Chebyshev模擬濾波器離散化問題分析與解決

劉 冰，趙長山，趙 東，魏宗康

（北京航天控制儀器研究所，北京100039）

Chebyshev模擬濾波器離散化問題分析與解決

劉 冰，趙長山，趙 東，魏宗康

（北京航天控制儀器研究所，北京100039）

針對高階次、低截止頻率的Chebyshev模擬濾波器離散化發(fā)散問題，從濾波器階次、采樣步長、截止頻率、離散化方法、濾波器種類等方面進行了細(xì)致分析，得出定性原因，并針對該問題給出了通用解決方法。通過仿真實例和試驗，驗證了所提方法的有效性。

Chebyshev濾波器；離散化；采樣；截斷誤差

Abstract：The discretization problem of Chebyshev filter is addressed in this paper．Considering the order，sampling rate，cross frequency，disretizationmethod and filter style，a detailed comparing analysis is given，and two solutions to that problem is also proposed．Finally，simulation example and one experiment results are given to prove the effectiveness of the proposed methods．

Key w ords：Chebyshev filter;discretization;sampling;truncation error

0 引言

在工程實踐中，通常需要將信號中特定頻率或者頻率段的信號濾除，以提取有用信息、抑制噪聲。因而濾波器是不可或缺的一部分，在控制科學(xué)、信號處理以及信號傳輸?shù)阮I(lǐng)域，都有著廣泛的應(yīng)用［1?3］。

常見的濾波器有Chebyshev濾波器、Butterworth濾波器等，它們?yōu)V波器效果好，理論成熟且有著完備的參數(shù)庫，設(shè)計和使用較為方便，受到實踐者的重點關(guān)注。但是，這些濾波器通常都是模擬形式表達，無法直接用于計算機控制系統(tǒng)或數(shù)字信號處理問題中［4］。可行的方案為先設(shè)計一個滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器，然后通過對應(yīng)的離散化方法得到可實施的數(shù)字濾波器，最終完成濾波器設(shè)計。此外，在直接設(shè)計無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）濾波器時，也通常先設(shè)計模擬濾波器，再離散化，得到IIR數(shù)字濾波器［5］。

濾波器實際設(shè)計時，由于存在性能指標(biāo)以及采樣周期等約束條件，模擬濾波器離散會出現(xiàn)數(shù)字濾波器不穩(wěn)定的問題。尤其是系統(tǒng)性能參數(shù)約束較嚴(yán)格的情況下，通過模擬濾波器直接離散得到數(shù)字濾波器的方法會由于數(shù)字濾波器不穩(wěn)定而失效。

本文通過分析Chebyshev?I型模擬濾波器離散化具體問題，總結(jié)出了數(shù)字濾波器不穩(wěn)定的原因，并給出了通用可行的解決方案，通過仿真實例證明了方法的有效性。

1 Chebyshev濾波器

1.1 濾波器簡介

Chebyshev濾波器的幅度特性表現(xiàn)為在一個頻帶內(nèi)（通帶或者阻帶）具有等波紋特性，可以將精度指標(biāo)均勻分布在頻帶內(nèi)，故在同樣通帶、阻帶性能要求下，可以設(shè)計出階數(shù)較低的濾波器。其中，在通帶內(nèi)等波紋的為I型，在阻帶內(nèi)等波紋的為II型，本文以I型濾波器為例。

Chebyshev濾波器的幅度平方函數(shù)為：

其中，e為波紋率，e＜1，e越大，波紋越大；Ωc為截止頻率；C2N（x）為關(guān)于x的Chebyshev多項式；N為濾波器階數(shù)。給定截止頻率、通帶最大衰減以及阻帶最小衰減，即可確定出濾波器中參數(shù)e和N，進而通過查表等方法完成濾波器設(shè)計。

