關(guān)注幾何直觀促進數(shù)學(xué)思考

蔣寶慧?お?

[摘要]借助幾何直觀，難懂的數(shù)學(xué)問題可以變得簡單易理解，抽象的數(shù)學(xué)概念、公式可以變得生動形象.教師應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識.

[關(guān)鍵詞]幾何直觀；數(shù)學(xué)；思考

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2017）20003102

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》提出要關(guān)注數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率之間的實質(zhì)性關(guān)聯(lián)，展示數(shù)學(xué)的整體性.對于數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，教材重視有關(guān)內(nèi)容的幾何背景，運用幾何直觀幫助學(xué)生理解和解決有關(guān)代數(shù)問題.幾何直觀是指人們借助見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進行直接感知和整體把握.利用直觀教學(xué)，了解其幾何背景，不僅能引發(fā)學(xué)生的探索興趣，更能激起學(xué)生積極思考的熱情.

一、借助幾何圖形面積的計算，探索有關(guān)公式

1.合并同類項法則

【例1】如圖1，大長方形由兩個小長方形組成，用不同的形式表示長方形的面積.

從圖1可以看出，這個長方形的面積可用代數(shù)式表示為5n+3n或（5+3）n，從而5n+3n=（5+3）n=8n.這就是說，在計算5n+3n時，可以先將它們的系數(shù)相加，再乘以n就可以了.

【例2】用不同的方法表示圖2所拼長方形的面積S.

方法1：S=（m+b）（n+a）；

方法2：S=ma+mn+bn+ba.

從上圖可看出（m+b）（n+a）=ma+mn+bn+ba.從而得出：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

3.完全平方公式

【例3】如圖3，一塊邊長為a米的正方形，將其邊長增加b米，形成一個新的正方形，用不同的形式表示新正方形的面積S.

方法1：S=（a+b）2；

方法2：S=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.

從而得出（a+b）2=a2+2ab+b2.

4.平方差公式

【例4】如圖4、5，邊長為a的大正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形，把剩下的部分拼成一個長方形，分別計算圖4、圖5中陰影部分的面積S.

根據(jù)計算結(jié)果，探索規(guī)律.

在教學(xué)中，可先讓學(xué)生思考：從上面這些算式中你能發(fā)現(xiàn)什么？讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察（每個算式和結(jié)果的特點）——比較（不同算式之間的異同）——歸納（可能具有的規(guī)律）——提出猜想”的過程.如果學(xué)生一時未能獨立發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，可借助點陣的排列規(guī)律來幫助學(xué)生理解.

利用圖6左圖的點陣，可使學(xué)生從數(shù)與形的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而鼓勵學(xué)生推測出1+3+5+7+…+19=102.

此后，還可以根據(jù)學(xué)生的實際情況，把這個問題進一步推廣到一般的情形，推出1+3+5+7+…+（2n-1）=n2，并加以驗證.

三、借助數(shù)軸，直觀地求解代數(shù)問題

1.不等式（組）的解集

【例6】解不等式組.

3x-1>2x+1①2x>8.②

解不等式①，得x>2；解不等式②，得x>4.

在同一數(shù)軸上表示不等式①、②的解集（如圖7）.

由數(shù)軸可知，所求不等式組的解集是：x>4.

2.絕對值的幾何意義

【例7】當x為何值時，式子|x-1|+|x+2|+|x-3|有最小值？

解：根據(jù)絕對值的幾何意義，本題是求到點-2、1、3的距離之和最小的值.讓點在數(shù)軸上從左到右運動，當運動到-2和3之間時，點到-2、3的距離和為定值5，運動到1時，到1的距離為0，此時原式的值最小，即當x=1時，最小值為5.

觀察發(fā)現(xiàn)，該式含有3個絕對值符號，要求該式子的最小值，若采用去絕對值符號進行討論，則會很煩瑣，而結(jié)合數(shù)軸、借助絕對值的幾何意義來求解則更清楚直觀，往往能達到出奇制勝的效果.

