淺談解決幾何類運動型問題的策略

張興國

摘 要：“運動型”幾何題是近幾年中考試卷中的熱點題型，此類型問題要求考生分析和解決運動變化中的幾何問題，有利于學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)，正受到師生們的普遍關(guān)注。解決運動型問題的策略，包括：實物模擬-感受運動的完整過程；情景模擬-觀察運動的變化規(guī)律；畫瞬間圖-探索運動的臨界狀態(tài)；猜想驗證-發(fā)現(xiàn)運動中的變量關(guān)系；分層演練-分解運動中提升思維。

關(guān)鍵詞：解決；運動型；策略

中圖分類號：G63 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）26-0024-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.26.012

在探索幾何類運動型問題時，要讓學(xué)生對幾何圖形的運動過程有一個清晰的認識，不管是點的運動、線的運動、還是整個圖形的運動，都要抓住圖形運動的本質(zhì)特征，通過模擬運動過程，觀察運動規(guī)律，找出運動中的變與不變，畫出特殊位置的關(guān)鍵圖形，猜想運動中的各個變量之間互相依存的關(guān)系，并進行驗證，從而找到解決問題的辦法。

一、實物模擬——感受運動的完整過程

一位教育家說過這樣的話：我聽見了，就忘記了，我看過了，就領(lǐng)會了；我做過了就理解了。因此，在教學(xué)中要盡可能通過實物演示，讓學(xué)生感受運動的完整過程，從而找到解決問題的突破口。

案例1：如圖1，如果以長方形OEFH的兩邊OE和OH所在的直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知E點的橫坐標(biāo)是6，H點的縱坐標(biāo)是8，將長方形OEFH繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點F落在y軸的正半軸上，旋轉(zhuǎn)后的長方形為OE1F1H1，F(xiàn)H與E1F1相交于點Q。

1.求點F1的坐標(biāo)與線段F1H的長。

2.如圖2，將圖1矩形中的OE1F1H1沿y軸向上平移，長方形NE2F2 H2是平移過程中的某一位置，F(xiàn)H與E2F2相交于點Q1，點N運動到點H停止。設(shè)點P運動的距離為x，長方形NE2F2H2與原長方形OEFH重疊的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式。

案例分析：在教學(xué)時，讓學(xué)生用事先準(zhǔn)備好的兩個全等的矩形教具演示運動的全過程，并在演示過程中觀察重疊部分圖形的變化，學(xué)生從中不難看出在平移過程中重疊部分由四邊形變成了三角形，很自然想到此問題是要分類考慮。

二、情景模擬——觀察運動的變化規(guī)律

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在基本理念部分指出：“數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施，應(yīng)重視運用現(xiàn)代教育技術(shù)，特別要充分考慮多媒體技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容與方式的影響，把現(xiàn)代教育技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強有力的工具?！睂τ跀?shù)學(xué)教學(xué)中的一些動態(tài)問題，我們可以用計算機進行實際情境的模擬，再現(xiàn)問題情境，幫助學(xué)生解決問題，上例的教學(xué)也可以通過計算機多媒體進行實際情境的模擬，觀察運動的變化規(guī)律，幫助學(xué)生探索問題。

三、畫瞬間圖——探索運動的臨界狀態(tài)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確要求把“動手實踐、自主探究、合作交流”作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，而探究運動型問題中，找到幾何圖形變化規(guī)律是關(guān)鍵，讓學(xué)生自主畫圖、合作探究變化的臨界位置，并畫出臨界靜態(tài)圖，找到解決問題的突破口。

四、猜想驗證——發(fā)現(xiàn)運動中的變量關(guān)系

觀察是數(shù)學(xué)思考的起點，猜想則是解決問題的第一步。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中大量的問題可以利用對特殊情形的觀察、比較、歸納、類比，然后通過合情推理對一般情形提出猜想，再進一步探究驗證其正確性，這種以靜制動解決運動型問題的方法往往起到投石問路的作用。

五、分層演練——分解運動中的提升思維

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在基本理念部分指出：“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，人人都獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！痹诮虒W(xué)中教師要尊重學(xué)生個性發(fā)展，遵循因材施教原則。設(shè)計課堂教學(xué)和練習(xí)，要分類要求或分階段要求。

案例2：如圖3正方形EFGH的邊長為4cm，在對稱中心A處有一個釘子，動點B、C同時從點E出發(fā)，點B沿E→F→G方向以每秒4cm的速度運動，到點G停止；點C沿E→H方向以每秒2cm的速度運動，到點H停止；B、C兩點用一條可伸縮的細繩連接，設(shè)它t秒后橡皮筋掃過的面積為Scm2.

C類問題：

1. 當(dāng)0≤t≤1時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

2.當(dāng)細繩剛好觸及釘子時，求t值。

B類問題：

1.當(dāng)1≤t≤2時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出細繩從觸及釘子到運動停止時∠CAB的變化范圍；

2. 當(dāng)0≤t≤2時，請在給出的直角坐標(biāo)系中畫出S與t之間的函數(shù)圖像。

A類問題：請你求出整個運動過程中，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出S與t之間的函數(shù)圖像。

案例分析：C類問題是分層次設(shè)問，給學(xué)生一個解決問題的視角和方法，同時起到了降低難度，分散難點的作用，如第2問的設(shè)置，B類問題沒有設(shè)置；C類中的問題2，相對于C類有一定難度，需要考慮再次分類的問題，要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確找到特殊靜的位置，變中求不變，動中求靜；而A類問題比較簡單，但對學(xué)生分析解決運動型問題綜合能力要求比較高。

六、結(jié)語

在解決幾何類運動型問題的過程中，教師要以運動的視角面對數(shù)學(xué)教學(xué)。教師可以通過移動課本、三角尺、教具，計算機軟件輔助等，引導(dǎo)學(xué)生看清運動的特點；學(xué)生可以通過移動學(xué)具、文具試卷，觀看動畫視頻等，達到理解運動特點的目的，把動變靜，把復(fù)雜變簡單，尋找解決問題的策略從而理解問題、探索問題，培養(yǎng)在動中思變的思維品質(zhì)和大膽創(chuàng)新的能力。

參考文獻：

[1] 趙敏.動態(tài)中的平面幾何問題的求解思維策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2010（33）：48-50.

[2] 黃群.“運動型”幾何題的求解策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究， 2003 （2）.