1.2 Chebyshev濾波器設(shè)計

首先給定性能指標(biāo)，設(shè)計出Chebyshev模擬濾波器，選用適當(dāng)離散化方法，得到對應(yīng)數(shù)字濾波器。假設(shè)由給定性能指標(biāo)算出濾波器階次N＝5，通帶內(nèi)波動e＝0．5，給定截止頻率為Ωc＝0．3rad／s，可得Chebyshev模擬低通濾波器為：

取采樣周期T＝0．002s，由于本文中濾波器為低通濾波器，且截止頻率較小，故采用雙線性變換方法對模擬濾波器進行離散化。將濾波器傳遞函數(shù)G（s）用Matlab中的 “c2d”函數(shù)離散化，帶入采樣周期T，可得G（s）對應(yīng)的離散傳遞函數(shù)G（z）。

2 濾波器分析

2.1 濾波器穩(wěn)定性

針對上面設(shè)計的模擬和數(shù)字濾波器（濾波器系數(shù)均采用Matlab Double長度存儲），首先分析濾波器穩(wěn)定性，如圖1所示。

顯然，數(shù)字濾波器并未保持模擬濾波器的穩(wěn)定性，因而無需討論2種濾波器的濾波精度和頻率特性，重點討論模擬濾波器離散化造成數(shù)字濾波器失穩(wěn)問題。

2.2 穩(wěn)定性問題分析

圖2給出了5階Chebyshev模擬濾波器極點分布示意圖，這些極點分布在S平面一個特定橢圓左半部分上。其中，橢圓的長軸為bΩc沿著虛軸，短軸為aΩc沿著實軸。

由于0＜e＜1，可得c＞2，則N越大，bΩc、aΩc越小，導(dǎo)致濾波器極點分布橢圓縮向虛軸或者原點，即濾波器的所有極點將趨向虛軸。濾波器階次越高，截止頻率越低，濾波器極點將越趨向虛軸。表1是同樣波紋率和截止頻率下不同階數(shù)Chebyshev模擬濾波器的極點及幅值。

表1 相同截止頻率和波紋率下不同階次Chebyshev模擬濾波器極點Table 1 The poles distribution of analog Chebyshev filters w ith differentorders and same cut?off frequency and ripple contain factor

已知系統(tǒng)極點實部可以決定系統(tǒng)相對穩(wěn)定性，從表1中可以看出，高階濾波器相對穩(wěn)定性更差。此外由于截止頻率較小，濾波器極點幅值均較小。

從系統(tǒng)階次、截止頻率、采樣時間、離散化方法以及濾波器種類進一步定性對比討論數(shù)字濾波器穩(wěn)定性問題。若不另加說明，采樣時間取0．002s，波紋率為0．5，截止頻率為0．3rad／s，離散方式為雙線性變換，濾波器種類為 5階Chebyshev濾波器。采用控制變量法，得到不同條件下數(shù)字濾波器穩(wěn)定性結(jié)果，如表2所示。其中，Y表示穩(wěn)定，N表示不穩(wěn)定。

表2 不同條件下模擬濾波器離散化對應(yīng)的數(shù)字濾波器穩(wěn)定性Table 2 The stability properties of digital filters discreted from analog Chebyshev filters w ith different conditions

（1）系統(tǒng)階次

根據(jù)表1和表2中的結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)，5階濾波器分母多項式系數(shù)階次最大相差4個數(shù)量級；3階濾波器只相差2個數(shù)量級，且3階數(shù)字濾波器保持穩(wěn)定。此時，若把采樣時間改為0．000002s，可以發(fā)現(xiàn)，3階數(shù)字濾波器不穩(wěn)定。5階濾波器只在采樣時間為0．02s以及截止頻率為3rad／s時保持穩(wěn)定。