四、借助線形示意圖，幫助學(xué)生建立方程模型

1.線段圖

【例8】某小組計劃做一批“中國結(jié)”，如果每人做5個，那么比計劃多了9個；如果每人做4個，那么比計劃少了15個，小組成員共有多少名？他們計劃做多少個“中國結(jié)”？

某同學(xué)解：設(shè)小組成員有x名，根據(jù)題意，得5x+9=4x-15，他的解答是否正確呢？

下面我們借助線段圖（如圖8）：

由線段圖，可以清楚地發(fā)現(xiàn)（1）（2）各自與計劃個數(shù)的關(guān)系，5x-9=計劃個數(shù)，4x+15=計劃個數(shù)，易得方程5x-9=4x+15，那么“該同學(xué)的解答是錯的”就一目了然了.

2.圓形圖

【例9】將一批資料錄入電腦，甲單獨做需18h完成，乙單獨做需12h完成.現(xiàn)在先由甲單獨做8h，剩下的部分由甲、乙合做完成，甲、乙兩人合做了多少時間？

思考1：如果把全部工作量看作1，設(shè)甲、乙兩人合做的時間是x小時，那么可以畫出圓形圖（如圖9、10）：

由圖9可得方程：118×8+（118+112）x=1

；由圖10可得方程：118（8+x）+112x=1.

通過不同的“形”找到存在的各種“數(shù)”的關(guān)系，形數(shù)對照，使學(xué)生對知識有更深刻的理解.

五、借助函數(shù)圖像，輕松解決生活中的代數(shù)問題

【例10】A、B兩家旅行社分別推出家庭旅游優(yōu)惠活動，兩家旅行社的票價均為90元/人，但優(yōu)惠辦法不同.A旅行社的優(yōu)惠辦法是：全家有一人購全票，其余的人半價優(yōu)惠；B旅行社的優(yōu)惠辦法是：每人均按三分之二的票價優(yōu)惠.根據(jù)圖意（如圖11）回答.

（1）當全家為2人時，

A旅行社與B旅行社收費各是多少？

（2）當全家為6人時，

A旅行社與B旅行社收費各是多少？

（3）當全家為多少人時，A旅行社與B旅行社收費一樣多？

（4）當全家為多少人時，選擇B旅行社更劃算？

解：

（1）當全家為2人，A旅行社與B旅行社收費各是45元，60元.

（2）當全家為6人時，A旅行社與B旅行社收費分別是135元，120元.

（3）當全家為4人時，A旅行社與B旅行社收費一樣多.

（4）當全家多于4人時，選擇B旅行社更劃算.

觀察理解函數(shù)圖像的變化規(guī)律，便于人們直觀地判斷事物發(fā)展的方向，并提出相應(yīng)的對策，尋求解決問題的方法.著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中最本質(zhì)、最古老的兩樣?xùn)|西.它們既分別發(fā)展著，同時又互相滲透、互相啟發(fā)，共同推動著數(shù)學(xué)科學(xué)的向前發(fā)展，形與數(shù)相比較，有著直觀上的優(yōu)勢.初中生相對于抽象思維，普遍更喜歡形象思維，對圖形的記憶也總強于對文字、數(shù)式的記憶.教師應(yīng)注意到學(xué)生思維方式上的這些特點，在講授有關(guān)的數(shù)學(xué)知識時，盡可能數(shù)形結(jié)合、形數(shù)對照，使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容更易于理解和記憶.而在解決實際問題時，同樣應(yīng)教給學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法，啟發(fā)他們學(xué)會對一些數(shù)量關(guān)系做出“形”的解釋，發(fā)掘其中“形”的因素，以增加解決問題的有效途徑.

總之，借助幾何直觀，難懂的數(shù)學(xué)問題可以變得易理解，抽象的數(shù)學(xué)概念、公式可以變得生動形象.因此，教師首先要具有較好的幾何直觀意識，在各種教學(xué)細節(jié)的處理中，善于挖掘和捕捉幾何直觀的資源，滲透幾何直觀，從而促進學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的“形”的思考.

（責任編輯黃桂堅）