器和GHZ態(tài)分析器[J].物理學報 2010年08期.

[14] Aharonov Y., Davidovich L., et al. Quantum random walks [J]. Phys. Rev. A. 1993, 48:1687-1690.

[15] Kurzy P., et al. Quantum Walk as a Generalized Measuring Device [J]. Phys. Rev. Lett. 2013, 110:200404.

[16] Bian Z. H., Li J., et al. Realization of Single-Qubit Positive-Operator-Valued Measurement via a One-Dimensional Photonic Quantum Walk [J]. Phys. Rev. Lett. 2015, 114:203602.

Two-photon Bell State Measurement Based on Quantum Walk

LI Xiaoman1,2, LI Dachuang1,2, YANG Ming1, CAO Zhuoliang1,2

(1.SchoolofPhysicsandMaterialScience,AnhuiUniversity,Hefei230039,China;2.SchoolofElectronicsandInformationEngineering,HefeiNormalUniversity,Hefei230601,China)

Quantum entanglement is the central resource in the quantum information and quantum communication. It will be of great significance for development of quantum information to realize the Bell state measurement. In this paper, we propose a physical scheme for two-photon Bell state measurement based on quantum random walk. The system has many advantages, such as better controllability, so the scheme has a certain feasibility and is instructive for the experiments.

quantum walk; Bell states; quantum information; quantum entanglement

2017-01-20

安徽省學術技術帶頭人及后備人選科研活動經費資助項目(No.2015H052);安徽高校學科(專業(yè))拔尖人才學術資助重點項目(No. gxbjZD2016078)；安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計劃項目；安徽大學研究生創(chuàng)新項目(yqh100012)

李小曼(1991-)，女，安徽大學碩士研究生，主要研究量子信息。

O413.1

A

1674-2273(2017)03-0011-04