（2）截止頻率

針對5階濾波器，改變截止頻率，考察濾波器變化情況，如表3所示。

表3兩種情況中，濾波器分母系數(shù)最大相差數(shù)量級分別是6和1。當(dāng)截止頻率為3rad／s時，數(shù)字濾波器穩(wěn)定。

（3）采樣時間

默認(rèn)的采樣時間為0．002s，根據(jù)表2中的結(jié)果，若將3階濾波器采樣時間改為0．000002s，該濾波器不穩(wěn)定；同理，將5階濾波器采樣時間改為0．02s，則對應(yīng)的數(shù)字濾波器穩(wěn)定。表2表明減小采樣時間，可以解決離散化濾波器發(fā)散問題。

表3 不同截止頻率下數(shù)字濾波器極點分布Table 3 The pole distribution of digital filters w ithdifferent cut?off frequency

（4）離散化方法

針對3階和5階濾波器，分別采用零階保持、雙線性變換和脈沖響應(yīng)不變法離散。由于本例中設(shè)計的是低通濾波器，且截止頻率較低，不同離散化方法造成的高頻畸變可忽略。由表2可知，不同離散方法對離散結(jié)果并不會產(chǎn)生顯著影響。同樣的采樣時間下，采用3種離散化方法，3階數(shù)字濾波器均能保持穩(wěn)定，而5階數(shù)字濾波器均失去穩(wěn)定性。

（5）濾波器種類

對同樣的截止頻率，設(shè)計Butterworth和Che?byshev濾波器并得到對應(yīng)數(shù)字濾波器。觀察表2，同樣截止頻率和采樣時間下，5階 Chebyshev和Butterworth數(shù)字濾波器均不穩(wěn)定。

2.3 分析結(jié)果

由于截止頻率低、階次高，模擬濾波器相對穩(wěn)定性差，分母多項式系數(shù)數(shù)量級相差過大，尺度不一。小采樣周期下，離散化得到的數(shù)字濾波器系數(shù)截斷誤差（量化／截尾）累積效應(yīng)明顯，造成數(shù)字濾波器不穩(wěn)定。

離散化過程中的系數(shù)截斷誤差與數(shù)字濾波器設(shè)計實施中的量化誤差相似，可以借鑒數(shù)字濾波器設(shè)計實施中對量化誤差的分析結(jié)果。主要結(jié)論為：截止誤差與系數(shù)比值越大，影響越大；系統(tǒng)極點越集中，影響越大。根據(jù)之前的分析，高階濾波器極點集中，趨向虛軸和原點，且濾波器系數(shù)幅值較小，均加劇了截止誤差的影響。此外，較小的采樣周期大大增加了截止誤差的累積效應(yīng)，使得數(shù)字濾波器不穩(wěn)定。

3 解決方案

由前文的分析可以看出，造成離散化結(jié)果不穩(wěn)定的根源有3點：采樣頻率高、濾波器階次高以及截止頻率小。采樣頻率是系統(tǒng)確定的，濾波器階次由衰減率決定，截止頻率由濾波需求確定。為了解決數(shù)字濾波器不穩(wěn)定問題且充分利用高頻采樣下的數(shù)據(jù)信息，可以采用如下2種解決方案。

3.1 分級濾波

1）設(shè)計濾波器1濾除高頻采樣數(shù)據(jù)中高頻噪聲，濾波器1的截止頻率大于最終期望截止頻率，且濾波器1的階次小于最終期望截止頻率下衰減率。

2）對通過濾波器1后的數(shù)據(jù)再次采樣，并針對再次采樣后的數(shù)據(jù)進行濾波器設(shè)計，類似于第1步中的設(shè)計，得到濾波器2，濾波器2的截止頻率小于濾波器1的截止頻率但大于最終期望截止頻率。

3）重復(fù)第2步的過程，最后利用濾波器n?1的輸出，在期望指標(biāo)下，完成濾波器n的設(shè)計。

圖3為n＝2時分級濾波示意圖。為減小滯后和簡化設(shè)計，應(yīng)盡量減少分級濾波器數(shù)量。

3.2 級聯(lián)離散化

1）根據(jù)給定濾波器性能指標(biāo)，設(shè)計出5階Chebyshev模擬濾波器。

2）將設(shè)計得到的5階Chebyshev模擬濾波器傳遞函數(shù)拆成不高于2階的傳遞函數(shù)級聯(lián)形式，對這些不高于2階的傳遞函數(shù)分別離散化。

