函數(shù)最值問題的解法探究

李雅萍?お?

[摘要]函數(shù)最值問題一直都是高考熱點.函數(shù)最值問題，可以用基本不等式法、求導(dǎo)法、三角代換法和數(shù)形結(jié)合法來解決.

[關(guān)鍵詞]函數(shù)；最值；解法；數(shù)形結(jié)合

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2017）20003302

函數(shù)最值問題是高考的重點，每年在高考試卷中所占的比例比較高.教師在平時的教學(xué)過程中應(yīng)當通過多種方法求最值，讓學(xué)生能夠全方位了解最值問題，掌握求最值的多種方法.

一、基本不等式法

對于一些函數(shù)求最值問題，可以利用基本不等式的性質(zhì)求解.

【例1】求函數(shù)y=x+4x的值域.

解析：本題可以通過常規(guī)的求導(dǎo)法來求解.但是本題用求導(dǎo)法求解太麻煩.如果利用基本不等式的性質(zhì)來解，就會簡單得多.當x>0時，x+

4x≥2x×4x

=4（當x=2時取等號）；當x<0時，-x>0，那么（-x）+（4-x）≥

2（-x）×（4-x）

=4（當x=-2時取等號），所以x+4x≤-4.綜上所述，函數(shù)的值域為（-∞，4]∪[4，∞）.

點撥：本題中采用了基本不等式法求最值.利用基本不等式法很容易產(chǎn)生錯解，主要原因在于會忽略“一正二定三相等”中的“一正”，在沒有確定未知數(shù)為正的情況下就輕易用基本不等式法.

二、求導(dǎo)法

求導(dǎo)法是求函數(shù)最值問題的常規(guī)方法，它的重要性不言而喻.新課標對于學(xué)生基礎(chǔ)知識的關(guān)注度越來越高，而求導(dǎo)法是求函數(shù)極值的基礎(chǔ)方法，通過求導(dǎo)法而衍生最值問題數(shù)不勝數(shù).因此掌握求導(dǎo)法非常有必要.

【例2】已知函數(shù)f（x）=2ax-1x2

，x∈（0，1].（1）若f（x）在x∈（0，1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）求f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值.

解析：本題是一般函數(shù)單調(diào)性問題，可以通過導(dǎo)數(shù)法進行求解，但是在解題過程中有一些細節(jié)需要引起學(xué)生的注意.

（1）由題意可得f′（x）=2a+2x3.因為f（x）在x∈（0，1]上是增函數(shù)，所以f′（x）>0，那么2a+2x3>0

，即a>-1x3

.現(xiàn)在構(gòu)造g（x）=-1x3

，g（x）在（0，1]是增函數(shù)，則g（x）的最大值是在x=1時取到，所以g（x）的最大值為g（1）=-1.故a>-1.當a=-1時，在f′（x）=-2+2x3

在x∈（0，1]有f′（x）>0，所以a≥-1就是所求的結(jié)果.

（2）由（1）的結(jié)果可知當a≥-1時，f（x）在x∈（0，1]上是增函數(shù)，所以當a≥-1時，f（x）的最大值為f（1）=2a-1.當a<-1時，令f′（x）=2a+

2x3

=0，可以解得x=13-a

，那么0<13-a<1

.所以當0

時，f′（x）>0；當13-a

-33a2

.

綜上所述，對于x∈（0，1]，當a≥-1時，f（x）的最大值為f（1）=2a-1；當a<-1時，f（x）的最大值為f（13-a）

=-33a2

.

點撥：本題是用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)最值的一道綜合題，方法雖然很普通，但是計算量比較大，并且還涉及了分類討論的思想.將分類討論思想與函數(shù)的最值問題結(jié)合起來考查是近年高考熱點，學(xué)生在平時的復(fù)習(xí)中應(yīng)當注意這類問題.

三、三角代換法

三角代換法是求最值問題中一種重要的方法.在一些函數(shù)求最值問題中往往存在根號，由于根號存在不能直接求導(dǎo)，直接求導(dǎo)只會讓式子越來越復(fù)雜.而通過三角代換法，就可以將根號巧妙替換掉，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值，大大簡化計算過程.

【例3】求函數(shù)f（x）=x+-x2+4x-3的值域.

解析：本題如果用求導(dǎo)法，對二次根式的求導(dǎo)會非常復(fù)雜，煩瑣的計算過程會讓人望而卻步.而通過三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化，就可以將根號去掉，計算過程就可以變得簡單.

由f（x）=x+-x2+4x-3

=x+-（x-2）2+1

.為了去掉根號，可以令f（x）∈[1，2+2]，其中θ∈[-π2，π2]，那么原式f（x）=2+sinθ+cosθ=2+2sin（θ+π4）.

因為

θ∈[-π2，π2]

，所以θ+π4∈

[-π4，3π4]

，

那么根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得

sin（θ+π4）∈[-22，1]

，容易得

到2+2

sin（θ+π4）∈[1，2+2]

，所以f（x）∈[1，2+2].

點撥：本題通過觀察根號中的式子，用三角函數(shù)的代換巧妙去掉了根號.對于三角函數(shù)求最值，只要確定三角函數(shù)中自變量的取值范圍，因變量的范圍問題就迎刃而解了.通過三角函數(shù)的代換，簡化了計算的過程，又能準確地得到結(jié)果.

四、數(shù)形結(jié)合法

通過幾何知識來求函數(shù)最值是最值問題的重點.數(shù)形結(jié)合的思想與最值問題結(jié)合考查的題目都比較有難度，這些問題的關(guān)鍵在于將已知函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為常見的數(shù)形結(jié)合問題.

【例4】x∈R，x為何值時

y=x2-2x+2+

x2-4x+8

有最小值？請你求出最小值.

解析：這道題的條件比較簡單，但是卻無從下手，這并不是常見的函數(shù)類型.如果直接通過導(dǎo)數(shù)法求解，計算過程會非常麻煩，而且很難得到想要的結(jié)果；如果將代數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，通過數(shù)形結(jié)合的思想，問題就會迎刃而解.

將函數(shù)轉(zhuǎn)化為：

y=（x-1）2+（0-1）2+

（x-2）2+（0-2）2

，通過兩點之間的距離公式，y表示P（x，0）到兩定點（1，1）和（2，2）的距離之和，現(xiàn)將這兩點分別記為A和B.求y的最小值問題就轉(zhuǎn)化為在x軸上找到一點P，使得P點到A、B兩點的距離之和

最小.如右圖，根據(jù)對稱性，由于兩點之間線段最短，圖中的P點即為所求的點，通過B點和A′點的坐標，可以求得經(jīng)過這兩點的直線解析式為

3x-y-4=0

，當y=0時，x=43，所以P點的坐標為（43，0）；當x=43

時，y有最小值，為10，所以函數(shù)y=x2-2x+2

+x2-4x+8

的最小值為10.

點撥：本題通過數(shù)形結(jié)合的思想巧妙解決了問題，比起求導(dǎo)法求最值大大簡化了計算過程.本題的解題關(guān)鍵在于將復(fù)雜的函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為求直線上的一點.

本文用多種方法闡述了最值問題的求解.教師在教學(xué)過程中能向?qū)W生合理訓(xùn)練這些方法，學(xué)生對于函數(shù)最值問題就猶如掌握了“十八般兵器”一般，一定能在考場上“克敵制勝”.

（責任編輯黃桂堅）