3）將分別離散化得到的傳遞函數(shù)串聯(lián)起來，即所求數(shù)字濾波器。

4 實驗研究

4.1 仿真研究

假設(shè)原始系統(tǒng)中存在2種頻率的噪聲，針對0．3rad／s，如圖4所示，設(shè)定為100Hz高頻噪聲以及2Hz的低頻噪聲，設(shè)計分級濾波器。根據(jù)此方案，可知設(shè)計2級濾波器較為合適，第1級濾波器用來處理高頻噪聲，第2級用來處理低頻噪聲。

考慮到Shannon采樣定理以及濾波需求，具體設(shè)計參數(shù)如下：

濾波器1：截止頻率20Hz，階次3，波紋率0．5，采樣周期0．002s；

濾波器2：截止頻率（0．3／2／pi）0．05Hz，階次5，波紋率0．5，采樣周期0．02s；

高頻噪聲信號：幅度為1，頻率為100Hz，正弦信號；

低頻噪聲信號：幅度為1，頻率為2Hz，正弦信號。

觀察圖5可以發(fā)現(xiàn)，濾波器1很好地濾除了高頻噪聲。濾波器2在濾波器1的基礎(chǔ)上，進一步對低頻噪聲實現(xiàn)了濾波，最終經(jīng)過2級濾波器作用，噪聲信號得到了很好的抑制。這既證明了方案1對解決濾波器離散化不穩(wěn)定問題的有效性，又證明了該方案能夠保證濾波精度與效果。

4.2 實驗研究

在平臺系統(tǒng)的調(diào)平回路［6］控制中測試本方案。本文設(shè)計的Chebyshev濾波器為校正網(wǎng)絡(luò)（濾波器加控制器）的一部分，用來濾除回路噪聲。調(diào)平回路的輸出為框架角，本文單考察平臺外環(huán)架框架角。

圖6為采用不同離散方案濾波器的調(diào)平回路外環(huán)框架角輸出結(jié)果，圖6（a）對應(yīng)的是直接離散化的濾波器，圖6（b）對應(yīng)的是級聯(lián)離散化的濾波器?；芈凡捎孟嗤膮?shù)與控制器，編寫回路控制程序并下載到實際平臺系統(tǒng)中，運行平臺系統(tǒng)得到圖6中的結(jié)果。觀察圖6可以發(fā)現(xiàn)，采用直接離散的濾波器會造成控制回路失穩(wěn)；而采用方案2中的方法來離散化，可以滿足調(diào)平需求，最終證明了方案2的有效性。

5 結(jié)論

本文的研究表明：對于高階次、低截止頻率的Chebyshev濾波器，較小的采樣步長會造成離散化截斷誤差累積，最終使得離散化后的濾波器不穩(wěn)定；在不改變?yōu)V波器約束條件的前提下，采用分級濾波或級聯(lián)實現(xiàn)濾波器的方法，可以有效規(guī)避離散化后濾波器不穩(wěn)定的問題。本文的結(jié)論和解決方案，對于Butterworth型等其他類型濾波器設(shè)計同樣具有指導(dǎo)意義。

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On Analysis and Solu tion of the Chebyshev Filter Discretization Prob lem

LIU Bing，ZHAO Chang?shan，ZHAO Dong，WEIZong?kang
（Beijing Institute of Aerospace Control Devices，Beijing 100039）

TN713

A

1674?5558（2017）03?01346

10．3969／j．issn．1674?5558．2017．04．014

劉冰，女，博士，控制科學(xué)與工程專業(yè)，研究方向為慣性導(dǎo)航、非線性估計。

2016?12?06